圆锥曲线-斜率之等差-2023届高三数学二轮专题复习讲义.docx

1、微专题、斜率之等差在圆锥曲线的问题中，除了斜率之和，斜率之积，斜率之商的相关问题，还有一类斜率成等差的问题.事实上，有如下定理：Th: 过x轴上右焦点的直线交椭圆于A，B两点，则在直线x=a2c上任一点P对弦端点及定点的连线的斜率成等差数列，即kPA+kPB=2kPF.如果点P刚好在x轴，可得kPA+kPB=0，即为圆锥曲线a2模型。另外，也经常取某个特殊的点P，来设置问题，这样计算会简化些，如下例题。典 型 例 题【例题】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0的离心率为12，长轴为4(1)求椭圆C的方程；(2)P为直线x=4上任意一点，过点右焦点F且与PF垂直的直线交椭圆于A，B两点记PA

2、、PF、PB的斜率分别为k1、k2、k3，求证：k1+k3=2k2.解：(1)椭圆C的方程为x24+y23=1.(2) 法1：直接计算设直线AB的方程为x=my+1，其中m0，联立x24+y23=1x=my+1，得3m2+4y2+6my9=0，显然=36m2+363m2+40，设Ax1,y1、Bx2,y2，得y1+y2=6m3m2+4，y1y2=93m2+4，依题得直线PF的方程为：y=mx1 ，得P4,3m故有k2=m，k1=y1+3mx14，k3=y2+3mx24，得k1+k32k2=y1+3mx14+y2+3mx242m=y1+3mmy13+y2+3mmy23+2m ， =(y1+3m)

3、(my23)+(y2+3m)(my13)(my13)(my23)+2m=2my1y2+(3m23)(y1+y2)18mm2y1y23m(y1+y2)+9+2m, =2m(93m2+4)+(3m23)(6m3m2+4)18mm2(93m2+4)3m(6m3m2+4)+9+2m=18m318m9m2+9+2m=0，法2：和积代换最后一行运算，也可以用my1y2=32y1+y2转化得k1+k32k2=2my1y2+(3m23)(y1+y2)18mm2y1y23m(y1+y2)+9+2m=2m2y1y218mm2y1y2+9+2m, =2m+2m=0，变式：P为直线x=4上任意一点，直线AB为过右焦点

4、的任意直线，求证：k1+k3=2k2.解：同例题得韦达定理，令P4,t，故有k2=t3，k1=y1tx14，k3=y2tx24，得k1+k32k2=y1tx14+y2tx242t3=y1tmy13+y2tmy232t3 =(y1t)(my23)+(y2t)(my13)(my13)(my23)2t3=2my1y2(3+mt)(y1+y2)+3tm2y1y23m(y1+y2)+92t3， =2t3m2y1y2+3tm2y1y2+92t3=2t32t3=0.【备注】1、 从问题的设置来看，原问题也可改为：“求证 k1+k3k2=2，”或“探索是否存在常数，使得k1+k3=k2”，本质相同；2、 从方

5、法上看，法1并不神奇，就是很基础的斜率运算中，韦达定理代入；法2是在认定结果是定值，巧妙利用和积关系转化，然后进行约分，简化计算；3、实际上，以上的斜率等差现象，不止对焦点准线位置成立，进一步有：(1)过x轴上点Q(t,0)的直线交椭圆于A，B两点，则在直线x=a2t上任一点P,对弦端点及定点的连线的斜率成等差数列.(2)过x轴上一定点Q(t,0)的直线交双曲线于两点，则在直线x=a2t上任一点P,对弦端点及定点的连线的斜率成等差数列. (3)过x轴上一定点Q(t,0)的直线交抛物线于两点，则在直线x=t上任一点对弦端点及定点的连线的斜率成等差数列.*4、更进一步，我们也可以从调和线束来理解以

6、上结论的本质，Th: 若A、C、B、D四点成调和点列，在这四点所在直线外任取一点P，所形成的四条射线PA、PC、PB、PD称为调和线束，对应的方程为li:y=kix+b(i=1,2,3,4)，那么1k1k2+1k1k4=2k1k3.所以，这三斜率对应的直线是调和线束的三条。故可对变式题再证明：证：可知焦点F(1,0),对应的极线为x=4，所以F和T调和分割AB，即PT、PA、PF、PB称为调和线束，故1kPBkPF+1kPBkPT=2kPBkPA注意k=kPT=+, 所以1kPBkPT=0，于是1kPBkPF=2kPBkPA，即kPBkPA=2kPB2kPF，故kPA+kPB=2kPF，于是得

