新疆库车市第一中学2021届高三数学上学期期中试题（含解析）.doc

1、新疆库车市第一中学2021届高三数学上学期期中试题（含解析）总分：150分 考试时间：120分钟注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2请将答案正确填写在答题卡上;第卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 设集合，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得集合，结合集合的交集的运算，即可求解.【详解】由集合，所以.故选：B.2. 已知向量，则（）A. 2B. 3C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】先求得，根据，得到，再结合向量的数量积的坐标运算，即可求解.【详解】由题意，向量，可得，因为，可得，解得，即，所以.故选：C.3.

2、 已知函数在处可导,若,则 （ ）A. 2B. 1C. D. 0【答案】C【解析】【分析】根据条件得到，计算得到答案.详解】即故选【点睛】本题考查了导数的定义，意在考查学生的计算能力.4. 设向量，且，则m等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意和向量垂直的坐标表示列出方程，可得的值.【详解】解：由题意：，即可，可得，由，可得，可得，故选：B.【点睛】本题主要考查向量的模与向量垂直的坐标运算等知识，考查学生的基础知识与基本计算能力，属于基础题.5. 已知命题函数在定义域上为减函数，命题在中，若，则，则下列命题为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】

3、B【解析】【分析】首先确定命题p,q的真假，然后逐一考查所给的选项的真假即可.【详解】函数在定义域上不是单调函数，命题p为假命题；在中，当时，满足，但是不满足，命题q为假命题；据此逐一考查所给命题的真假：A.为假命题；B.为真命题；C.为假命题；D.为假命题；本题选择B选项【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，复合命题真假的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6. 已知奇函数在上是增函数且当时 ，若，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可判断函数为偶函数，再利用导数可证明在为增函数，利用指数函数和对数函数的单调性可得，从而可得三个函数值之

4、间的大小关系.【详解】因为，故为偶函数，当时，因为（不恒为零），故在为增函数，又，因为，所以，故选：C.【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性和指数、对数的大小比较，注意两个增函数的乘积不一定是增函数，另外函数值的大小比较一般要利用函数的单调性来处理，本题属于中档题.7. 数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法错误的是（ ）A. 对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个B. 可以是某个圆的“优美函数”C. 正弦函数可以同时是无数个圆的“

5、优美函数”D. 函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形【答案】D【解析】【分析】利用“优美函数”的定义判断选项A，B，C正确，函数的图象是中心对称图形，则函数是“优美函数”，但是函数是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，举出反例，可判断选项D错误【详解】解：对于A：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，所以对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个，故选项A正确；对于B：因为函数图象关于原点成中心对称，所以将圆的圆心放在原点，则函数是该圆的“优美函数”，故选项B正确；对于C：将圆的圆心放在正弦函数的对称中心上，则正弦函数是该圆的“优美函数”，故选项C正确；对于D：函数的

6、图象是中心对称图形，则函数不一定“优美函数”，如；但是函数是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图所示：所以函数的图象是中心对称图形是函数是“优美函数”的不充分不必要条件，故选项D错误，故选：D.【点睛】本题考查函数的新定义，考查函数图象的应用，以及对函数对称性的理解，考查分析问题能力和数形结合思想.8. 已知，且，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三角函数的诱导公式，求得，再由，得到，根据三角函数的基本关系式，求得，进而求得的值.【详解】由三角函数的诱导公式，可得，即，因为，所以又由三角函数的基本关系式，可得，所以.故答案为：C9. 若实数，满足，则关于的函数

7、图象的大致形状是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用特殊值和，分别得到的值，利用排除法确定答案.【详解】实数，满足，当时，得，所以排除选项C、D，当时，得，所以排除选项A，故选：B.【点睛】本题考查函数图像的识别，属于简单题.10. 在中，角，对应边分别为，已知三个向量，共线，则形状为（ ）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】由题意得： ，由正弦定理得同理可得 ，所以三角形为等边三角形，选A.11. 正四棱锥的侧棱长为,底面ABCD边长为2,E为AD的中点,则BD与PE所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案

8、】D【解析】【分析】取中点为，连接，得到 BD与PE所成角为，在中，利用余弦定理得到答案.【详解】如图所示：取中点为，连接，易知 故BD与PE所成角在中， 利用余弦定理得到： 解得故选 【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.12. 已知函数(，e为自然对数的底数)与的图象上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意可将问题转化为方程在上有解，分离参数可得，令，利用导数求出值域即可求解.【详解】因为函数()与的图象上存在关于直线对称的点，则函数(，e为自然对数的底数)与函数的图象有交点，即在上有解，即在

9、上有解，令，（），当时，函数为减函数，当时，函数为增函数，故时，函数取得最小值，当时，当时，故实数的取值范围是.故选：A【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了转化与化归的思想，考查了计算求解能力，属于中档题.第卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若函数为偶函数，则 【答案】1【解析】试题分析：由函数为偶函数函数为奇函数，考点：函数的奇偶性【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型首先利用转化思想，将函数为偶函数转化为 函数为奇函数，然后

