北师大版九年级上册1.3正方形的性质与判定同步测试.docx

1、北师大版九年级上册1.3正方形的性质与判定一、选择题1. 如图,已知正方形ABCD的两条对角线相交于点O,那么此图中等腰直角三角形有()A. 4个B. 6个C. 8个D. 10个2. 四位同学分别画一个四边形ABCD(对角线AC,BD相交于点O),并各自测得的结果如下,其中不能判断四边形ABCD是正方形的是() A. 小玮说:AB=BC=CD=AD,AC=BDB. 小玲A=B=C=90,ADB=CDBC. 小明说:AO=BO=CO=DO,AB=BCD. 小亮:ACBD,AC=BD,AB=BC,BAD=903. 正方形具有而菱形不具有的性质是() A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直C. 对

2、角线平分内角D. 对角线相等4. 如图,在正方形ABCD中,CE=MN,MCE=35,那么ANM=()A. 45B. 50C. 55D. 605. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是() A. 平行四边形 B. 平行四边形和菱形C. 正三角形、等腰三角形、正方形D. 矩形、菱形、正方形6. 如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若AO=CO=BO=DO,ACBD,则四边形ABCD的形状是()A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形7. 在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的条件是() A. AC=BD,ABCD B. ADBC,A=C

3、C. AO=BO=CO=DO,ACBDD. AO=CO,BO=DO,AB=BC8. 在正方形ABCD中,O是对角线的交点,AB=12,则OAB的周长是()A. 12+122B. 12+62C. 12+3D. 24+529. 如图,在直线l上依次放着三个正方形,已知斜放的正方形的面积为2,正放的两个正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为()A. 2B. 1C. 2D. 410. 如图,ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,最小值为5,则正方形的边长为()A. 4B. 2.5C. 3D. 511. 如图,在正方形ABCD外侧,作等边三角

4、形ADE,AC,BE相交于点F,则BFC=()A. 45B. 55C. 60D. 7512. 如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30到正方形AEFG,则图中阴影部分的面积为()A. 12B. 33C. 1-34D. 1-3313. 如图,正方形ABCD的周长为24cm,则矩形MNGC的周长是()A. 24cmB. 12cmC. 18cmD. 6cm14. 如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为()A. 16B. 17C. 18D. 1915. 如图,在ABC中,ACB=90,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,

5、且BE=BF.添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是()A. BC=ACB. CFBFC. BD=DFD. AC=BF16. 如图,边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起,连接BD并延长交EG于点T,交FG于点P,则GT长为()A. 2B. 22C. 2D. 117. 如图所示,将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边中点E处,点A落在点F处,折痕为MN,则线段CN的长是()A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm二、填空题18. 如图,E为正方形ABCD外一点,若ADE为等边三角形,那么AEB=.19. 如图所示,已知点D是ABC的边B

6、C(不含点B,C)上的一点.DEAB交AC于点E,DFAC交AB于点F.要使四边形AFDE是正方形,则在ABC中需增加条件.20. 如图,已知正方形ABCD的边长为1,连接AC和BD,CE平分ACD交BD于点E,则DE=.21. 如图所示,在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE,则AEB的度数为.22. 如图,三个边长均为2的正方形重叠在一起,O1,O2是其中两个正方形的中心,则阴影部分的面积是.23. 如图,在正方形ABCD中,边长为2的等边三角形AEF的顶点E,F分别在BC和CD上.下列结论:CE=CF;AEB=75;BE+DF=EF;S正方形ABCD=2+3.其中正确的序号是.(把你认

7、为正确的都填上)24. 如图所示,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过此正方形的顶点B,D作BFa于点F,DEa于点E,若DE=8,BF=5,则EF的长是.25. 如图所示,在边长为2cm的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB,PQ,则PBQ周长的最小值为cm(结果不取近似值).三、解答题26. 如图所示,在ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,AF与DE相交于点G,CE与BF相交于点H.(1)你能说明四边形EHFG是平行四边形吗?(2)想一想,什么时候四边形EHFG会成为一个菱形?(3)四边形EHFG会成为一个正方形吗?27. 如图,在正方形ABC

8、D中,点F在CD上,AE平分BAF,E为BC的中点.求证:AF=BE+DF.28. 如图,四边形ABCD是正方形,BEBF,BE=BF,EF与BC交于点G.(1)求证:AE=CF;(2)若ABE=55,求EGC的大小.29. 如图,E,F,M,N分别是正方形ABCD四条边上的点,且AE=BF=CM=DN,则四边形EFMN是什么特殊的四边形?请证明你的结论.30. 如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点,且ACE是等边三角形.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若AED=2EAD,求证:四边形ABCD是正方形.31. 如图,正方形ABCD的边长为3,

