2013版高中全程复习方略配套课件：6.5合情推理和演绎推理（数学理.ppt

1、第五节合情推理和演绎推理三年20考高考指数:1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.1.归纳与数列相结合问题、类比、演绎推理是考查重点；2.以选择题、填空题的形式考查合情推理；以选择题或解答题的形式考查演绎推理，题目难度不大，多以中低档题为主.1.合情推理归纳类比定义由一系列有限的_得出_的推理方法叫作归纳.根据两个不同的对象在某方面的_，推测出这两个对象在其他方面也可能_，这就是类比.模式从个别事实中概括出一般原理的一种

2、推理模式在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种推理模式.特殊事例一般结论相似之处有相似之处【即时应用】(1)判断下列命题是否正确.(请在括号中填“”或“”)(ab)n=anbn与(a+b)n类比，则有(a+b)n=an+bn;()loga(xy)=logax+logay与sin(+)类比，则有sin(+)=sinsin;()(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比，则有(a+b)2=a2+2ab+b2.()(2)已知数列是第_项.(3)在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积的比为14，类似地，在空间内，若两

3、个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积的比为_.【解析】(1)错.(a+b)2=a2+2ab+b2a2+b2;错.sin(+)=sincos+cossinsinsin;对.(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2满足向量数量积的运算.(2)由题可知该数列的第n项得2n-1=45，n=23.(3)两个正四面体的棱长的比为12，则其高之比为12，底面积之比为14，故其体积的比为18.答案：(1)(2)23 (3)182.演绎推理主要形式推理模式三段论由大前提、小前提推出结论的三段论式推理由一般性命题推出特殊性命题的一种推理模式（1）大前提M是P（2）小前提S是M（3）结论S是P【即

4、时应用】(1)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，判断下列说法的真假(填“真”，“假”)使用了归纳()使用了类比()使用了演绎推理()使用了“三段论”但推理形式错误()使用了“三段论”但小前提错误()(2)判断下列推理过程是否是演绎推理(请在括号中填“是”或“否”)两条直线平行，同旁内角互补，如果A和B是两条平行直线的同旁内角，则A+B=180 ()某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班级人数超过50人()由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质()在数列an中，a1=1,an=(an-1+)(n2,nN*)，

5、由此归纳出an的通项公式()【解析】(1)假：不满足归纳的定义；假：不满足类比的定义；真：满足演绎推理的定义；真：使用了“三段论”但大前提中的“有些有理数”与小前提中的“有理数”不是同一概念，故不符合三段论的推理形式.假，使用了“三段论”但小前提是正确的.(2)是，使用了“三段论”.不是，使用了归纳不是演绎推理.不是，使用了类比.不是,使用了归纳.答案：(1)假 假 真 真 假(2)是 否 否 否归纳【方法点睛】归纳的特点(1)归纳是由部分到整体、由特殊到一般的推理.(2)由归纳所得的结论不一定正确，通常归纳的个数越多，越具有代表性，推广的一般性结论也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法

6、.【例1】(1)已知：f(x)=,设f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1(fn-1(x)(n1且nN*),则f3(x)的表达式为_，猜想fn(x)(nN*)的表达式为_.1=1(2)观察式子：3+5=8 你可以猜出的一个一般性结论是_.7+9+11=27(3)设f(x)=，先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.【解题指南】(1)由已知条件及递推关系可推得f2(x),f3(x)及fn(x).(2)由三个等式可推第四，第五个等式，从而得第n个等式即一般结论.(3)由0+1=1,-1+2=1,-2+3=1,可得x+(1-x)

7、=1.【规范解答】(1)由f1(x)=f(x)=得f2(x)=f1(f1(x)=f3(x)=f2(f2(x)=f4(x)=f3(f3(x)=故猜想fn(x)=答案：(2)由前三个等式得13+15+17+19=64=43,21+23+25+27+29=125=53，所以第n个等式的第一个数应为第1+2+(n-1)+1个奇数，即为共有n个奇数，即第n个等式应为n(n-1)+1+n(n-1)+3+n(n-1)+5+n(n-1)+2n-1=n3.即(n2-n+1)+(n2-n+3)+(n2+n-1)=n3.答案：(n2-n+1)+(n2-n+3)+(n2+n-1)=n3(3)f(0)+f(1)=同理可

8、得：f(-1)+f(2)=,f(-2)+f(3)=.由此猜想f(x)+f(1-x)=.证明：【反思感悟】本例实质是由前几项，归纳猜想一般性结论的题目，其解题的关键点是找出其中的规律，如第(1)题中通过递推关系得f2(x),f3(x),f4(x)可观察其分子一样，分母变化的是x的系数，故可推出一般结论;第(2)题中的关键问题是第n个等式的左边第一个数是多少，通过观察可看出是第1+2+(n-1)+1个奇数，从而确定其等式关系；第(3)题中规律是0+1=0+1-0,-1+2=-1+1-(-1),-2+3=-2+1-(-2),从而得x+(1-x)的联想，x+(1-x)也可看成-x+1+x，即f(-x)

