北京市2020-2021学年高一上学期期末数学试题汇编：函数的应用 .docx

1、2021北京高一数学上学期期末汇编：函数的应用一选择题（共13小题）1（2020秋海淀区期末）已知函数，下列区间中含有的零点的是ABCD2（2020秋西城区校级期末）设是函数的零点，则所在的区间为ABCD3（2020秋朝阳区期末）已知函数若，则ABCD4（2020秋西城区期末）从2015年到2020年，某企业通过持续的技术革新来降低其能源消耗，到了2020年该企业单位生产总值能耗降低了如果这五年平均每年降低的百分率为，那么满足的方程是ABCD5（2020秋朝阳区期末）函数的零点所在的区间是ABCD6（2020秋朝阳区期末）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标声强级（单位：与声强度（单位

2、：之间的关系为，其中基准值若声强级为时的声强度为，声强级为时的声强度为，则的值为A10B30C100D10007（2020秋顺义区期末）函数的零点所在的大致区间是ABCD8（2020秋大兴区期末）方程的解所在的区间是ABCD9（2020秋房山区期末）已知函数，若存在互不相等的实数，满足（a）（b）（c），则的取值范围是ABCD10（2020秋海淀区期末）植物研究者在研究某种植物年内的植株高度时，将得到的数据用如图直观表示现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是A，且B，且CD11（2020秋丰台区期末）已知函数，则的零点个数为A0B1C2D312

3、（2020秋石景山区期末）已知函数，在下列区间中，包含的零点的区间是ABCD13（2020秋西城区校级期末）已知函数，若存在2个零点，则的取值范围是A，B，C，D，二填空题（共8小题）14（2020秋通州区期末）果蔬批发市场批发某种水果，不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为；的取值范围是15（2020秋西城区期末）若方程有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是16（2020秋西城区期末）已知函数，那么（2）；当函数有且仅有三个零点时，实数的取值范围是17（20

4、20秋东城区期末）某地原有一座外形近似为长方体且底面面积为150平方米的蓄水池，受地形所限，底面长和宽都不超过18米现将该蓄水池在原有占地面积和高度不变的条件下，重建为两个相连的小蓄水池，其底面由两个长方形组成（如图所示）若池壁的重建价格为每平方米300元，池底重建价格每平方米80元，那么要使重建价最低，蓄水池的长和宽分别为，18（2020秋海淀区校级期末）某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为为浓度单位，表示百万分之一），经检验知，该地下车库一氧化碳浓度与排气时间（分钟）之间存在函数关系为常数）求得；若

5、空气中一氧化碳浓度不高于为正常，那么至少需要排气分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态19（2020秋昌平区期末）已知函数（）若，则函数的零点是；（）如果函数满足对任意，都存在，使得，称实数为函数的包容数在给出的；1；三个数中，为函数的包容数是（填出所有正确答案的序号）20（2020秋石景山区期末）设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，使得，则称函数具有性质，那么下列函数：；具有性质的函数的个数为21（2020秋朝阳区期末）已知函数当时，的值域为；若对于任意，（a），（b），（c）的值总可作为某一个三角形的三边长，则实数的取值范围是三解答题（共11小题）22（2020秋顺义区期末）

6、某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数：（1）将利润（单位：元）表示为月产量的函数；（利润总收入总成本）（2）若称为月平均单件利润（单位：元），当月产量为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？23（2020秋东城区期末）已知函数（）求（3）的值并直接写出的零点；（）用定义证明在区间上为减函数24（2020秋昌平区期末）已知关于的方程有两个不等实根（）求实数的取值范围；（）设方程的两个实根为，且，求实数的值；（）请写出一个整数的值，使得方程有两个正整数的根（结论不需要证明）2

7、5（2020秋西城区期末）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1吨该产品获利润500元，未售出的产品，每1吨亏损300元经销商为下一个销售季度购进了130吨该农产品以（单位：吨，表示下一个销售季度内的市场需求量，（单位：元）表示下一个销售季度内销售该农产品的利润（）将表示为的函数；（）求出下一个销售季度利润不少于57000元时，市场需求量的范围26（2020秋大兴区期末）已知函数，其中且，（）求函数和的解析式；（）在同一坐标系中画出函数和的图象；（）设，写出不等式的解集27（2020秋东城区期末）中国茶文化博大精深小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最

