2016届 数学一轮（理科） 浙江专用 课件 第七章 立体几何-6 .ppt

1、基础诊断考点突破课堂总结第6讲 立体几何中的向量方法()证明平行与垂直基础诊断考点突破课堂总结最新考纲1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理基础诊断考点突破课堂总结非零基础诊断考点突破课堂总结2用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为1和2，则l1l2(或l1与l2重合)12v12.(2)设直线l的方向向量为，与平面共面的两个不共线向量1和2，则l或l存在两个实数x，y，使x1y2.(3)设直线l的方向向量为，平面的法向量为u，则l或luu0.(4)设 平

2、面 和 的 法 向 量 分 别 为 u1，u2，则u1u2u1u2.基础诊断考点突破课堂总结3用向量证明空间中的垂直关系(1)设 直 线 l1和 l2的 方 向 向 量 分 别 为 1和 2，则l1l212120.(2)设 直 线 l的 方 向 向 量 为，平 面 的 法 向 量 为 u，则luvu.(3)设 平 面 和 的 法 向 量 分 别 为 u1和 u2，则u1u2u1u20.基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1思考辨析(请在括号中打“”或“”)(1)直线的方向向量是唯一确定的(2)平面的单位法向量是唯一确定的(3)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行(4)若空间向量a平行于

3、平面，则a所在直线与平面平行()()()()基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结4已知平面，的法向量分别为n1(2,3,5)，n2(3,1，4)，则()ABC，相交但不垂直D以上均不对解析n1n2，且n1n22(3)315(4)230，不平行，也不垂直故选C.答案C基础诊断考点突破课堂总结5已知直线l的方向向量为(1,2,3)，平面的法向量为u(5,2，3)，则l与的位置关系是_解析u0，u，l或l.答案l或l基础诊断考点突破课堂总结考点一 利用空间向量证明平行问题 【例1】如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2

4、，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点求证：PB平面EFG.基础诊断考点突破课堂总结证明 平面PAD平面ABCD，且ABCD为正方形，AB，AP，AD两两垂直以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1，2,0)基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零

5、，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为向量运算基础诊断考点突破课堂总结【训练1】如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC16，PAPC10.设G是OC的中点，证明：FG平面BOE；基础诊断考点突破课堂总结证明 如图，连接OP，PAPC，O是AC的中点，POAC，又面PAC面ABC，PO平面PAC，PO面ABC，ABC是以AC为斜边的直角三角形，BOAC.基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结考点二 利用

6、空间向量证明垂直问题 【例2】(2015济南质检)如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)若 点 M是 线 段 AP上 一 点，且 AM 3.试 证 明 平 面AMC平面BMC.基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；(2)证明面面垂直：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可；(3)证明线面垂直，只需证明直线

7、的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可当然也可证直线的方向向量与平面的法向量平行.基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结【训练3】如图所示，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，BC90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成30角(1)求证：CM平面PAD；(2)求证：平面PAB平面PAD.基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结考点三 利用空间向量解决探索性问题 【例3】(2015辽宁鞍山二模)如

8、图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PACD，PA1，PD，E为PD上一点，PE2ED.(1)求证：PA平面ABCD；(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结规律方法 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”基础诊断考点突破课堂总结【训练4】如图，在长方体

9、ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点(1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结微型专题 向量法解决立体几何问题利用已知的线面位置关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将立体几何中位置关系的证明转化为代数运算，其中灵活建系是解题的关键，有时通过两条垂直的直线也可建系基础诊断考点突破课堂总结【例4】如图所示，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90，E是CD的中点(1)证明：CD

10、平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥PABCD的体积基础诊断考点突破课堂总结点拨 本题中的(1)有两种证明思路：(1)利用常规方法，将证明线面垂直转化为证明线线垂直，利用线面垂直的判定定理证之；(2)将证明线面垂直问题转化为向量间的关系问题，证明向量垂直；然后计算两个向量的数量积法一(1)证明如图，连接AC.由AB4，BC3，ABC90得AC5.又AD5，E是CD的中点，所以CDAE.基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结点评(1)利用

11、向量法证明立体几何问题，可以建坐标系或利用基底表示向量；(2)建立空间直角坐标系时要根据题中条件找出三条互相垂直的直线；(3)对于和平面有关的垂直问题，也可利用平面的法向量.基础诊断考点突破课堂总结思想方法1用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想基础诊断考点突破课堂总结2用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题基础诊断考点突破课堂总结易错防范1用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量ab(R)即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外2用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.