9、+f(1+x)=也成立.类比【方法点睛】类比的特点(1)类比是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法.(2)比的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论.一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比如表所示：平面空间点线线面圆球三角形三棱锥角二面角面积体积周长表面积【例2】(2011盐城模拟)已知命题：“若数列an是等比数列，且an0，则数列bn=(nN*)也是等比数列”.类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论.【解题指南】等差、等比数列有着众多的类比性质，其类比关系为等差数列

10、中的和类比等比数列中的积，等差数列中的算术平均数类比等比数列中的几何平均数，故本题中的等比数列的几何平均数应与等差数列的算术平均数类比.【规范解答】类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列an是等差数列，则数列也是等差数列.证明如下：设等差数列an的公差为d,则所以数列bn是以a1为首项，为公差的等差数列.【反思感悟】在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、等差与等比、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证明的.演绎推理【方法点睛】演绎推理的特点演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是

11、三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的.其推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况.这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论.【提醒】应用三段论时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，有时可省略.【例3】证明：函数f(x)=-x2+2x在1,+)上是减函数.【解题指南】证明函数的增减性，其大前提是单调性的定义，若函数满足单调性的定义，则其增减性可得.

12、【规范解答】任取x1,x21,+)，且x11,x1+x22,f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x1+x2-2)0,函数f(x)=-x2+2x在1,+)上是减函数.【反思感悟】演绎推理是证明数学问题的基本推理形式，因此在高考中经常出现，三段论推理是演绎推理的一种重要的推理形式，是由一般到特殊的推理，在前提真实并且推理形式正确的前提下，其结论就必然真实.【易错误区】归纳类问题的解答误区【典例】(2011江西高考)观察下列各式：72=49,73=343,74=2 401,，则72 011的末两位数字为()(A)01 (B)43 (C)07 (D)49【解题指南】需先求出75=16 807,76

13、=117 649，观察后两位发现呈周期变化，周期为4，易得72 011的末两位数字.【规范解答】选B.由条件知：75=16 807,76=117 649,77=823 543,观察发现后两位数字呈周期变化，周期为4，又2 011=4502+3,72 011的末两位数字是43.【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示在解答本题时有两点造成误解：(1)对于给定的式子，只观察式子结果，而不去继续探究下几项式子，从而找不到规律而误解.(2)在继续探究的情况下，运算错误从而导致周期找不到或找错周期而误解.备考建议解决有关归纳的问题，尤其是所求题目无法直接

14、解出，必须寻求其规律找到周期才能解决时，有以下几点易造成误解，在备考时应高度关注.(1)无从下手，不知道此类题目一定会有规律.没有周期性，本题是无法求解的.(2)求解时需要多计算几个式子，从中发现规律，但运算要准确无误方能正确求解.1.(2012龙岩模拟)把正整数1，2，3，4，5，6按某种规律填入下表.按照这种规律连续填写，2 011出现在第_行第_列.261014145891213371115【解析】依题意知，这些数所出现的位置是以4为周期重复性地连续填入相应的位置；且从1开始的连续四个整数共填了3列.注意到2 011=4502+3，因此2 011所填的位置与3所填的位置相对应，即应填在第

15、三行；2 011所填的位置应是第5023+2=1 508列，即2 011出现在第3行第1 508列.答案：3 1 508 2.(2011陕西高考)观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第五个等式应为_.【解析】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n，加数的个数是2n-1;等式右边都是完全平方数，行数等号左边的项数1=1 1 1 2+3+4=9 2 3 3+4+5+6+7=25 3 5 4+5+6+7+8+9+10=49 4 7则第5行等号的左边有9项，右边是9的平方，所以5+6+5+(25-1)-1=9

16、2,即5+6+13=81.答案：5+6+7+8+9+10+11+12+13=81(或5+6+13=81)3.(2012厦门模拟)“点动成线，线动成面，面动成体”.如图，x轴上有一条单位长度的线段AB，沿着与其垂直的y轴方向平移一个单位长度，线段扫过的区域形成一个二维方体(正方形ABCD)，再把正方形沿着与其所在的平面垂直的z轴方向平移一个单位长度，则正方形扫过的区域形成一个三维方体(正方体ABCD-A1B1C1D1).请你设想存在四维空间，将正方体向第四个维度平移得到四维方体，若一个四维方体有m个顶点，n条棱，p个面，则m，n，p的值分别为_.【解析】依题意，线段AB平移到CD位置后，可形成正方形ABCD，它有4个顶点、4条边、1个面；正方形ABCD平移到正方形A1B1C1D1位置后,可形成正方体ABCD-A1B1C1D1，它有8个顶点、12条棱、6个面；把正方体ABCD-A1B1C1D1沿着与x轴、y轴、z轴都垂直的第四维方向进行平移得到四维方体后，原来的8个顶点在平移后形成新的8个顶点，所以四维方体就共有8+8=16个顶点；原先的8个顶点在平移的过程又形成新的8条棱，所以四维方体就共有12+12+8=32条棱；正方体的12条棱在平移的过程都会形成一个新的面，四维方体就共有6+6+12=24个面.答案：16，32，24