8、佳口感的水温不同为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过时间（单位：分）后物体温度将满足：，其中为正的常数小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到初始温度为的水在室温中温度下降到相应温度所需时间如表所示：从下降到所用时间1分58秒从下降到所用时间3分24秒从下降到所用时间4分57秒（）请依照牛顿冷却模型写出冷却时间（单位：分）关于冷却后水温（单位：的函数关系，并选取一组数据求出相应的值（精确到（）“碧螺春”用左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳在（）的条件下，水煮沸后在室温下为获得最佳口感大约冷却分钟左右冲泡，请在

9、下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由（A）5（B）7（C）10（参考数据：，28（2020秋西城区期末）设函数的定义域为若存在常数，对于任意，成立，则称函数具有性质记为满足性质厂的所有函数的集合（）判断函数和是否属于集合？（结论不要求证明）（）若函数，证明：；（）记二次函数的全体为集合，证明：29（2020秋大兴区期末）在对口扶贫活动中，甲将自己经营某种消费品的一个小店以优惠价2万元转让给身体有残疾的乙经营，并约定从该店经营的利润中，首先保证乙的每月最低生活开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）在甲提供的资料中，有：这种消费品进价每件14元；该店月销量（百件）与销售价格（元

10、的关系如图；每月需要各种开支2000元（）为使该店至少能够维持乙的生活，商品价格应控制在什么范围内？（）当商品价格每件多少元时，月利润扣除最低生活费的余额最大，并求最大余额（）若乙只依靠该店，能否在3年内脱贫（偿还完转让费）？30（2021崇明区二模）某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产件，需另投入成本为当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时（万元）每件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完（1）写出年利润（万元）关于年产量（件的函数解析式：（2）年产量为多少时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？31（2020秋朝阳区期末）设函数，且（2）（

11、）求实数的值；（）判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论；（）若关于的方程恰有三个实数解，写出实数的取值范围（不必证明）32（2020秋海淀区期末）函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质（）判断下列函数是否具有性质（1），并说明理由； ；（）已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质求证：是偶函数；（）已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围2021北京高一数学上学期期末汇编：函数的应用参考答案一选择题（共13小题）1【分析】利用函数的解析式，求出（1），（2）的值，再利用函数零点的判定定理分析即可得到答案【解答】解：因为函数，所以，所以（

12、1）（2），根据函数零点的判定定理可得，函数在区间上有零点故选：【点评】本题考查了函数零点的判定定理的应用，解题的关键是求出区间端点的函数值，判断函数值的乘积是否异号2【分析】由函数的解析式可得（2），（3），再根据函数的零点的判定定理求得函数的零点所在的区间【解答】解：是函数的零点，（2），（3），函数的零点所在的区间为，故选：【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题3【分析】根据奇偶性的定义先判断函数为偶函数，然后利用，得到，再结合为偶函数即可得到答案【解答】解：函数，所以，故函数为偶函数，又因为，所以，则，所以故选：【点评】本题考查了函数性质的应用，涉及了函数奇偶性的判

13、断，解题的关键是判断出函数为偶函数，属于基础题4【分析】根据题意，逐年列出生产总值能耗，即可得到答案【解答】解：设2015年该企业单位生产总值能耗为，则2016年该企业单位生产总值能耗为，2017年该企业单位生产总值能耗为，该企业单位生产总值能耗为，该企业单位生产总值能耗为，该企业单位生产总值能耗为，由题设可得，故故选：【点评】本题考查了函数在实际生活中的应用，涉及了根据实际问题选择函数类型的应用，解题的关键是正确理解题意，从中抽出数学模型，属于基础题5【分析】判断函数的连续性，由零点判定定理判断求解即可【解答】解：函数是连续函数，（2），（3），（2）（3），由零点判定定理可知函数的零点在故

14、选：【点评】本题考查了函数零点的判定定理的应用，属于基础题6【分析】根据题意，得到且，然后利用对数的运算性质和运算法则进行求解，即可得到答案【解答】解：根据题意，声强级（单位：与声强度（单位：之间的关系为，则有且，故，则，所以故选：【点评】本题考查了函数在实际生产生活中的应用，涉及了对数的运算，解题关键是利用对数的运算法则和运算性质对等式进行变形，属于基础题7【分析】根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得在上是增函数，再通过计算（1）、（2）的值，发现（1）（2），即可得到零点所在区间【解答】解：在上是增函数，（1），（2），（2）（1），根据零点存在性定理，可得函数的零点所在区间为故

