江苏省2013届高考数学二轮复习 专题5 函数的综合应用 .doc

1、江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题5 函数的综合应用高考中，函数作为压轴题的考查层出不穷，是历年来高考的热点问题之一，很多时候都以函数为载体考查学生分析问题、解决问题的能力，考查学生的数学素养以及运用数学思想处理问题的能力，填空题中往往也在13、14题的位置作为把关题，结合函数的性质以及图象来考查学生的等价转化能力和数据处理能力.抓住函数的本质，掌握求函数性质的一般方法，特别是求函数值域的方法对我们解决中高档题目有着重要的意义.预测在2013年的高考题中：(1)仍然作为把关题出现在填空题和解答题的后半部分.(2)结合导数一起考查，利用导数探究函数的性质.1(2012启东测试)若实数

2、x满足对任意正数a0，均有ax21，则x的取值范围是_ 解析：由题意得x210，即1x1.答案：1,12函数f(x)x2在1，)上的最小值是4，则正实数a_.解析：f(x)2x0，则f(x)在1，)上单调递增，f(x)minf(1)1a4，a5.答案：53关于x的不等式x29|x23x|kx在1,5上恒成立，则实数k的范围为_解析： 两边同除以x，则kx|x3|，x6，|x3|0，当且仅当x3，两等式同时取得等号，所以x3时，右边取最小值6.所以k6.答案：(，64设定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)13，若f(1)2，则f(99)_.解析：由f(x)f(x2)13得f(x2)f(

3、x4)13，即f(x4)f(x)，所以f(99)f(3).答案：5已知a0且a1，当x(1,1)时，不等式x2ax恒成立，则a的取值范围_解析：不等式x2axx2，画出y1ax，y2 x2的图象由图可看出a1或1a2.答案：(1,2函数f(x)x2ax3a，对于任意的x2,2总有f(x)0成立，求a的取值范围解法一：设f(x)的最小值为g(a)，则只需要g(a)0.(1)当4时，g(a)f(2)73a0，得a，又a4，故不存在；(2)当2,2，即4a4时，g(a)f3a0，得6a2，又4a4，故4a2；(3)当2，即a4，g(a)f(2)7a0，得a7，又a4，故7a0即2x1，不等式a恒成立

4、，设g(x)，利用求导的方法得到g(x)min2，得到a2，(3)若1x0即1x2，不等式a恒成立，设g(x)，利用求导的方法得到g(x)max7，得到a7.综上所述a的取值范围为7,2通过以上解法，我们认识到对于这一类问题，方法较多、思维较强，考察了等价转换的数学思想，对于这类问题我们只有归纳总结，多去研究、探讨才能掌握解题规律，灵活选择解题方法(2012南通、泰州、扬州调研)已知函数f(x)x3x2，g(x)aln x，aR.(1)若对任意x1，e，都有g(x)x2(a2)x恒成立，求a的取值范围；(2)设F(x)若P是曲线yF(x)上异于原点O的任意一点，在曲线yF(x)上总存在另一点Q

5、，使得POQ为钝角，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围解：(1)由g(x)x2(a2)x，得(xln x)ax22x.由于x1，e，ln x1x，且等号不能同时取得，所以ln x0.从而a恒成立，amin.设t(x)，x1，e求导，得t(x).x1，e，x10，ln x1，x22ln x0，从而t(x)0，t(x)在1，e上为增函数所以t(x)mint(1)1，所以a1.(2)F(x)设P(t，F(t)为曲线yF(x)上的任意一点假设曲线yF(x)上存在一点Q(t，F(t)，使POQ为钝角，则0.若t1，P(t，t3t2)，Q(t，aln(t)，t2aln(t)(t3t2)由于0恒成立，a(

6、1t)ln(t)1.当t1时，a(1t)ln(t)1恒成立当t1时，a0，所以a0.若1t1，t0，P(t，t3t2)，Q(t，t3t2)，则t2(t3t2)(t3t2)0对1t1，t0恒成立当t1时，同可得a0.综上所述，a的取值范围是(，0(2012苏北四市模拟)已知函数f(x)(ax2x)ex，其中e是自然数的底数，aR.(1)当a0；(2)若f(x)在1,1上是单调增函数，求a的取值范围；(3)当a0时，求整数k的所有值，使方程f(x)x2在k，k1上有解解(1)因为ex0，所以不等式f(x)0，即ax2x0.又因为a0，所以不等式可化为x0的解集为.(2)f(x)(2ax1)ex(a

