圆锥曲线-斜率之和2-2023届高三数学二轮专题复习讲义.docx

1、微专题、斜率之和2从圆锥曲线上一点引两条直线，由此可设置相关问题，因形状类似筷子，故称为筷子问题 (如右图筷子PA、PB). 特别地：Th: 从圆锥曲线(圆，椭圆，双曲线，抛物线)上一点P引两条直线，分别和曲线交于A、B两点。若kPA+kPB=(0)，则AB过定点；反之成立，即若AB过定点，则kPA+kPB=(0)。我们经常以上定理的特殊情况来命制题目，具体常用证明的方法有：法1：假设直线AB，联立曲线得A、B两点韦达信息，再求kPA+kPB；法2：假设直线PA、PB，联立曲线得A、B坐标，再求kAB；*法3：三点P、A、B都在曲线上，直接进行点差运算；*法4：平移坐标齐次化，假设直线AB为m

2、x+ny=1,再进一步处理；典 型 例 题【例题】(2017年全国1卷理20)已知椭圆C：（ab0），四点P1(1,1)，P2(0,1)，P3(1，)，P4(1，)中恰有三点在椭圆C上.(1) 求C的方程； (2) 设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.解：(1)方程为.(2) 设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1、k2，法1：直线AB如果l与x轴垂直，设l：x=t，知，且，可得A（t，），B（t，），则，得，不符合题设.从而可设l：y=kx+m（）.代入得由题设可知. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1

3、x2=.要点：设直线AB写韦达，然后由k1+k2=1得双参关系,而.由题设，故.即. 解得m=2k1.当且仅当时，欲使l：y=kx2k1，即y=k(x2)1，所以l过定点(2，)法2：直线PA+PB由题知直线P2A、P2B的斜率存在且不为0，分别设为k1、k2，依题得k1+k2=1；设直线P2A的方程为：y=k1x+1联立椭圆得(4k12+1)x2+8k1x0，所以xA，即A(,)同理可得B(,); kAB=.=进而得到直线AB方程为y=(x+)要点：设直线PA+PB求直线AB，然后分析直线AB，但，计算量大！y=(x+)+=. =(x2)1,l过定点(2，)*法3：点差法依题有P(x0，y0

4、)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为三点都在曲线上，代入点差运算;(具体省略，具体可参考微专题-斜率相反数)*法4：平移坐标齐次法以点P2为原点，建立新直角坐标系xP2y，联立+(y+1)2=1和mx+ny=1求解;(具体省略，具体可参考微专题-斜率相反数)【备注】1、 从条件上看，只要是曲线上的点命制题目，有k1+k2(0)，都会得到直线过定点；2、 从问题上看，可以以直线AB过定点基础上进一步命制问题，比如O到直线距离的最小值等： .解决的关键都是先证直线AB过定点；把条件和结论对换，依然成立，即：若直线AB过定点(2，)，则k1+k21;3、 从方法上看，法1法2常用，法3法4

5、不常用，但都是抓住斜率和为定值这一条件展开；*4、更进一步,从圆锥曲线(圆，椭圆，双曲线，抛物线)上一点P(x0，y0)引两条直线，分别和曲线交于A、B两点：(1)从椭 圆+1上，若kPA+kPB=(0)，则直线AB过定点(x02y0,y0b22x0a2)；(2)从双曲线1上，若kPA+kPB=(0)，则直线AB过定点(x02y0,y0+b22x0a2)；(3)从抛物线y22px上， 若kPA+kPB=(0)，则直线AB过定点(x02y0,y0+2p)； 举 一 反 三【训练1】1.已知P(1，2)在抛物线C：y22px上(1)求抛物线C的方程；(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA

6、的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点【训练2】2已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上有点P1,22，左、右焦点分别为F1(1,0),F2(1,0)(1)求椭圆的标准方程；(2)若点Q为椭圆的上顶点，椭圆上有异于Q的两点M,N 直线MN斜率存在,且满足kQM+kQN=1，求证：直线MN恒过定点【训练3】3已知双曲线，点在上.(1)求的方程；(2)过点的直线交于不同的两点（均异于点），求直线的斜率之和.参 考 答 案1(1)P点坐标代入抛物线方程得42p，p2，抛物线方程为y24x(2)证明：设AB：xmy+t，将AB的方程与y24x联立得y24my4t0，设A(x1，y1)

7、，B(x2，y2)，则y1+y24m，y1y24t，所以016m2+16t0m2+t0，同理：，由题意：，4(y1+y2+4)2(y1y2+2y1+2y2+4)，y1y24，4t4，t1，故直线AB恒过定点(1，0)2.解（1）根据椭圆定义得，2a=PF1+PF2=22+12+12=22，即a=2 ，c=1,b=a2c2=1，故椭圆的标准方程为x22+y2=1（2）证明：直线MN斜率存在，设直线MN方程：y=kx+t，将y=kx+t代入椭圆方程x22+y2=1整理得1+2k2x2+4ktx+2t22=0，需满足=8(2k2t2+1)0 ，设Mx1,y1,Nx2,y2，则x1+x2=4kt1+2k2,x1x2=2t221+2k2，则由题意得y11x1+y21x2=1，将y1=kx1+t，y2=kx2+t代入整理得：(2k1)x1x2+(t1)x1+x2=0（*），得：(2k1)2t221+2k2+(t1)4kt1+2k2=0，整理得(t1)(2kt1)=0，当t1=0时，MN过B点，不合题意；故2kt1=0，直线MN的方程为y=kx+2k1=k(x+2)1，故此时MN过定点(2,1)；3(1)点在上，得.双曲线的方程为.(2)过点的直线斜率显然存在，设的方程为：，将的方程代入双曲线的方程并整理得 依题意，且，所以且，又，因此，可得，.