15、选：【点评】本题给出含有对数的函数，求它的零点所在的区间，着重考查了基本初等函数的单调性和函数零点存在性定理等知识，属于基础题8【分析】，是增函数，是的零点，由，可得结论【解答】解：设，显然是上的增函数，是连续函数的零点因为，故，故选：【点评】本题主要考查了函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题9【分析】由题意画出图形，不妨设，则，再由（b）（c）求得，则答案可求【解答】解：作出函数的图象如图，不妨设，则，由（b）（c），得，即，则故选：【点评】本题考查分段函数的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题10【分析】对应各个选项的函数结合图象逐个分析即可求解【解答】解：由

16、函数图象可知函数单调递增，但是趋于平缓，选项：若，则它在递减，它在上递增且递增速率变大，故错误，选项：若，则它在递减，它在上递增且递增速率变小，正确，选项：当时，在递减，错误，选项：当时，它开口向上，不符合已知，错误，故选：【点评】本题考查了函数的图象以及函数的单调性，考查了学生对函数性质的理解，属于中档题11【分析】根据，分和两种情况，求出的零点【解答】解：因为，所以当时，由，可得，当时，由，解得，所以的零点个数为2故选：【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查转化思想以及计算能力，是基础题12【分析】函数在其定义域上连续，同时可判断（4），（2）；从而判断【解答】解：函数，在其定义域

17、上连续，（4），（2）；故函数的零点在区间上，故选：【点评】本题考查了函数的零点的判断与应用，属于基础题13【分析】由得，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可【解答】解：由得，作出函数和的图象如图：当直线的截距，即时，两个函数的图象都有2个交点，即函数存在2个零点，故实数的取值范围是，故选：【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键二填空题（共8小题）14【分析】根据题意，直接列出函数关系式，根据题意求出的最值，即可得到的取值范围【解答】解：由题意可得与之间的函数关系为，由题意可知，最少买1

18、00千克，最多买千克，所以的取值范围为，故答案为：；，【点评】本题考查了函数在实际生产生活中的应用，解题的关键是正确理解题意，属于基础题15【分析】利用根的分布以及韦达定理列出关于的不等式组，求解即可得到答案【解答】解：设方程有两个不相等的正实数根为，则，所以，解得，故实数的取值范围是故答案为：【点评】本题考查了根的分布问题，涉及了根与系数关系的应用，属于基础题16【分析】利用函数的解析式求解函数值即可得到第一问；画出函数的图象，通过数形结合求解的范围即可【解答】解：函数，（2）；函数的图象如图：函数有且仅有三个零点时，故答案为：；，【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及计

19、算能力，是中档题17【分析】设原蓄水池的长、宽、高分辨为、，重建价格为，根据题意有，且，写出造价关于的关系式，利用基本不等式求最值即可【解答】解：设原蓄水池的长、宽、高分辨为、，重建价格为，根据题意有，且，则重建的池壁造价为，重建的池底造价为，当，即时，取得最小值，此时，故答案为：15，10【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用基本不等式求最值，是基础题18【分析】（1）直接把点代入，即可求得的值；（2）由题意，构造不等式，求解得答案【解答】解：（1）函数为常数）经过点，解得；（2）由（1）得，由，解得故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态故答案为：（1

20、）；（2）32【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查运算求解能力，是基础题19【分析】（）把代入函数解析式，分段求解得答案；（）由题意可得的值域为的值域的子集，分别讨论三种情况，由指数函数的单调性和一次函数的单调性求得值域，即可判断【解答】解：（）时，函数，当时，由，得；当时，由，解得若，则函数的零点是2；（）由题意可得的值域为的值域的子集，当时，由，得，由，得，而，不满足题意；当时，由，得，由，而，满足题意；当时，由，得，由，得，而，满足题意综上可得函数的包容数是故答案为：（）2；（）【点评】本题考查函数零点的求法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查运算求解能力，是中档题20【分析