7、x2x)exax2(2a1)x1ex，当a0时，f(x)(x1)ex，f(x)0在1,1上恒成立，当且仅当x1时取等号，故a0符合要求；当a0时，令g(x)ax2(2a1)x1，因为(2a1)24a4a210， 所以g(x)0有两个不相等的实数根x1，x2，不妨设x1x2， 因此f(x)有极大值又有极小值 若a0，因为g(1)g(0)a0，所以f(x)在(1,1)内有极值点，故f(x)在1,1上不单调 若a0x2.因为g(0)10，且g(x)的图象开口向下，要使f(x)在1,1上单调，则必须满足即所以a0，所以x0不是方程的解所以原方程等价于ex10，令h(x)ex1，因为h(x)ex0对于x

8、(，0)(0，)恒成立，所以h(x)在(，0)和(0，)内是单调增函数，又h(1)e30，h(3)e30， 所以方程f(x)x2有且只有两个实数根，且分别在区间1,2和3，2上 所以整数k的所有值为3,1.第一问看似复杂，利用函数有界性不等式就转化成ax2x0，解二次含参不等式即可；第二问等价转化成f(x)(2ax1)ex(ax2x)exax2(2a1)x1ex0恒成立问题处理，即转化成ax2(2a1)x10恒成立解决；第三问方程即转化成xexx2的形式，结合函数零点的判断方法解决(2012盐城中学期中)已知函数f(x)x2aln x，g(x)bx2，其中a，bR且ab2.函数f(x)在上是减

9、函数，函数g(x)在上是增函数(1)求函数f(x)，g(x)的表达式；(2)若不等式f(x)mg(x)对x恒成立，求实数m的取值范围；(3)求函数h(x)f(x)g(x)x的最小值，并证明当nN*，n2时f(n)g(n)3.解：(1)f(x)2x0对任意的x恒成立，所以a2x2.所以a2.同理可得b1.ab2，a2，b1.f(x)x22ln x，g(x)x2.(2)f(1)10，g0，且函数f(x)在上是减函数，函数g(x)在上是增函数所以x时，f(x)0，g(x)0，m. 由条件得min，m.(3)h(x)2(1)，当x0时，0，则当x(0,1)时，h(x)0.故h(x)在x(0,1)递减，

10、在x(1，)递增所以h(x)minh(1)，即h(x)的最小值为.当n2时，h(n)h(2)72ln 23(2ln 4)(2)3，即h(n)3.所以nN*，n2时f(n)g(n)h(n)33成立(2012泰州模拟)已知函数f(x)x(xa)2，g(x)x2(a1)xa(其中a为常数)(1)如果函数yf(x)和yg(x)有相同的极值点，求a的值；(2)设a0，问是否存在x0，使得f(x0)g(x0)，若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由；(3)记函数H(x)f(x)1g(x)1，若函数yH(x)有5个不同的零点，求实数a的取值范围解(1)f(x)x(xa)2x32ax2a2x，则

11、f(x)3x24axa2(3xa)(xa)，令f(x)0，得xa或x，而g(x)在x处有极大值，所以aa1，或a3.综上a3或a1.(2)假设存在x，使得f(x)g(x)x(xa)2x2(a1)xax(xa)2(xa)(x1)(xa)x2(1a)x10，当x时，又a0，故xa0，则存在x，使得x2(1a)x1，即a3时，2(1a)13或a3；2当1，即0a3时，0，得a3，故a无解；综上a的取值范围为(3，)(3)据题意有f(x)10有3个不同的实根，g(x)10有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等g(x)10有2个不同的实根，只需满足g1a1或aa即a0时，f(x)在xa处取得极大值，而

12、f(a)0，不符合题意，舍去；2当a即a0时，不符合题意，舍去；3当0时，f(x)在x处取得极大值，f1a，所以a.因为要同时满足，故a.下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在x0使得f(x0)10和g(x0)10同时成立假设存在x0使得f(x0)g(x0)1，由f(x0)g(x0)，即x0(x0a)2x(a1)x0a，得(x0a)(xax0x01)0.当x0a时，f(x0)g(x0)0，不符合题意，舍去；所以x0a，即xax0x010.又g(x0)1，即x(a1)x0a1.联立式，可得a0，而当a0时，不满足a，故舍去，所以这5个实根两两不相等综上，当a时，函数yH(x)有5个不同的零点本