9、E,F分别是AB,BC边上的点,且EDF=45.将DAE绕点D逆时针旋转90,得到DCM.(1)求证:EF=FM;(2)当AE=1时,求EF的长.32. 如图,在RtABC中,ACB=90,过点C的直线MNAB,D为AB边上一点,过点D作DEBC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD,BE.(1)求证:CE=AD.(2)当D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由.(3)若D为AB中点,则当A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?请说明你的理由.33. 已知正方形ABCD的边长为a,两条对角线AC,BD相交于点O,P是射线AB上任意一点,过P点分别作直线AC,BD的垂线

10、PE,PF,垂足为E,F.(1)如图,当P点在线段AB上时,求PE+PF的值;(2)如图,当P点在线段AB的延长线上时,求PE-PF的值.北师大版九年级上册1.3正方形的性质与判定参考答案1. 【答案】C【解析】题图中由已知得等腰直角三角形有AOB,BOC,DOC,AOD,ABD,BCD,ABC,ADC,共8个,故选C.2. 【答案】D【解析】A中,AB=BC=CD=AD,四边形ABCD是菱形.又AC=BD,四边形ABCD是正方形.B中,A=B=C=90,四边形ABCD是矩形,ABD=CDB.ADB=CDB,ADB=ABD,AB=AD,四边形ABCD是正方形.C中,AO=BO=CO=DO,四边

11、形ABCD是矩形.又AB=BC,四边形ABCD是正方形.D中,对角线相等且互相垂直,有一组邻边相等,一个角是直角不能说明四边形ABCD是正方形.故选D.3. 【答案】D【解析】A,B,C是菱形所具有的性质，而菱形的对角线相等即是正方形，故选D.4. 【答案】C【解析】过B做BGMN,交AD于G，则由题意得BG=MN=CE，BCE=35，BGA=55，则ANM=55,故选C.5. 【答案】D【解析】平行四边形是中心对称图形,但不一定是轴对称图形,故A,B不符合题意;正三角形、等腰三角形是轴对称图形,但不是中心对称图形,故C不符合题意;矩形、菱形、正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形,故选D.6

12、. 【答案】D【解析】AO=BO=CO=DO,四边形ABCD是平行四边形.ACBD,平行四边形ABCD是菱形.又AO=BO=CO=DO,AC=BD.菱形ABCD是正方形.故选D.7. 【答案】C【解析】A项只能得出四边形ABCD是矩形;B项只能得出四边形ABCD是平行四边形;C项通过AO=BO=CO=DO可以判断该四边形为矩形,由ACBD可进一步判断该矩形为正方形;D项只能得出四边形ABCD是菱形.故选C.8. 【答案】A【解析】如图所示,AB=AD=12,BD=122+122=122.COAB=OA+OB+AB=BD+AB=122+12.故选A.9. 【答案】C【解析】题图中的两个直角三角形

13、全等,则以直角三角形三边长为边长所构造的三个正方形满足“两较小的正方形的面积和等于较大的正方形的面积”,则S1+S2=2,故选C.10. 【答案】D【解析】设BE与AC的交点为点P,如图所示,连接PD,则此时PD+PE的和最小.四边形ABCD是正方形,点D与点B关于AC对称,PD+PE=PB+PE=BE=5.又ABE是等边三角形,AB=BE=5.正方形的边长为5.故选D.11. 【答案】C【解析】AC是正方形ABCD的对角线,BAC=45.又ADE是等边三角形,DAE=60,AB=AD=AE,BAE=BAD+DAE=90+60=150,ABE=AEB=12(180-150)=15.又BFC是A

14、BF的一个外角,BFC=BAC+ABE=45+15=60.故选C.12. 【答案】D【解析】设EF交CD于点H,连接AH,如图所示.正方形ABCD绕点A逆时针旋转30到正方形AEFG,BAE=30,EAD=90-BAE=90-30=60.AE=AD,AH为公共边,RtADHRtAEH(HL),DAH=EAH=12EAD=30.在RtADH中,AH=2DH,AD=1,(2DH)2-DH2=AD2,即4DH2-DH2=1,解得DH=33(负值舍去).SAHD=12ADDH=12133=36.SADH=SAEH=36,S阴影部分=1-362=1-33.故选D.13. 【答案】B【解析】四边形ABCD

