2015高中数学 1.7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积课件( 北师大版必修2 ).ppt

1、1.计算柱体的体积需要注意的问题(1)关键量的计算：要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题，从而根据条件计算出底面面积和高.(2)柱体的体积仅与它的底面和高有关，与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系.(3)常用的数学思想有分类讨论思想,特值、特例思想等.柱体的体积2.常见的求几何体体积的方法柱体的体积公式V=Sh既适合于棱柱，又适合于圆柱.【例1】如图(1)是一个水平放置的正三棱柱ABC-A1B1C1，D是棱BC的中点正三棱柱的主视图如图(2)(1)求正三棱柱ABC-A1B1C1的体积；(2)证明：A1B平面ADC1；(3)图(1)中垂直于平面BCC1B1的平面

2、有哪几个？(直接写出符合要求的平面即可，不必说明或证明)【审题指导】(1)由三视图可以得到正三棱柱的底面三角形的高和侧棱长.(2)注意到D是棱BC的中点，可设法利用三角形的中位线构造平行线.(3)要注意AD平面BCC1B1的应用.【规范解答】(1)由三视图可知：在正三棱柱中，AA1=3，从而在底面即等边ABC中,所以正三棱柱的体积(2)连接A1C，设A1CAC1=E，连接DE，AA1C1C是正三棱柱的侧面，AA1C1C是矩形，E是A1C的中点，DE是A1BC的中位线，DEA1B，因为DE 平面ADC1,A1B平面ADC1,所以A1B平面ADC1.(3)平面ABC、平面A1B1C1、平面ADC1

3、.1.对锥体体积公式的理解锥体是指棱锥和圆锥，其中棱锥可以是正棱锥也可以不是正棱锥.锥体的体积2.“等积法”的应用(1)原理：三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任意一个顶点都可以作为顶点，任何一个面都可以作为底面，所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换，这一方法叫做等积法.(2)拓展：等积法主要有以下几种应用形式：分割前后等积；两个过程中的等积；同体的不同求积法等价.【例2】(2011安庆模拟)三棱锥P-ABC中，PAC是边长为4的等边三角形，ABC为等腰直角三角形，ACB=90，平面PAC平面ABC，D、E分别为AB、PB的中点.(1)求证：ACPD；(2)求三棱锥P-C

4、DE的体积.【审题指导】(1)由平面PAC平面ABC可思考找(或作)两个平面的交线AC的垂线.(2)由D、E分别为AB、PB的中点，可知BCE与PCE，ACD与BCD面积相等，进一步结合锥体的体积公式可推出三棱锥P-CDE与三棱锥D-PBC，三棱锥D-PBC与三棱锥P-ABC的体积之间的关系.【规范解答】(1)取AC的中点O，连接OP，PAC是等边三角形,POAC，又面PAC面ABC，PO面ABC，连接OD，则ODBC，则ODAC，AC平面POD，ACPD.(2)VP-CDE=VD-PCE,E为PB中点，D为AB中点，即故柱体、锥体、台体体积公式之间的关系：台体的体积【例3】四边形ABCD中，

5、A(0,0)，B(1,0)，C(2,1)，D(0,3)，绕y轴旋转一周，求所得旋转体的体积.【审题指导】该旋转体的上方是一个圆锥，下方是一个圆台，根据点B、C、D的坐标可以求出底面半径、高等关键量.【规范解答】C(2，1)，D(0，3)，圆锥的底面半径r=2,高h=2.B(1,0),C(2,1),圆台的两个底面半径R=2，R=1,高h=1.V=V圆锥+V圆台=5.求组合体体积的关注点：(1)明确组合体的组成形式.(2)结合简单几何体的结构特征适当分割补形.(3)注意几个特例：出现三条两两垂直的棱，考虑补形为长方体；正四面体补形为正方体等.巧妙利用平行关系、垂直关系进行几何体的分割补形和体积转化

