2015高中数学 1.5正弦函数的图像与性质 课件（北师大版必修四）.ppt

1、5正弦函数的图像与性质问题引航1.如何作正弦函数的图像？它的图像有哪些特点？2.正弦函数有哪些性质？如何利用正弦函数的性质解决有关问题？1.正弦函数的图像(1)“五点法”画图：在精确度要求不是太高时，我们可以找出正弦曲线上的(0，0)，_，_，_，(2，0)五个关键点画出正弦函数在一个周期上的图像.(2)正弦曲线：将函数y=sin x(x0,2)的图像向左、向右平行移动(每次平移_个单位长度)，就可以得到正弦函数y=sin x(xR)的图像._的图像叫作正弦曲线.(，0)2正弦函数2.正弦函数的性质函数性质y=sin x图像定义域R值域_-1,1函数性质y=sin x奇偶性_周期性周期函数，最

2、小正周期为_单调性在每一个区间_上是增加的；在每一个区间_上是减少的奇函数21.判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)由于sin(30+120)=sin 30,则120是函数y=sin x的一个周期.()(2)所有周期函数都有最小正周期.()(3)函数y=sin 2x是奇函数.()【解析】(1)错误.因为对于函数y=f(x)，使f(x+T)=f(x)成立的x必须取定义域内的每一个值才可以，即x的任意性.(2)错误.如常数函数f(x)=5，所有非零实数T都是它的周期，而没有最小正周期.(3)正确.由奇偶性定义及诱导公式可知此函数是奇函数.答案：(1)(2)(3)2.做一做(请把正确的答案写在

3、横线上)(1)函数f(x)=sin(-x)的奇偶性为_.(2)函数y=-sin x+2的值域为_.(3)函数y=sin x的周期为_.(4)函数y=sin 2x在区间_上是增加的.【解析】(1)因为f(-x)=sin-(-x)=sin x=-f(x)，所以f(x)=sin(-x)为奇函数.答案：奇函数(2)因为sin x-1,1，所以-sin x+21,3，所以函数y=-sin x+2的值域为1,3.答案：1,3(3)函数y=sin x的周期为T=2.答案：2(4)由题意知，kZ，所以函数在区间 (kZ)上是增加的.答案：(kZ)【要点探究】知识点1 “五点法”作图1.对“五点法”画正弦函数图

4、像的四点说明(1)应用的前提条件是精确度要求不是太高.(2)五个点必须是确定的五点.(3)用光滑的曲线顺次连接时，要注意线的走向，一般在最高(低)点的附近要平滑，不要出现“拐角”现象.(4)“五点法”作出的是一个周期上的正弦函数图像，要得到整个正弦函数图像，还要“平移”.2.几何法与五点法作正弦函数图像的比较(1)几何法：就是利用单位圆中表示角的大小的线段作出正弦函数的图像的方法，该方法作图较为精确，但画图时较为烦琐.(2)五点法：它是我们作三角函数图像的基本方法，在要求精度不太高的情况下常用此法，作图时要注意五个关键点的选择.3.y=sin x，x0,2与y=sin x，xR的图像间的关系(

5、1)函数y=sin x，x0,2 的图像是函数y=sin x，xR的图像的一部分.(2)因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y=sin x，x2k,2(k+1)，kZ且k0的图像与函数y=sin x，x0,2 的图像形状完全一致，因此将y=sin x，x0,2 的图像向左、向右平行移动(每次移动2个单位长度)就可得到函数y=sin x，xR的图像.【微思考】(1)利用“五点法”作正、余弦函数的图像的关键是什么？提示：关键是抓住三角函数的最值点以及与x轴的交点.(2)画正弦曲线时的注意点是什么？提示：为了使自变量与函数值都为实数，角的大小要用弧度制来度量，同时两个坐标轴上所取的单位长度需