15、是正方形,NBG=NDM=45,在RtBGN中,BG=GN,在RtNMD中,NM=MD.又四边形NGCM是矩形,NM=CG,NG=CM,矩形MNGC的周长=MN+NG+GC+MC=MD+BG+GC+MC=(MD+MC)+(BG+GC)=DC+BC=1224=12(cm),故选B.14. 【答案】B【解析】如图所示,AC是正方形ABCD的一条对角线,ACB=ACD=45,ABC是等腰直角三角形,AC=AB2+BC2=62+62=62.又四边形EBFG和四边形PHQM均为正方形,CFG和CPM是等腰直角三角形,则BF=FG=CF=12BC=126=3,CM=PM=QM=HQ=AQ=13AC=136

16、2=22,正方形EBFG的面积S1=32=9,正方形PHQM的面积S2=(22)2=8,S1+S2=9+8=17.15. 【答案】D【解析】因为EF垂直平分BC,所以BE=EC,BF=FC.又BE=BF,所以BE=EC=CF=FB,所以四边形BECF为菱形.如果BC=AC,则ABC=902=45,则EBF=90,能证明四边形BECF为正方形.如果CFBF,那么BFC=90,能证明四边形BECF为正方形.如果BD=DF,那么BC=EF,能证明四边形BECF为正方形.当AC=BF时,可得AC=BE=EC=AE,此时ABC=30,则EBF=60,不能证明四边形BECF为正方形.故选D.16. 【答案

17、】B【解析】BD,GE分别是正方形ABCD,正方形CEFG的对角线,ADB=CGE=45.GDT=180-90-45=45.DTG=180-GDT-CGE=180-45-45=90.DGT是等腰直角三角形.两正方形的边长分别为4,8,DG=8-4=4.设GT=x,则DT=x,x2+x2=42,x=22.则GT=22.故选B.17. 【答案】B【解析】E是BC的中点,EC=128=4(cm),由题意可知DN=EN,设CN=xcm,则DN=(8-x)cm,在RtECN中,由勾股定理得(8-x)2=x2+42,解得x=3,即CN=3cm故选B.18. 【答案】15【解析】如题图，由题意得EDA=60

18、,DAB=90,EAB=150，又EA=AD=AB,AEB=180-302=15.19. 【答案】AB=AC,A=90,BD=CD【解析】由条件可得四边形AFDE是平行四边形,一组邻边相等且有一个角为直角的平行四边形是正方形.20. 【答案】2-1【解析】如图所示,设AC与BD相交于点O.过点E作EFDC于点F,四边形ABCD是正方形,ACBD.又CE平分ACD交BD于点E,EO=EF.正方形ABCD的边长为1,AC=12+12=2.CO=12AC=22.CF=CO=22.EF=DF=DC-CF=1-22.DE=EF2+DF2=(1-22)2+(1-22)2=2-1.21. 【答案】15【解析

19、】ADE是等边三角形,DAE=60.BAE=90+60=150.在BAE中,AB=AE,AEB=12(180-150)=15.22. 【答案】2【解析】如图,连接O1B,O1C,BO1F+FO1C=90,FO1C+CO1G=90,BO1F=CO1G.又O1B=O1C,O1BF=O1CG=45,O1BFO1CG.这表明如果正方形ABCD绕着点O1旋转，则不论两正方形相对位置如何，重叠部分的面积为一个定值.当B,C都在第二个正方形边上的时候，重叠部分为四分之一的正方形，所以O1,O2两个正方形重叠部分的面积是14S正方形,同理另外两个正方形重叠部分的面积也是14S正方形,S阴影部分=12S正方形=

20、2.23. 【答案】【解析】AB=AD,AE=AF,B=D=90,BE=DF.又BC=CD,CE=CF,正确;在正方形ABCD中,由得CEF=45,又AEF=60,可得AEB=75,正确;连接AC交EF于点M,可得ACEF,EM=CM=1,则AC=3+1,正方形的面积为(3+1)22=2+3,正确.设BE=x,则AB=BC=x+2,x2+(x+2)2=22,解得x=6-22(舍去负值),BE+DF=2x=6-22=EF.错误.24. 【答案】13【解析】在正方形ABCD中,AB=AD,BAD=90,FAB+DAE=90.又DEa,EDA+DAE=90,FAB=EDA.又DEA=AFB=90,A