6、是常见的求体积的方法.组合体的体积【例】如图，已知多面体ABC-DEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC平面DEFG，平面BEF平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，求该多面体的体积.【审题指导】将此多面体分割成两个四棱锥求体积之和，也可将其分成两个三棱柱求体积之和.【规范解答】方法一：连接BD、BG.AB，AC，AD两两互相垂直,AB平面ADGC，AD平面ABC.平面BEF平面ADGC，平面ABED平面BEF=BE，平面ABED平面ADGC=AD,BEAD,BE平面ABC.又平面ABC平面DEFG，BE平面DEFG.V=VB-ADGC+VB-EFGD=4.方法二：取

7、DG的中点M，连接AM、FM，由题目条件可证多面体ABC-MFG是斜三棱柱，其高为AD；多面体BEF-ADM是直三棱柱，其高为AB.V=V三棱柱ABC-MFG+V三棱柱BEF-ADM=4.【典例】(12分)(2011北京模拟)如图(1)所示，在边长为12的正方形ADD1A1中，点B，C在线段AD上，且AB=3，BC=4，作BB1AA1，分别交A1D1，AD1于点B1，P，作CC1AA1，分别交A1D1，AD1于点C1，Q，将该正方形沿BB1，CC1折叠，使得DD1与AA1重合，构成如图(2)所示的三棱柱ABC-A1B1C1(1)求证：AB平面BCC1B1；(2)求四棱锥A-BCQP的体积.【审

8、题指导】由AB，BC和CD的长度关系可以判断ABBC；四棱锥A-BCQP的底面是直角梯形，高为AB.【规范解答】(1)在正方形ADD1A1中，因为CD=AD-AB-BC=5，所以三棱柱ABC-A1B1C1的底面三角形ABC的边AC=5因为AB=3，BC=4，所以AB2+BC2=AC2，所以ABBC2分因为四边形ADD1A1为正方形，AA1BB1，所以ABBB1，4分而BCBB1=B，所以AB平面BCC1B16分(2)因为AB平面BCC1B1，所以AB为四棱锥A-BCQP的高8分因为四边形BCQP为直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，所以梯形BCQP的面积为10分所以四棱锥A-BC

9、QP的体积 12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：1.圆台上、下底面面积分别是、4，侧面积是6，这个圆台的体积是()【解析】选D.设S1=,S2=4,r1=1,r2=2,S=6=(r1+r2)l,l=2,2.正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则该正三棱柱的体积是()【解析】选D.当2为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长底面面积正三棱柱的高h=4，所以正三棱柱的体积同理，当4为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长底面面积正三棱柱的高h=2,所以正三棱柱的体积所以正三棱柱的体积为3.正三棱台高为12 cm，上、下底面面积之比为14，它的体积为28 cm

10、3，则下底面面积为_.【解析】设下底面面积为S cm2,则上底面面积为答案：4 cm24.将半径为1的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为_.【解析】设圆锥的底面半径为r,则2r=,答案：5.根据图中标出的尺寸，求几何体的体积.【解析】(1)该几何体是圆锥，高h=10，底面圆的半径r=3，所以底面积S=r2=9,则体积(2)该几何体是正棱台，两个底面中心的连线就是高h=6，上底面面积S上=64，下底面面积S下=144，则一、选择题(每题4分，共16分)1.已知直角三角形两直角边长分别为a、b，分别以这两个直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积比为()(A)ab (B)ba【解析】选B.以边长为a的边所在直线为轴旋转成的圆锥的体积以边长为b的边所在直线为轴旋转形成的圆锥的体积 V1V2=ba.2.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D-ABC的体积为()【解析】选D.取AC的中点E，连接BE、DE.DA=DC，AE=EC，DEAC.同理BEAC.AC平面BDE.又3.设矩形长、宽分别为a、b(ab)，将此矩形按两种方式分别卷成高为a和b的圆柱筒，所得圆柱的体积分别为Va，Vb，则()(A)VaVb (B)VaV1,S2S1,方案二比方案一更经济.