新教材2020-2021学年北师大版高中数学必修第二册学案：第4章 1　同角三角函数的基本关系 WORD版含解析.doc

1、1同角三角函数的基本关系学 习 目 标核 心 素 养1. 理解同角三角函数的基本关系式sin2 xcos2 x1，tan x(重点、难点)2会运用以上两个基本关系式进行求值、化简、证明(重点、难点)1.通过对同角三角函数基本关系式的推导，培养学生逻辑推理素养2通过利用三角函数基本关系式求值、化简和证明，培养学生数学运算素养.同角三角函数的基本关系思考：1.同角三角函数基本关系式中的角是任意的实数吗？提示：角应该使基本关系式有意义，即在平方关系：sin2cos21中，角是任意的实数；在商数关系：tan 中，角满足k，kZ.2由同角三角函数基本关系式变形可得sin ，cos ，那么正负号由谁决定？

2、提示：由角所在的象限决定1已知是第二象限角，sin ，则cos ()ABCD A因为是第二象限角，sin ，所以cos .2若sin ，且是第二象限角，则tan 的值等于()ABCDA为第二象限角，sin ，cos ，tan .3已知是第四象限角，且tan ，则sin ()ABCDA由 ，解得sin (因为是第四象限角，所以sin 0，所以sin 不合题意，舍去)由一个三角函数值求其他三角函数值【例1】(1)已知cos ，求sin ，tan 的值(2)已知sin cos ，(0，)，则tan _.(1)解cos 0，且cos 1，是第二或第三象限角，当是第二象限角时，则sin ，tan .当是

3、第三象限角时，则sin ，tan .(2)sin cos ，(sin cos )2，即2sin cos 0，cos 0，故sin cos ，可得sin ，cos ，tan .三角函数求值的方法(1)同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin ，cos ，tan 三个值之间，知道其中一个可以求其余两个解题时要注意角的象限，从而判断三角函数值的正负(2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin cos )212sin cos 的等价转化，找到解决问题的突破口跟进训练1已知t

4、an ，且是第三象限角，求sin ，cos 的值解由tan ，得sin cos .又sin2cos21，由得cos2cos21，即cos2.又是第三象限角，cos ，sin cos .齐次式求值探究问题1三角函数基本关系式中的商数关系：tan ，从函数名的角度看有何作用？提示：由tan 可知，正切可以化为正弦和余弦；反过来看，即tan 可知，由正弦和余弦可化为正切2. 三角函数式可以用tan 来表示吗？提示：可以，的分子和分母同时除以cos 可得.3. 三角函数式和sin cos 如何用tan 来表示？提示：的分子和分母同时除以cos2可得；把sin cos 看作分母为1的分式，则sin co

5、s .【例2】已知tan 2.求：(1)；(2)4sin23sin cos 5cos2.思路点拨(1)法一：法二：(2)法一：法二：解(1)法一：原式2.法二：原式2.(2)法一：原式1.法二：原式 1.法三：原式4(2cos )232cos cos 5cos2 5cos24cos2cos2sin2cos21.1. 在例2中，若2，求的值解由2，化简，得sin 3cos ，所以tan 3.所以.2. 在例2的条件下，求sin22sin cos 1的值解sin22sin cos 11111.知切求弦常见的有两类1求关于sin 、cos 的齐次式值的问题，如果cos 0，则可将被求式化为关于tan

6、 的表达式，然后整体代入tan 的值，从而完成被求式的求值问题2若不是sin ，cos 的齐次式，可利用方程组的消元思想求解如果已知tan 的值，求形如asin2bsin cos ccos2的值，注意将分母的1化为sin2cos2，将其代入，再转化为关于tan 的表达式后求值三角函数式的化简与证明【例3】(1)化简：sin2tan 2sin cos .(2)求证：.解(1)原式sin2cos22sin cos .(2)证明：法一：左边右边原式成立法二：，.原式成立(1)三角函数式的化简技巧化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的对于含有根号的，常把根号里面

7、的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的(2)证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：证明一边等于另一边，一般是由繁到简证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)比较法：即证左边右边0或1(右边0)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立跟进训练2求证：.证明左边右边，所以等式成立1“同角”有两层含义：一是“角相同”；二是“任意性”，即关系式恒成立，与角的表达形式无关如：sin23cos231等2已知角的一个三角函数值，求的其他两个三角函数值时

8、，要特别注意角所在的象限，以确定三角函数值的符号3计算、化简或证明三角函数式时常用的技巧：(1)“1”的代换为了解题的需要，有时可以将1用“sin2cos2”代替(2)切化弦利用商数关系把切函数化为弦函数(3)整体代换将计算式适当变形使条件可以整体代入，或将条件适当变形找出与算式之间的关系1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)sin2cos21；()(2)sin2cos21；()(3)对任意的角，都有tan 成立；()(4)若cos 0，则sin 1()提示(1)错误在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2cos21.(2)正确在sin2cos21中，令可得sin2cos21.(3)错误当k，kZ时不成立(4)错误cos 0，则sin 1.答案(1)(2)(3)(4)2已知sin ，(0，)，则tan 等于()ABCDDsin ，(0，)，cos ，tan .3若tan 2，则sin cos _.sin cos .4化简tan ，其中是第二象限角解因为是第二象限角，所以sin 0，cos 0.故tan tan tan 1.