新教材2020-2021学年人教A版数学选择性必修第一册学案：3-2-1　双曲线及其标准方程 WORD版含解析.doc

1、3.2双曲线3.2.1双曲线及其标准方程素养目标定方向 课程标准学法解读1了解双曲线的实际背景，经历从具体情境中抽象出双曲线的过程，双曲线标准方程的推导过程2掌握双曲线的定义，标准方程及几何图形1结合教材实例掌握双曲线的定义(数学抽象)2掌握双曲线的标准方程、几何图形，会用待定系数法求双曲线的标准方程(数学运算)3通过双曲线概念的引入和双曲线方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力(数学运算、逻辑推理)必备知识探新知 知识点1 双曲线的定义1定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的_绝对值_等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹2定义的集合表示：M|MF1|MF2|2a,02a|F1

2、F2|3焦点：两个_定点F1，F2_4焦距：_两焦点间_的距离，表示为|F1F2|思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|MF2|2a(常数)，且2a|F1F2|，则点M的轨迹是什么？提示：(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在(2)点M在双曲线的右支上知识点2 双曲线标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程_1(a0，

3、b0)_1(a0，b0)_焦点_(c,0)，(c,0)_(0，c)，(0，c)_a，b，c的关系c2_a2b2_关键能力攻重难 题型探究题型一双曲线定义的应用典例1若F1，F2是双曲线1的两个焦点(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离(2)若点P是双曲线上的一点，且F1PF260，求F1PF2的面积分析(1)直接利用定义求解(2)在F1PF2中利用余弦定理求|PF1|PF2|解析(1)设|MF1|16，根据双曲线的定义知|MF2|16|6，即|MF2|166解得|MF2|10或|MF2|22(2)由1，得a3，b4，c5由定义和余弦定理得|PF1|PF2|

4、6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，S|PF1|PF2|sinF1PF26416规律方法求双曲线中的焦点三角形PF1F2面积的方法(1)根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出|PF1|PF2|的值；利用公式S|PF1|PF2|sinF1PF2求得面积(2)利用公式S|F1F2|yP|求得面积(3)若双曲线中焦点三角形的顶角F1PF2，则面积S这一结论适用于选择或填空题【

5、对点训练】已知双曲线1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得F1PF290，求F1PF2的面积解析在双曲线的方程中，a3，b4，则c5设|PF1|m，|PF2|n(m0，n0)由双曲线的定义可知，|mn|2a6，两边平方，得m2n22mn36又F1PF290，由勾股定理，得m2n2|F1F2|2(2c)2100mn32，SF1PF2mn16题型二求双曲线的标准方程典例2根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)a4，经过点A；(2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点(3，2)；(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上分析(1)结合a的值设出标准方程的两种形式，将点A的坐标代入求解(2)因为焦点

6、相同，所以所求双曲线的焦点也在x轴上，且c216420，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解(3)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解解析(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为1(b0)，把点A的坐标代入，得b20，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为1(b0)，把A点的坐标代入，得b29故所求双曲线的标准方程为1(2)方法1：焦点相同，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，c216420，即a2b220双曲线经过点(3，2)，1由得a212，b28，双曲线的标准方程为1方法2：设所求双曲线的方程为1(416)双曲线过点(3，2)，1，解得4或14(舍去)双曲线的标准方

7、程为1(3)设双曲线的方程为Ax2By21，AB0点P，Q在双曲线上，解得双曲线的标准方程为1规律方法1求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程；(2)求出a2，b2的值2当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax2By21(AB0)来求解【对点训练】求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；(2)焦点在x轴上，经过点P(4，2)和点Q(2，2)解析(1)由已知得，c5,2a8，即a4c2a2b2，b2c

8、2a252429焦点在x轴上，所求的双曲线标准方程是1(2)设双曲线方程为mx2ny21(m0，n0)，则双曲线方程为1题型三利用双曲线的标准方程求参数方程典例3给出曲线方程1(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围分析根据双曲线方程的特征建立不等式(组)求解解析(1)将所给方程化为1，若该方程表示双曲线，则有(4k)(k1)0，解得k1或k4，故实数k的取值范围是(，4)(1，)(2)将所给方程化为1，若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有解得k4，故实数k的取值范围是(，4)规律方法方程表示双曲线的条件及参数范围求法(1)对于

9、方程1，当mn0时表示双曲线，进一步，当m0，n0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m0，n0时表示焦点在y轴上的双曲线(2)对于方程1，当mn0时表示双曲线，且当m0，n0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m0，n0时表示焦点在y轴上的双曲线(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围【对点训练】求满足下列条件的参数的值(1)已知双曲线方程为2x2y2k，焦距为6，求k的值；(2)椭圆1与双曲线1有相同的焦点，求a的值解析(1)若焦点在x轴上，则方程可化为1，所以k32，即k6；若焦点在y轴

10、上，则方程可化为1，所以k32，即k6综上所述，k的值为6或6(2)由双曲线方程知焦点在x轴上且c2a2(a0)由椭圆方程，知c24a2，所以a24a2，即a2a20，解得a1或a2(舍去)因此a的值为1题型四双曲线的实际应用典例4相距2 000 m的两个哨所A、B，听到远处传来的炮弹爆炸声已知当时的声速是330 m/s，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所听到时间迟4 s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程分析爆炸点与哨所A、B的“距离差”等于声速乘以两哨所听到爆炸声的“时间差”，且爆炸点距B哨所较近解析设爆炸点为P，由已知可得|PA|PB|33041 3200因为|AB|2 00

11、01 320，所以点P在以A、B为焦点的双曲线的靠近B处的那一支上建立如图平面直角坐标系，使A、B两点在x轴上，线段AB的中点为坐标原点由2a1 320,2c2 000得，a660，c1 000，b2c2a2564 400因此，点P所在曲线的方程是1(x0)规律方法解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤【对点训练】由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏

12、西30方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？解析设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(3,0)，C(5,2)|PB|PC|，点P在线段BC的垂直平分线上，又易知kBC，线段BC的中点D(4，)，直线PD的方程为y(x4)，又|PB|PA|46|AB|，点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a2，c3，双曲线方程为1(x2)，联立，得P点坐标为(8,5)，kPA，因此甲舰行进的方向角为北偏东30易错警示典例5已知双曲线8kx2ky28的一个焦点为(0,3)，求k的值错解将双曲线方程化为标准方程1因为焦点在y轴上，所以a2，b2，所以c3，即9，所以k辨析上述解法有两处错误：一是a2、b2确定错误，应该是a2，b2；二是a、b、c的关系式用错了在双曲线中应为c2a2b2正解将双曲线方程化为kx2y21，即1因为一个焦点是(0,3)，所以焦点在y轴上，所以c3，a2，b2，所以a2b2c29所以k1