6、相同，否则所作曲线的形状将有偏差.【即时练】用“五点法”作y=2sin 2x的图像时，首先描出的五个点的横坐标是()【解析】选B.令2x=得知识点2 正弦函数的性质对正弦函数性质的五点说明(1)定义域：自变量x是任意角.反映在图像上是正弦曲线上点的横坐标的取值范围.(2)值域：反映在图像上是正弦曲线上点的纵坐标的取值范围.(3)奇偶性：依据：sin(-x)=-sin x;正弦曲线关于原点对称.(4)周期性：可由任意角正弦函数的定义：终边相同的角，正弦值相同来理解.(5)单调性：正弦曲线的上升与下降情况.【微思考】(1)正弦函数的单调区间是有限个吗？提示：不是，当k取不同的整数值时，单调区间不同

7、，所以正弦函数的单调区间有无限个.(2)正弦函数是周期函数，周期是2k(kZ)吗？提示：周期是2k(kZ,k0).【即时练】下列关于函数y=sin x-3的说法中，不正确的是()A.最小值为-4B.是奇函数C.当 kZ时，函数取最大值-2D.是周期函数，且最小正周期是2【解析】选B.因为f(-x)=sin(-x)-3=-sin x-3，显然f(-x)-f(x)，所以函数y=sin x-3不是奇函数.【题型示范】类型一用“五点法”画正弦函数的图像【典例1】(1)请补充完整下面用“五点法”作y=-sin x(0 x2)的图像时的列表._,_,_,_,_.x02-sin x01(2)请利用“五点法”

8、画出函数y=2sin x在区间0,2上的简图.【解题探究】1.题(1)中“五点法”的五个关键点是什么？2.题(2)中y=2sin x在0,2上的值域是什么？【探究提示】1.“五点法”的五个关键点是：(0，0)，(,0),(2,0).2.y=2sin x在0,2上的值域是-2,2.【自主解答】(1)由诱导公式知，当x=0时，y=-sin x=0.当x=时，y=-sin x=-1.当x=时，y=-sin x=0.当x=时，y=-sin x=1，当x=2时，y=-sin x=0.答案：0 -1 0(2)列表：x02y=sin x0 1 0-1 0 y=2sin x 0 2 0-2 0 描点并将它们用

9、光滑的曲线连接起来，如图所示.【延伸探究】将题(2)中的函数改为“y=-2sin x”,试画出其在区间0,2上的图像.【解析】列表如下：x02y=-2sin x0-2020图像如图所示.【方法技巧】1.“五点法”画正弦函数图像的三个关注点(1)精确度：精确度要求不是太高的情况下可以采用此法.(2)预知性：画图之前要做到心中有图，明确正弦曲线的变化趋势和规律.(3)熟练性：熟练选取正弦函数的一个周期0，2,再将其四等分，确定五个关键点的位置.2.弄清五个关键点的意义【变式训练】用“五点法”画出函数y=3-sin x(x0,2)的图像.【解析】(1)列表.x02sin x010-103-sin x

10、32343(2)描点，连线，如图所示.【补偿训练】请利用“五点法”画出函数y=2sin x+1在区间0,2上的简图.【解题指南】先列出表格.利用“五点”及对应的函数值在坐标系中描出点，然后用光滑曲线连接.【解析】列表如下：x02y=sin x010-10y=2sin x+1131-11在平面直角坐标系中描点、连线可得图像如图：类型二正弦函数单调性的应用【典例2】(1)(2014成都高一检测)函数f(x)=sin(x+)在区间_上是减少的.(2)比较下列各式的大小：【解题探究】1.题(1)中f(x)=sin(x+)由诱导公式可化简为什么？2.题(2)中利用诱导公式化简等于什么？把化为正弦等于什么

