新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点12数列的证明与通项大题突破（附解析）.doc

1、命题点12数列的证明与通项12021全国甲卷已知数列an的各项均为正数，记Sn为an的前n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立数列an是等差数列；数列是等差数列；a23a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分解：22022全国甲卷记Sn为数列an的前n项和已知n2an1.(1)证明：an是等差数列；(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值解：32021全国乙卷记Sn为数列an的前n项和，bn为数列Sn的前n项积，已知2.(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求an的通项公式解：42023河北衡水模拟已知数列an的前n项和为Sn，Snan2n1.(1)证明：是

2、等差数列；(2)求数列的前n项积解：52023广东六校联考记Sn为数列an的前n项和，已知Sn，2n的等差中项为an.(1)求证an2为等比数列；(2)数列的前n项和为Tn，是否存在整数k满足Tn(k，k1)？若存在求k，否则说明理由解：62023山东日照模拟已知数列an满足：a10，anan1272n.(1)当时，求数列a2n中的第10项；(2)是否存在正数，使得数列an是等比数列，若存在求出值并证明；若不存在，请说明理由解：命题点12数列的证明与通项(大题突破)1解析：.已知an是等差数列，a23a1.设数列an的公差为d，则a23a1a1d，得d2a1，所以Snna1dn2a1.因为数列

3、an的各项均为正数，所以n，所以(n1)n(常数)，所以数列是等差数列.已知an是等差数列，是等差数列设数列an的公差为d，则Snna1dn2dn.因为数列是等差数列，所以数列的通项公式是关于n的一次函数，则a10，即d2a1，所以a2a1d3a1.已知数列是等差数列，a23a1，所以S1a1，S2a1a24a1.设数列的公差为d，d0，则d，得a1d2，所以(n1)dnd，所以Snn2d2，所以anSnSn1n2d2(n1)2d22d2nd2(n2)，是关于n的一次函数，所以数列an是等差数列2解析：(1)证明：由已知条件，得Snnan.当n1时，a1S1.当n2时，anSnSn1nan(n

4、1)an1，(1n)ann1(n1)an1.等式两边同时除以1n，得an1an1，anan11.an是公差为1的等差数列(2)由(1)可得ana1(n1).a4a13，a7a16，a9a18.a4，a7，a9成等比数列，aa4a9，即(a16)2(a13)(a18)，a112，Snna1112nn2n.当n12或n13时，Sn取得最小值，为1221278.3解析：(1)证明：因为bn是数列Sn的前n项积，所以n2时，Sn，代入2，可得2，整理可得2bn112bn，即bnbn1(n2).又2，所以b1，故bn是以为首项，为公差的等差数列(2)由(1)可知，bn，则2，所以Sn，当n1时，a1S1

5、，当n2时，anSnSn1，当n1时不满足此式，故an.4解析：(1)证明：由Snan2n1，得Sn1an12n.所以(Sn1Sn)an1an2n1，即an1an1an2n1，整理得an12an2n，上式两边同时除以2n，得1.又Snan2n1，所以a1a11，即a12，所以是首项为2，公差为1的等差数列(2)由(1)知，2(n1)1n1.所以an(n1)2n1.所以(n2)2n1.5解析：(1)证明：因为Sn，2n的等差中项为an，所以Sn2n2an，因为n1时，S1a1，则S122a1，所以a12，由Sn2n2an得Sn12n22an1，又an1Sn1Sn，两式相减得an122an12an

6、，即an12an2，所以有an122(an2)，所以2，所以an2是等比数列，其首项为a124，公比为2.(2)由(1)知an242n1，所以an2n12，所以，因为00，又Tn1，所以Tn(0，1)，所以k0.6解析：(1)由已知anan1272n，所以anan1292n，相除得；又a1，a2a125，所以a2210，所以a20210.(2)假设存在正数，使得数列an是等比数列，由a2a125得a2，由a2a38，得a3，因为an是等比数列，a1a3a，264，即8，下面证明8时数列an是等比数列，由(1)知数列a2n1和a2n都是公比是的等比数列，所以a2n18，a2n4；所以n为奇数时，an24n，n为偶数时，an24n，所以对一切正整数n，都有an24n，所以，所以存在正数8使得数列an是等比数列