新教材2020-2021学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册课时素养评价 1-4-1-2 空间中直线、平面的垂直 WORD版含解析.doc

1、七空间中直线、平面的垂直(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.如图所示,在空间直角坐标系中BC=2,原点O是BC的中点,点D在平面Oyz上,且BDC=90,DCB=30,则的坐标为()A.B.C.D.【解析】选B.如图所示,过D作DEBC,垂足为E.在RtBCD中,由BDC=90,DCB=30,BC=2,得BD=1,CD=.所以DE=CDsin 30=,OE=OB-BDcos 60=1-=.所以D点坐标为,即的坐标为.2.(2020楚雄高二检测)直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=1,ABAC,N是BC的中点,=,=3,若PNBM,则=()A.B.C.D.【解

2、析】选C.如图,以AB,AC,AA1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则P(,0,1),N,B(1,0,0),M,=,=,所以=-+-=0,即=.3.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若,=(x-1,y,-3),且平面ABC,则等于()A. B.C. D.【解析】选B.由=0得3+5-2z=0,所以z=4.又因为平面ABC,所以即解得所以=.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于()A.ACB.A1DC.BDD.A1A【解析】选C.建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,

3、0),D(0,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),E.所以=,=(-1,1,0),=(-1,-1,0),=(-1,0,-1),=(0,0,-1).因为其中只有=(-1)+(-1)+01=0,所以CEBD.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知平面的一个法向量a=(x,1,-2),平面的一个法向量b=,若,则x-y=.【解析】因为,所以ab,所以-x+y-1=0,得x-y=-1.答案:-16.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E平面ABF,则CE与DF的和为.【解析】以D1为原点,D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为

4、x,y,z轴建立空间直角坐标系(图略),设CE=x,DF=y,则易知E(x,1,1),B1(1,1,0),F(0,0,1-y),B(1,1,1),所以=(x-1,0,1),=(1,1,y),因为B1E平面ABF,所以=(1,1,y)(x-1,0,1)=0,即x+y=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN=CC1.求证:AB1MN.【证明】设AB中点为O,作OO1AA1.以O为坐标原点,OB为x轴,OC为y轴,OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得A,B,C,N,B1,因

5、为M为BC中点,所以M.所以=,=(1,0,1),所以=-+0+=0.所以,所以AB1MN.8.如图,在四棱锥E-ABCD中,AB平面BCE,CD平面BCE,AB=BC=CE=2CD=2,BCE=120.求证:平面ADE平面ABE.【证明】取BE的中点O,连接OC,则OCEB,又因为AB平面BCE,所以以点O为原点建立空间直角坐标系,如图所示.则由已知条件有C(1,0,0),B(0,0),E(0,-,0),D(1,0,1),A(0,2).设平面ADE的法向量为n=(a,b,c),则n=(a,b,c)(0,2,2)=2b+2c=0,n=(a,b,c)(-1,1)=-a+b+c=0.令b=1,则a

6、=0,c=-,所以n=(0,1,-).又因为AB平面BCE,所以ABOC,所以OC平面ABE,所以平面ABE的法向量可取为m=(1,0,0).因为nm=(0,1,-)(1,0,0)=0,所以nm,所以平面ADE平面ABE.(15分钟30分)1.(5分)(多选题)(2020连云港高二检测)已知点P是ABC所在的平面外一点,若=(-2,1,4),=(1,-2,1),=(4,2,0),则()A.APABB.APBPC.BC=D.APBC【解析】选AC.A.=-2-2+4=0,所以,即APAB.因此正确. B.=+=(2,-1,-4)+(1,-2,1)=(3,-3,-3),=3+6-3=60,所以AP

7、与BP不垂直,因此不正确.C.=-=(4,2,0)-(-2,1,4)=(6,1,-4),所以|=,因此正确.D.假设=k,则无解,因此假设不正确,因此AP与BC不可能平行,因此不正确.2.(5分)如图,PA平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,当BFPE时,AFFD的值为()A.12B.11C.31D.21【解析】选B.建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形的边长为1,PA=a,则B(1,0,0),E,P(0,0,a).设点F的坐标为(0,y,0),则=(-1,y,0),=.因为BFPE,所以=0,解得y=,即点F的坐标为,所以F为AD的中点,所以AFFD=11

