新教材2021-2022学年北师大版数学必修第一册学案：1-4-2　一元二次不等式及其解法 WORD版含答案.doc

1、42一元二次不等式及其解法新课程标准解读核心素养1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数数学抽象、直观想象、逻辑推理2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集数学抽象、数学运算3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系直观想象、数学建模城市人口的急剧增加使车辆日益增多，需要通过修建立交桥和高架道路，以提高车速和通过能力城市环线和高速公路网的连结也必须通过大型互通式立交桥进行分流和引导，保证交通的畅通城市立交桥已成为现代化城市的重要

2、标志为了保证安全，交通部门规定，在立交桥的某地段的运行汽车的车距d正比于速度v的平方与车身长(单位：m)的积，且车距不得少于半个车身，假定车身长均为l(单位：m)，当车速为60(单位：km/h)时，车距为1.44个车身长问题在交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此处的车流量最大？知识点一一元二次不等式的概念1定义：形如ax2bxc0，或ax2bxc0，或ax2bxc0，或ax2bxc0(其中x为未知数，a，b，c均为常数，且a0)的不等式叫作一元二次不等式2解集：使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集一元二次不等式概念中的关键词(1)一元，即只含一个未知数，

3、其他元素均为常数(或参数)；(2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0. 下面所给关于x的几个不等式：3x40；ax24x70；x2000方程ax2bxc0的实数根x1，2(x10的解集x|xx2不等式ax2bxc0的解集x|x1x0表示一元二次函数yax2bxc的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2bxc0的解集即一元二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围；(2)方程的角度：一元二次不等式ax2bxc0的解集的端点值是一元二次方程ax2bxc0的根 当0时，不等式ax2bxc0(a0)与ax2bxc0(a0)的解集分别是什么？提示：R，.1不等式35x2x

4、20的解集为()A.B.C.DR答案：C2不等式3x22x10的解集为()A.B.C DR答案：D3不等式x22x52x的解集是_答案：x|x5或x1不含参数的一元二次不等式的解法例1(链接教科书第37页练习2题)求下列不等式的解集：(1)2x27x30；(2)4x218x0；(3)2x23x20.解(1)因为72423250，所以方程2x27x30有两个不等实根x13，x2.又一元二次函数y2x27x3的图象开口向上，所以原不等式的解集为.(2)原不等式可化为0，所以原不等式的解集为.(3)原不等式可化为2x23x20，因为942270，所以方程2x23x20无实根，又一元二次函数y2x23

5、x2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，二次项系数为正；(2)判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式；(3)求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根；(4)画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图；(5)写解集：根据图象写出不等式的解集 跟踪训练1不等式x(x9)x21的解集为()A(3，7)B(，3)(7，)C(7，3) D(，7)(3，)解析：选Ax(x9)x21，即x210x210，即(x3)(x7)0，解得3x7.故选A.2下列四个

6、不等式中解集为R的是()Ax2x10 Bx22x50Cx26x100 D2x23x40解析：选C利用“”判断，在不等式x26x100中，62400，不等式x26x100的解集为R，其他可类似判断故选C.含参数的一元二次不等式的解法例2(链接教科书第37页例4)解关于x的不等式：x22ax20(aR)解因为4a28，当0，即a时，原不等式对应的方程无实根又一元二次函数yx22ax2的图象开口向上，所以原不等式的解集为.当0，即a时，原不等式对应的方程有两个相等实根当a时，原不等式的解集为；当a时，原不等式的解集为.当0，即a或a时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为x1a，x2a，且x1x

7、2，所以原不等式的解集为x|axa综上所述，当a时，原不等式的解集为；当a时，原不等式的解集为x|x；当a时，原不等式的解集为x|x；当a或a时，原不等式的解集为x|axa含参一元二次不等式的解法 跟踪训练解关于x的不等式：ax222xax(a0)解：原不等式移项得ax2(a2)x20，化简为(x1)(ax2)0.a0，(x1)0.当2a0时，x1；当a2时，x1；当a2时，1x.综上所述，当2a0时，原不等式的解集为；当a2时，原不等式的解集为x|x1；当a2时，原不等式的解集为.一元二次不等式解集的逆向应用例3已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为x|2x3，求关于x的不等式cx2bxa

8、0的解集解法一：由不等式ax2bxc0的解集为x|2x3可知，a0，且2和3是方程ax2bxc0的两根，由根与系数的关系可知5，6.由a0知c0，故不等式cx2bxa0，即x2x0，即x2x0，解得x或x，所以不等式cx2bxa0的解集为.法二：由不等式ax2bxc0的解集为x|2x3可知，a0，且2和3是方程ax2bxc0的两根，所以ax2bxca(x2)(x3)ax25ax6ab5a，c6a，故不等式cx2bxa0，即6ax25axa06a0，故原不等式的解集为.母题探究1(变设问)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2bxa0的解集解：由根与系数的关系知5，6且a0.c0，故不等式cx

9、2bxa0，即x2x0，即x2x0.解得x，所以不等式的解集为.2(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2bxc0的解集为x|2x3”变为“关于x的不等式ax2bxc0的解集是”求不等式cx2bxa0的解集解：由ax2bxc0的解集为知a0.又20，则c0.，2为方程ax2bxc0的两个根，.又，ba，ca，不等式变为x2xa0，即2ax25ax3a0.a0，2x25x30，解得3x.所求不等式的解集为.一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤(1)求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集(2)求解步骤

10、：第一步：审结论明确解题方向如要解ax2bxc0，首先确定a的符号，最好能确定a，b，c的值第二步：审条件挖掘题目信息利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用c表示a，b.第三步：建联系找解题突破口由给定不等式的解集形式确定关于a，b，c的方程组用c表示a，b代入所求不等式求解ax2bxc0.由根与系数的关系得(7)(1)，7(1)，解得m4，故选D.5已知一元二次不等式x2pxq0的解集为，求不等式qx2px10的解集解：因为x2pxq0的解集为，所以x1与x2是方程x2pxq0的两个实数根，由根与系数的关系得解得所以不等式qx2px10即为x2x10，整理得x2x60，解得2x3.即不等式qx2px10的解集为x|2x38