7、证k1+k3=2k2.*5、2013年江西高考题也是斜率成等差模型，但并不是备注3所述的类型，但用备注4来理解就很快了，也是调和线束的4个斜率关系，原题如下：(2013年江西理21)如图，椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)经过点P（1，32），离心率e=12，直线l的方程为x=4. (1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1,k2,k3.问：是否存在常数，使得 k1+k2=k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由.举 一 反 三【训练1】1已知抛物线C:y2=2px(p0)的准线上一点E(1,t)

8、，直线l过抛物线C的焦点F，且与抛物线C交于不同的两点A、B(1)求抛物线C的方程；(2)设直线EA、EF、EB的斜率分别为k1、k2、k3，求证：k1+k3=2k2【训练2】2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1ab0的右顶点为2,0，离心率为32，P是直线x=4上任一点，过点M1,0且与PM垂直的直线交椭圆于A，B两点(1)求椭圆的方程；(2)设直线PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，问：是否存在常数，使得k1+k3=k2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【训练3】3已知曲线C上任意一点P到x=32的距离是它到M2,0的距离的32倍.(1)求曲线C的方程；

9、(2)直线x=mm3交x轴于N，与曲线C在第一象限的交点为E，过点N的直线l与曲线C交于F，G两点，与直线x=3m交于点K，记EF，EG，EK的斜率分别为k1，k2，k3，求证：k3是k1，k2的等差中项参 考 答 案1.解:（1）由题意，知p2=1，所以p=2，所以拋物线C的方程为y2=4x（2）因为直线l过抛物线C的焦点F(1,0)，由题意知，直线l斜率不为0，所以设l的方程为x=my +1，设Ax1,y1，Bx2,y2，联立x=my+1y2=4x，消去x得y2=4my+4，即y24my4=0，所以=16m2+160，y1+y2=4m，y1y2=4所以k1+k3=y1tx1+1+y2tx2

10、+1=x2+1y1t+x1+1y2tx1+1x2+1=x2y1+x1y2tx1+x2+y1+y22tx1+1x2+1=2my1y2+(2tm)y1+y24tm2y1y2+2my1+y2+4=8m+(2tm)4m4t4m2+8m2+4=4tm24t4m2+4=t4m2+44m2+4=t，因为E(1,t)，F(1,0)，所以k2=0t1(1)=t2，所以k1+k3=2k22.解:（1）由题意在椭圆x2a2+y2b2=1ab0中，右顶点为2,0，离心率为32，a=2，e=ca=32 c=3 b2=a2c2=1椭圆的方程为：x24+y2=1（2）由题意及（1）得在椭圆x24+y2=1中，设存在常数，使

11、得k1+k3=k2当直线AB斜率不存在时，其方程为：x=1，代入椭圆方程得A1,32，B1,32，此时P4,0,可得k1+k3=0=k2当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx1，Ax1,y1，Bx2,y2，将直线方程代入椭圆方程得：1+4k2x28k2x+4k24=0x1+x2=8k21+4k2，x1x2=4k241+4k2P是直线x=4上任一点，过点M1,0且与PM垂直的直线交椭圆于A，B两点直线PM的方程为：y=1kx1 P4,3k由几何知识得：k2=1k，k1=y1+3kx14，k3=y2+3kx24 k1+k3=k2 y1+3kx14+y2+3kx24=1k将x1+x2=8k

12、21+4k2，x1x2=4k241+4k2，y1=kx11，y2=kx21代入方程，并化简得：2k=k, 解得：=2综上，存在常数=2，使得k1+k3=k23.解:（1）设Px,y，因为曲线C上任意一点P到x=32的距离是它到M2,0的距离的32倍，所以x32=32x22+y2，所以x322=34x22+y2，化简得x23y2=1，所以曲线C的方程为x23y2=1；（2）由题意可得Nm,0，设Em,y0，则m23y02=1，当直线l的斜率为0时，F3,0,G3,0，K3m,0，k1+k2=y0m+3+y0m3=2my0m23，k3=y0m3m=my0m23，所以此时有k1+k2=2k3当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+m，Fx1,y1,Gx2,y2，联立x=ty+mx23y2=1，可得t23y2+2mty+m23=0，所以y1+y2=2mtt23,y1y2=m23t23，所以k1=y1y0x1m=y1y0ty1=1ty0ty1，同理k2=1ty0ty2，所以k1+k2=2ty0t1y1+1y2=2ty0ty1+y2y1y2=2ty0t2mtm23=21t+my0m23，由x=ty+mx=3m可得K3m,3m2tm，所以k3=y03m2tmm3m=my0m23+1t，所以k1+k2=2k3，综上可得：k1+k2=2k3 ，k3是k1，k2的等差中项.