11、？【探究提示】1.f(x)=sin(x+)=-sin x.【自主解答】(1)f(x)=sin(x+)=-sin x，求f(x)的单调减区间等价于求y=sin x的单调增区间，y=sin x在区间上是增加的，所以f(x)在区间上是减少的.答案：(2)因为y=sin x在上是减少的，所以所以即即即又y=sin x在上是增加的，所以【方法技巧】1.用整体代换法求函数y=sin x的单调区间的技巧若为负，先利用诱导公式将x的系数化为正数再求单调区间，求单调区间时需将最终结果写成区间形式.2.利用正弦函数单调性比较大小的三个步骤(1)一化：异名函数化为同名函数.(2)二定：利用诱导公式把角化到同一单调区

12、间上.(3)三比较：利用函数的单调性比较大小.【变式训练】函数f(x)=的单调递增区间是_.【解题指南】将视为一个整体，利用正弦函数的单调性求解.【解析】令则f(t)=sin t，f(t)的单调增区间是即又所以即-+4kx+4k,kZ.答案：-+4k,+4k(kZ)【补偿训练】比较下列各式的大小.(1)(2)sin 194和cos 160.【解析】(1)由于又而y=sin x在上是增加的，所以即(2)sin 194=因为且y=sin x在上是增加的，所以所以即sin 194cos 160.类型三正弦型函数的最值问题【典例3】(1)(2014海口高一检测)已知函数则当x=_时，函数取得最大值为_

13、.(2)已知函数的定义域是值域是-5,1，求a,b的值.【解题探究】1.题(1)中若令则x的值是什么？2.题(2)中当x 时，则的取值范围是什么？【探究提示】1.若则x=+2k(kZ).2.因为所以【自主解答】(1)因为当x=+2k(kZ)时，函数y=sin x取得最大值为1，所以当即x=+2k(kZ)时，函数取得最大值为3.答案：+2k(kZ)3(2)因为0 x所以所以当a0时，解得当a0时，解得因此a=2,b=-5或a=-2,b=1.【方法技巧】求正弦型函数最值的常用方法(1)形如y=asin x的函数的最值要注意对a的讨论.(2)可化为y=Asin(x+)的函数,将x+看成一个整体，用整

14、体思想求最值.(3)关于sin x的二次函数，用配方法求最值.【变式训练】(2013南昌高一检测)f(x)=的最大值为_,此时x=_.【解题指南】利用正弦函数的值域求解.【解析】因为-1 1,所以-1 1,所以-1+5 1+5,即 4,6,所以f(x)的最大值为6.此时即 (kZ),所以x=9+12k(kZ).答案：6 9+12k(kZ)【规范解答】分类讨论思想在求正弦型函数最值中的应用【典例】(12分)(2014西安高一检测)求关于x的函数f(x)=的最大值和最小值.【审题】抓信息，找思路【解题】明步骤，得高分【点题】警误区，促提升失分点1：解答时若忽略题目后面的取值范围，则会导致处求解范围

15、出错.失分点2：解答过程中若忽略处的讨论，则会导致漏解.失分点3：若忽视处的总结，则会导致本题解答不完整，一般会扣掉2分.【悟题】提措施，导方向1.分类讨论的意识在解含有参数的问题时，切记分类讨论思想的应用，如本例中的解析式中含有参数a，故需要分类讨论.2.正弦函数性质的应用对于正弦函数的性质要记牢、记准，学会正确应用，如本例中由x的取值范围求2x+的取值范围，从而确定的取值范围.3.解题的规范性对解答类题目，解析要完整，答题要有序，注重解题的规范性，如本例中对参数a讨论之后，最后要有总结.【类题试解】函数y=ksin x+b的最大值为2,最小值为-4，求k,b的值.【解析】(1)k0时，当sin x=1时，函数y=ksin x+b取得最大值，sin x=-1时，y=ksin x+b取得最小值.所以解得(2)k0时，当sin x=1时，函数y=ksin x+b取得最小值，sin x=-1时，y=ksin x+b取得最大值.所以解得综上可知，k=3,b=-1或k=-3,b=-1.