8、.3.(5分)在空间直角坐标系Oxyz中,已知点P(2cos x+1,2cos 2x+2,0)和点Q(cos x,-1,3),其中x0,若直线OP与直线OQ垂直,则x的值为.【解析】由OPOQ,得=0.即(2cos x+1)cos x+(2cos 2x+2)(-1)=0.所以cos x=0或cos x=.因为x0,所以x=或x=.答案:或4.(5分)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以ABC为直角的等腰三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE平面B1DE,则AE=.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则B1(0,0,3a),D,C(0,

9、a,0).设E(a,0,z)(0z3a),则=,=(a,0,z-3a).由题意得2a2+z2-3az=0,解得z=a或2a.故AE=a或2a.答案:a或2a【加练固】 (2020北海高二检测)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,ACB=90,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E,要使AB1平面C1DF,则线段B1F的长为.【解析】以C1为原点,C1A1为x轴,C1B1为y轴,C1C为z轴,建立空间直角坐标系,由题意A1(1,0,0),B1(0,1,0),D,C1(0,0,0),A(1,0,2),设F(0,1,t),0t2,则=,=(-1,1

10、,-2),=(0,1,t),因为AB1平面C1DF,所以所以1-2t=0,解得t=.所以线段B1F的长为.答案:5.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,E为PC的中点,EFBP于点F.求证:(1)PA平面EDB;(2)PB平面EFD.【证明】由题意得,DA,DC,DP两两垂直,所以以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,如图,设DC=PD=1,则P(0,0,1),A(1,0,0),D(0,0,0),B(1,1,0),E.所以=(1,1,-1),=,=,设F(x,y,z),则=(x,y,

11、z-1),=.因为,所以x+-=0,即x+y-z=0.又因为,可设=,所以x=,y=,z-1=-.由可知,x=,y=,z=,所以=.(1)设n1=(x1,y1,z1)为平面EDB的法向量,则有即所以取z1=-1,则n1=(-1,1,-1).因为=(1,0,-1),所以n1=0.又因为PA平面EDB,所以PA平面EDB.(2)设n2=(x2,y2,z2)为平面EFD的法向量,则有即所以取z2=1,则n2=(-1,-1,1).所以n2,所以PB平面EFD.1.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.

12、若点Q在线段B1P上,则下列结论正确的是()A.当点Q为线段B1P的中点时,DQ平面A1BDB.当点Q为线段B1P的三等分点(靠近点P)时,DQ平面A1BDC.在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ平面A1BDD.不存在点Q,使DQ与平面A1BD垂直【解析】选D.以A1为原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则由已知得A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(0,1,0),B(1,0,1),D,P(0,2,0),=(1,0,1),=,=(-1,2,0),=.设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则取z=-2,则x=2,y=1,所以平面A1

13、BD的一个法向量为n=(2,1,-2).假设DQ平面A1BD,且=(-1,2,0)=(-,2,0),则=+=,因为也是平面A1BD的法向量,所以n=(2,1,-2)与=共线,于是有=成立,但此方程关于无解.故不存在点Q,使DQ与平面A1BD垂直.2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上的动点(不与C,C1重合).(1)求证:A1EBD;(2)若平面A1BD平面EBD,试确定E点的位置.【解析】(1)以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a).设E(0,a,)(0a),=(-a,a,-a),=(-a,-a,0),=a2-a2+(-a)0=0,所以,即A1EBD.(2)设平面A1BD,平面EBD的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2).因为=(a,a,0),=(a,0,a),=(0,a,),所以取x1=x2=1,得n1=(1,-1,-1),n2=,由平面A1BD平面EBD得n1n2,所以2-=0,即=.所以当E为CC1的中点时,平面A1BD平面EBD.关闭Word文档返回原板块