2023届数学一轮复习函数与导数：8-切比雪夫函数最佳逼近.docx

1、 8.切比雪夫视角下的“”型不等式的七种解法典例：（2019年2月温州二模）已知，若对，使得，则实数的最大值为_.解法一：（参变分离法）由的任意性易知，由有：或，即或对有解，令，对，对，当时，在上递减，当时，上述不等式无解，.解法二：（极差思维）由的任意性易知：，当时，在上递增，恒成立，.当时，当且仅当，即（此处用极差思维，比讨论对称轴要简便些），即时，.解法三：（纵向距离），作出与的图象，当时，当时，令，切线方程为，过，斜率为的直线方程为：，即，令，当时，.（当且仅当时取得最大值）以下解法，先考查原命题的否定：已知，若，对，恒有，则实数的取值范围为_.解法四：（极差思维），令，即，此时，原题

2、的取值范围为.解法五：（半分参后数形结合）由有：，对恒成立， ，原题的取值范围为.解法六：（半分参后夹逼）由有：，作出，的图象，易知：，原题的取值范围为.另解：（半分参后夹逼）由有：，作出和的图象，易知：，原题的取值范围为：.解法七：（特值法）由恒成立有：，又，原题的取值范围为.说明：对二次函数外加绝对值不等式，取特值必须是两个端点和顶点，否则所求结果不是邻界值，所以这种做法带有机遇性和风险.总之，这类含有“任意”、“存在”的绝对值不等式恒成立或有解问题，参变分离，看成“纵向距离”，半分参后数形结合或夹逼思维，都是通性通法，另外，当的取值是存在时，可先从此问题的否定先入手，即转化为对的恒成立问

3、题求解，从而为夹逼思维处理带来方便,此类问题夹逼才是王道.举一反三1.二次函数，若对任意的实数，都存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围是（ D ）（从命题否定先考虑再夹逼思维或用极差思维都很方便）A. B.C. D.2.已知函数，若存在实数，使得对任意，都有成立，则实数的取值范围是_.（夹逼思维更好，也可用极差思维）3.（2016年4月学考）设函数，若对任意的正实数和实数，总存在，使得，则实数的取值范围是（ B ）A. B. C. D. 说明：用纵向距离，单调性加极差思维都很简洁，利用契比雪夫函数逼近线转化为平口单峰函数做更妙.4.（浙江诸暨2018届高三上期末）已知，若对任意的，恒成立，则_.（半分参后夹逼即可，若，此题不可求，特值法很懵逼.）5.（广东2022届高三综合能力测试）已知函数，当时，恒成立，则_.（半分参后夹逼才是王道，.）