21、】直接利用题中给出的函数具有性质的定义，对选项中的三个函数逐一分析判断，是否存在两个不等实数，使得，即可得到答案【解答】解：函数，因为函数为奇函数，可找到关于原点对称的点，比如，则有，故选项具有性质；函数，假设存在两个不等实数，使得，即，解得，与假设矛盾，故不存在，故选项不具有性质；函数，故函数为偶函数，且，令，解得，则存在，使得，故选项具有性质所以具有性质的函数的个数为2个故答案为：2【点评】本题考查了函数与方程的应用，涉及了新定义的理解，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题

22、21【分析】，变形可得，由指数函数的性质可得，求出的取值范围，即可得答案；，由三角形三边关系可得（a）（b）（c）对于，都恒成立，分三种情况讨论，利用函数的单调性求出函数的值域，然后讨论转化为（a）（b）的最小值与（c）的最大值的不等式，进而求出实数的取值范围【解答】解：当时，变形可得，则，解得，即函数的值域为，根据题意，若（a），（b），（c）的值总可作为某一个三角形的三边长，则（a）（b）（c）对于，都恒成立，当，此时，（a）（b）（c），构成一个等边三角形的三边长，满足条件当，在上是减函数，则有（a），同理（b），（c），由（a）（b）（c），可得，解得当，在上是增函数，（a），同理（b

23、），（c），由（a）（b）（c），可得，解得，则，综上，的取值范围为，【点评】本题考查函数与方程的综合应用，涉及函数单调性的判断以及值域的计算，属于难题三解答题（共11小题）22【分析】（1）利用利润公式直接解出；（2）将表示出来，利用基本不等式，即可求解【解答】解：（1）当时，；当时，；（2）由（1）知，当时，当且仅当，即时取等号；当时，此时无最值；故取200时，公司所获月平均单件利润最大，最大为100元【点评】本题考查了函数的应用，基本不等式的应用，属于基础题23【分析】（）利用分段函数的表达式，代入求解即可（）利用函数单调性的定义进行证明即可【解答】解：（）（3），则（3）（1），的零点

24、为1和2（），且，则，由，得，所以，即，所以在区间上为减函数【点评】本题主要考查分段函数的应用，结合函数单调性的定义是解决本题的关键，是基础题24【分析】（）根据根与系数的关系得到关于的不等式，求出的范围即可；（）求出，得到关于的方程，解出即可；（）写出满足条件的的值即可【解答】解：（）由题意得：，解得，故的取值范围是；（）由题意：，故，即，解得或，由（）得：，故；（）满足要求的，此时，【点评】本题考查了二次函数的性质，考查根与系数的关系以及转化思想，是基础题25【分析】（）直接由题意分段写出，和，时的利润函数即可；（）由（）知，当时，利润为65000元，不少于57000元，当，时，求解不等式

25、，即可得到的范围【解答】解：（）由题意得，当，时，当，时，；（）由（）知，当时，利润为65000元，不少于57000元，当，时，由，解得故下一个销售季度利润不少于57000元时，市场需求量的范围为，【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查一次不等式的解法，正确理解题意是关键，是基础题26【分析】（）对于，由可得的值，即可得、的解析式，即可得答案，（）由（）的结论，作出函数的图象，（）求出的解析式，分析的单调性以及，据此可得的解集，即可得答案【解答】解：（）根据题意，则有，则，（）由（）的结论：，012421，012301其图象如图：（），必有，即的定义域为，在，上为减函数，在，为增函数，则在

26、，上为减函数，且，若，必有，即不等式的解集为，【点评】本题考查函数的图象以及函数单调性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题27【分析】（）把已知等式变形，化为，分别把三组数据代入，即可求得值；（）由（）得，取求得值即可【解答】解：（）由，得，即，在环境温度为，选取从下降到所用时间约为2分钟这组数据，有，即；选取从下降到所用时间约为3.4分钟这组数据，有，即；选取从下降到所用时间约为5分钟这组数据，有，即故；（）水煮沸后在室温下大约冷却7分钟左右冲泡口感最佳，故选择理由如下：由（）得，当时，有所以水煮沸后在室温下大约冷却7分钟冲泡“碧螺春”口感最佳故选：【点评】本题考查根据实际问题选

