2022版高中数学一轮复习 课时作业梯级练七十七 证明不等式的基本方法课时作业（理含解析）新人教A版.doc

1、课时作业梯级练七十七证明不等式的基本方法1已知a0，b0，c0，且abc1.求证：a2b2c2.【解析】因为a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，所以a2b2c2abbcca，因为(abc)21，所以a2b2c22ab2bc2ca1，所以3(a2b2c2)1，即a2b2c2.2设a1，a2，a3均为正数，且a1a2a3m，求证：.【解析】因为m(a1a2a3)()3399.当且仅当a1a2a3时，等号成立，又m0，所以.3(2020大庆模拟)设a，b，c均为正数(1)证明：a2b2c2abbcca；(2)若abbcca1，证明：abc.【解析】(1)因为a，b，c均为正数，可得a2b

2、22ab，b2c22bc，c2a22ca，以上三式相加可得a2b2b2c2c2a22ab2bc2ca，即a2b2c2abbcca.(2)因为abbcca1，由(1)可知a2b2c21，故(abc)2a2b2c22ab2bc2ca.a2b2c22(abbcca)123.所以abc得证4(2019全国卷)已知a，b，c为正数，且满足abc1，证明：(1)a2b2c2.(2)(ab)3(bc)3(ca)324.【证明】(1)因为a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又abc1，故有a2b2c2abbcca.当且仅当abc时，取等号所以a2b2c2.(2)因为a，b，c为正数且abc1，故有

3、(ab)3(bc)3(ca)333(ab)(bc)(ac)3(2)(2)(2)24.当且仅当abc时，取等号所以(ab)3(bc)3(ca)324.5已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.【解析】(1)当x时，不等式f(x)2可化为xx2，解得x1，所以1x；当x时，不等式f(x)2可化为xx12，此时不等式恒成立，所以x；当x时，不等式f(x)2可化为xx2，解得x1，所以x1.综上可得Mx|1x1(2)当a，bM时，(a21)(b21)0，即a2b21a2b2，即a2b212aba2b22ab，即(ab1)2(ab)2，即|ab

4、|1ab|.6已知a，b都是正实数，且ab2，求证：1.【证明】因为a0，b0，ab2，所以1.因为ab22，所以ab1.所以0.所以1.7设a，b，c均为正数，abc1，证明：(1)abbcac；(2)1.【证明】(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcac.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2ac2bc1，所以3(abbcac)1，即abbcac.(2)因为b2a，c2b，a2c，所以(abc)2(abc)，即abc，即1.8已知a0，b0，函数f(x)|2xa|21的最小值为2.(1)求ab的值；(2)求证：alog33b.【解析】(1)因为f(x)|2xa|2xb|1|2xa(2xb)|1|ab|1，当且仅当(2xa)(2xb)0时，等号成立，又a0，b0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值为ab12，所以ab1.(2)由(1)知，ab1，所以(ab)14529，当且仅当且ab1，即a，b时取等号所以log3log392，所以ablog3123，即alog33b.