21、FBDEA,AF=DE,BF=AE.EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13.25. 【答案】5+1【解析】连接BD,DQ,PD,则PBQ的周长为PB+PQ+BQ=PD+PQ+BQDQ+BQ,所以当P,D,Q三点共线时PBQ的周长最小.因为Q为BC的中点,所以在RtCDQ中,DQ=CD2+CQ2=22+12=5.因为四边形ABCD是正方形,所以AC垂直平分BD,则PB=PD,故PBQ的周长=PB+PQ+BQ=PD+PQ+BQ=DQ+BQ=5+1.26.(1) 【答案】能说明四边形EHFG是平行四边形.四边形ABCD是平行四边形,ABCD且AB=CD.而AE=12AB,CF=12CD,AECF

22、.四边形AECF是平行四边形,可知GFEH.同理可得GEHF.四边形EHFG为平行四边形.(2) 【答案】当四边形ABCD是矩形时,四边形EHFG是菱形.由第1问四边形EHFG是平行四边形.当四边形ABCD是矩形时,四边形EBCF也是矩形,EH=FH,四边形EHFG是菱形.(3) 【答案】当四边形ABCD是矩形且AB=2AD时,四边形EHFG是正方形.由第二问知当四边形ABCD是矩形时,四边形EHFG是菱形.又由AB=2AD可知四边形EBCF是正方形.根据正方形的性质知,ECBF,即EHF=90,四边形EHFG是正方形.27. 【答案】将ABE逆时针旋转90变为如图所示,则AB=AD,BE=D

23、E,EAE=90,ADE=ABE=90,E,D,F三点共线.AE是BAF的角平分线.1=2.又四边形ABCD是正方形,B=90.AEB=E=90-1=90-2=EAF.AF=FE=FD+DE=FD+BE.28.(1) 【答案】四边形ABCD是正方形,ABC=90,AB=BC.BEBF,FBE=90.ABE+EBC=90,CBF+EBC=90,ABE=CBF.在AEB和CFB中,AB=BC,ABE=CBF,BE=BF,AEBCFB(SAS),AE=CF.(2) 【答案】BEBF,FBE=90.又BE=BF,BEF=EFB=45.四边形ABCD是正方形,ABC=90.ABE=55,EBG=90-5

24、5=35.EGC=EBG+BEF=35+45=80.29. 【答案】四边形EFMN是正方形.证明:四边形ABCD是正方形,AB=BC=CD=DA.AE=BF=CM=DN,NA=EB=FC=MD.A=B=C=D=90,RtAENRtBFERtCMFRtDNM(SAS).EF=FM=MN=NE.四边形EFMN是菱形.又ANE=BEF,ANE+AEN=90,AEN+BEF=90,NEF=180-(AEN+BEF)=180-90=90.菱形EFMN是正方形.30.(1) 【答案】四边形ABCD是平行四边形,AO=CO.ACE是等边三角形,AE=CE.ACEO,即ACBD,则平行四边形ABCD是菱形.(

25、2) 【答案】ACE是等边三角形,AEC=EAC=60.OA=OC,AED=12AEC=30.AED=2EAD,EAD=15,DAC=45.由第1问知四边形ABCD是菱形,DAC=BAC=45,BAD=90,则菱形ABCD是正方形.31.(1) 【答案】DAE逆时针旋转90得到DCM,DE=DM,EDM=90,即EDF+FDM=90.EDF=45,FDM=EDF=45.DF=DF,DEFDMF.EF=MF.(2) 【答案】设EF=x,AE=CM=1,BF=BM-MF=BM-EF=4-x.又EB=2,在RtEBF中,由勾股定理得EB2+BF2=EF2,即22+(4-x)2=x2.解之,得x=52

26、.即EF=52.32.(1) 【答案】证明:DEBC,DFB=90.ACB=90,ACB=DFB,ACDE.MNAB,即CEAD,四边形ADEC是平行四边形,CE=AD.(2) 【答案】四边形BECD是菱形,理由:D为AB中点,AD=BD.CE=AD.BD=CE.BDCE,四边形BECD是平行四边形.又ACB=90,D为AB中点,CD=BD.四边形BECD是菱形.(3) 【答案】当A=45时,四边形BECD是正方形,理由:ACB=90,A=45,ABC=A=45,AC=BC.又D为AB中点,CDAB,CDB=90.四边形BECD是菱形,四边形BECD是正方形,即当A=45时,四边形BECD是正方形.33.(1) 【答案】四边形ABCD为正方形,ACBD.PFBD,PFAC,同理PEBD.四边形PFOE为矩形,故PE=OF.又PBF=45,PF=BF,PE+PF=OF+FB=OB=22a.(2) 【答案】四边形ABCD为正方形,ACBD.PFBD,PFAC,同理PEBD.四边形PEOF为矩形,PE=OF.又PBF=OBA=45,PF=BF.PE-PF=OF-BF=OB=22a.