27、择函数模型，考查运算求解能力，是中档题28【分析】（）根据性质的定义判断与是否具有性质，由此判断出函数和是否属于集合；（）先根据定义证明函数具有性质，然后即可证明；（）将问转化为证明二次函数不具备性质，利用反证法进行证明即可；【解答】（）解：函数不属于集合，属于集合；（）证明：因为，不妨令，所以，所以，关于的方程有解，所以函数具有性质，则；（）证明：根据题意可知，等价于二次函数不具备性质，假设存在二次函数具备性质，所以存在常数对于任意都有成立，即成立，即成立，所以，解得，这与假设中的矛盾，所以假设不成立，故二次函数不具备性质，所以【点评】本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解

28、新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可29【分析】（）利用该店经营的利润只能保证企业乙的全体职工每个月最低的生活费的开支以及每月所需的各种开支，据此列出方程，即可确定商品的价格；（）设月利润和除职工最低生活费的余额为，列出与售价的函数关系式，根据函数的性质求出取最大值时自变量的值，即可确定商品的价格；（）企业乙脱贫即还清5.8万元的转让价格和5万元的无息贷款，要求最早脱贫时间，由（2）中的值，根据题意设可在年后脱贫，则此年经营的利润，求出的最小值即可【解答】解：（）根据图象，当时，设，将点和代入，则有，解得，则；当时，设，将

29、点和代入，则有，解得，所以；则，若商品的价格应定为元时，该店刚好能够维持职工生活，则有，分两种情况：第一种：当时，即，解得，（舍；第二种：当时，即，解得，（舍，故为使该店至少能够维持乙的生活，商品价格应控制在，元范围内；（）设月利润和除职工最低生活费的余额为，则，分两种情况：第一种：当时，即，则当时，有最大值，此时；第二种：当时，即，则当时，有最大值，此时，因为，所以当元时，月利润扣除最低生活费的余额最大为4050元；（）可设在年后脱贫，由题意可得，解得，故乙只依靠该店，不能在3年内脱贫【点评】本题考查了函数在实际生活中的应用，重点考查了一次函数图象和实际应用相结合的问题，要求学生能够从图象上

30、准确地获取信息，解题的关键是正确理解题意，构建数学模型，属于中档题30【分析】（1）分两种情况进行研究，当时，投入成本为（万元），根据年利润销售收入成本，列出函数关系式，当时，投入成本为（万元），根据年利润销售收入成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当时，利用二次函数求最值，当时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案【解答】解：（1）当时，根据年利润销售收入成本，；当时，根据年利润销售收入成本，综合可得，（2）当时，当时，取得最大值万元；当时，当且仅当，即时，取得最大值万元综合，由于，当产量为100千件时，该

31、厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元【点评】本题考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力，属于中档题31【分析】（）由函数的解析式可得（2），解可得的值，即可得答案，（）根据题意，利用作差法分析可得结论，（）原问题等价于的图象与直线有3个交点，由函数的解析式分析的单调区间，分析可得答案【解答】解：（）根据题意，函数，若（2）则（2），解可得，故；（）在区间上的单调性为增函数，证明：设，则，又由，则，则有，故，故在区间上的单调性为增函数，（）由（）的结论，若关于的方程恰有三个实数解，即的图象与直线有3个交点，实数的取值范围是【点评】本题考查函数与

32、方程的关系，涉及函数的单调性的性质以及应用，属于难题32【分析】（）直接利用新定义进行分析判断即可；（）利用反证法，假设二次函数满足性质，然后经过推理证明，得出矛盾，即可证明；（）利用新定义，对进行分类讨论，分别研究，三种情况，利用恒成立问题的解法进行分析求解即可【解答】（）解：对于，对于任意实数，可得，所以具有性质（1）；对于，对于任意实，可得易知，只需取，则可得（1），所以不具有性质（1）（）证明：设二次函数满足性质则对于任意实数，满足若，则可取，有，矛盾所以，此时即为偶函数（）解：由于，函数的定义域为易知若函数具有性质，则对于任意实数，有即，即由于函数在上单调递增，可得，即当时，得，对任意实数恒成立当时，易知，由，得，得，得依题意，对任意实数恒成立，所以即当时，易知，由，得，得，得依题意，对任意实数恒成立，所以，即综上所述，的取值范围为，【点评】本题考查了新定义的理解和应用，考查了对数函数的性质和对数的运算性质，试题以函数的有关知识为背景设计问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质