10、再利用特殊与一般思想，取14. 若，且，则_【答案】【解析】【分析】将变形为，从而可得进而得到，再利用配凑角得到所求.【详解】，.又，=，故答案为.【点睛】本题主要考查“给值求值”：给出某些三角函数式的值，求另外一些三角函数值，解题关键在于“变形”和“变角”，使其角相同或具有某种关系，本题主要利用了二倍角公式、诱导公式及两角和差的正切公式.15. 定义在R上的函数满足当时， ，_【答案】338【解析】【分析】确定函数是的周期函数，计算一个周期的函数值和为1，再计算得到答案.【详解】故函数是的周期函数.故故答案为【点睛】本题考查了周期函数的计算，确定一个周期的函数和值是解题的关键.16. 已知定

11、义在R上的单调递增奇函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据函数单调性和奇偶性得到，换元，利用均值不等式得到，计算得到答案.【详解】定义在R上的单调递增奇函数故即 设变换为：当即时等号成立，故故答案为【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性，恒成立问题，均值不等式，将恒成立问题通过参数分离转化为最值问题是解题的关键.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 在中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.（1）求C；（2）若，求c.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）结合正弦定理以及三角形的内角和求出；即可求解；（2）先根据内角和以及两角和的正弦公

12、式求出；在结合正弦定理得到；代入数量积即可求解结论.【详解】（1），；结合正弦定理得：，；（2）由（1）得：；（负值舍）.即.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查两角和的正弦公式，考查三角形的内角和定理，属于中档题.18. 已知三个点，.（1）求证：；（2）若四边形为矩形，求点的坐标及矩形两对角线所成锐角的余弦值.【答案】（1）证明见详解；（2），矩形两对角线所成锐角的余弦值为.【解析】【分析】（1）利用向量垂直证明即可；（2）设坐标，根据向量相等求点坐标，根据向量夹角求对角线所成锐角余弦值.【详解】解：（1）由题知，所以，所以，所以；（2）设点的坐标为，则根据四边形为矩形得，即：

13、，所以，解得，所以；所以，所以，矩形两对角线所成锐角的余弦值为.【点睛】本题考查利用向量解决平面几何问题，是中档题.19. 已知函数（1） 求f(x)的最小正周期；（2） 求f(x)在区间上的最大值和最小值【答案】（1）T；（2）最大值为，最小值为2【解析】【分析】（1）先利用两角和正弦公式和二倍角公式转化为2sin 2x2cos 2x，再利用辅助角公式转化，然后由周期公式求解. （2）根据，得到，再利用正弦函数的性质求解.【详解】（1）sin 2x3sin 2xcos 2x2sin 2x2cos 2x所以，的最小正周期T（2）因为，所以，所以，所以函数在区间上的最大值为，最小值为2【点睛】本

14、题主要考查三角函数的性质以及两角和与差的三角函数的应用，属于中档题.20. 已知函数，其中（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上，恒成立，求a的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出切点坐标和斜率可求得答案；（2）对进行讨论，利用函数的单调性求得最小值大于0可求得答案.【详解】（1）当时，；，所以曲线在点处的切线方程为，即；（2）令，解得或以下分两种情况讨论：（i）若，则；当x变化时，的变化情况如下表：x0+0-增极大值减当时，等价于即解不等式组得因此；（ii）若，则当x变化时，的变化情况如下表：x0+0-0+增极大值减极小值增当时，等价于即解不等式组得或因此综合

15、（i）和（ii），可知a的取值范围为【点睛】本题考查了函数的切线方程，函数的单调性及利用单调性求恒成立的问题.21. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）对分两种情况讨论，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）因为，所以原不等式等价于，结合（1）可得，利用导数研究函数的单调性，可得以，所以，即，即.试题解析：（1），若，则，在上为増函数；若，则当时，；当时，.故在上，为増函数；在上，为减函数. （2）因为，所以只需证，由（1）知，当时，在上为增函数，在上为减函数，所以.记，则，所以，当时，为减

16、函数；当时，为增函数， 所以.所以当时，即，即.22. 已知函数在处的切线斜率为零（）求和的值；（）求证：在定义域内恒成立；() 若函数有最小值，且，求实数的取值范围.【答案】（）（）证明：见解析；() 【解析】【分析】()求导根据求出的值,再根据曲线f(x)过点,求出b的值.()证明:f(x)在R上的最小值恒大于或等于零即可.利用导数研究单调性极值,求出最值即可.()先求出,然后分、和三种情况进行讨论.分别研究其最小值,令最小值m2e即可【详解】（）解：.由题意有即，解得或（舍去）得即，解得 （）证明：由（）知， 在区间上，有；在区间上，有故在单调递减，在单调递增，于是函数在上的最小值故当时，有恒成立 () 当时，则，当且仅当时等号成立，故的最小值，符合题意；当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意；当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意综上，实数的取值范围是