13、题考查函数与导数的综合应用，利用导数研究函数的极值和最值，第一问是解方程；第二问将不等式有解问题，转化成最值问题处理，但需要讨论，并不简单；第三问思维要求比较高，除了分解方程的根之外，最终关键点是证明这5个根是不同的(2012盐城模拟)已知f(x)为R上的偶函数，当x0时，f(x)ln(x2) (1)当x0时，求f(x)的解析式； (2)当mR时，试比较f(m1)与f(3m)的大小；(3)求最小的整数m(m2)，使得存在实数t，对任意的xm,10，都有f(xt)2ln|x3|.解：(1)当x|3m|(m1)2(3m)2m2.所以当m2时，f(m1)f(3m) ；当m2时，f(m1)f(3m)；

14、当m2时，f(m1)f(3m)(3)当xR时，f(x)ln(|x|2)，则由f(xt)2ln|x3|，得ln(|xt|2)ln(x3)2，即|xt|2(x3)2对xm,10恒成立 从而有对xm,10恒成立，因为m2, 所以因为存在这样的t ，所以m27m7m25m7，即m26m70.又m2，所以适合题意的最小整数m1.(1)恒成立问题的处理方法：第一步，分清参数和自变量；第二步，确定是否要分离；第三步，构造新函数求最值；第四步，解不等式(2)有双重量词出现的不等式恒成立问题，先把其中一个自变量当成已知的参数，解决一个量词，然后再解决另一个量词(3)证明与函数有关的不等式主要是利函数的最值和单调

15、性来判断(4)方程的根的个数问题往往考查函数与方程思想和函数零点问题，需注意等价转化1对正整数n，设曲线yxn(1x)在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和的公式是_解析：yxnxn1，ky|x2n2n1(2n2)2n1(n2)2n1，切点为(2，2n)，切线方程点斜式为y2n(n2)2n1(x2)，令x0得an(n1)2n，令bn，则bnn2n，令Snb1b2bn，由错位相减法可得Sn2(1n)2n1.答案：Sn2(1n)2n12不等式ax在x0,3内恒成立，则实数a的取值范围_解析：画出两个函数yax和y在x0,3上的图象，由图知，当x3时，3a，即当a，x0,3时，总有

16、ax，所以a.答案：3若f(x)loga(2ax)在0,1上是减函数，则a的取值范围是_解析：由于所给函数可分解为ylogau，u2ax，其中u2ax在a0时为减函数，所以必须a1；因为0,1必须是yloga(2ax)定义域的子集，所以x1时，a2.所以1a2.答案：(1,2) 4已知a是实数，函数f(x)2x22x3a，如果函数yf(x)在区间(1,1)上有零点，则实数a的取值范围为_解析：因为f(x)图象的对称轴为x，所以函数在区间(1,1)上只有一个零点，此时f(1)f(1)0或0，即(3a)(1a)0或72a0，解得3a1或a.函数在区间(1,1)上有两个零点，此时即解得a3.综上所述

17、，实数a的取值范围为(3,1)答案：(3,1)5将函数y(x0,2)的图象绕坐标原点逆时针旋转(为锐角)，若所得曲线仍是一个函数的图象，则的最大值为_解析：由y ，得(y)2x22x3(x1)24，即(x1)2(y)24.注意到0，从而y.又x0,2，所以函数的图象是x0,2的圆弧，如图1.由图可知，当切线从起始位置l0逆时针转至y轴时，如图2，都能保证曲线C是一个函数的图象，所以的最大值是l0的倾斜角的余角，其值是. 图1图2答案：6已知函数f(x)的定义域为R，f(2)3，且f(x)在R上的导函数满足f(x)10，则不等式f(x2)x21的解集为_解析：构造函数g(x)f(x)x1，则由条

18、件知g(x)f(x)10，g(2)0，函数g(x)f(x)x1在定义域R上单调递减，不等式f(x2)x21化为g(x2)2，所以不等式的解集为(，)(，)答案：(，)(，)7已知函数f(x)则函数yf(f(x)1的零点个数是_解析：令x10，得x1；令log2x0，得x1.令F(x)ff(x)1，则F(x)作出函数yF(x)的图象如图所示，由图象可知函数yf(f(x)1有4个零点答案：48设函数f(x)的定义域为D，若满足：f(x)在D内是单调函数；存在a，bD，使f(x)在a，b上的值域为b，a，那么yf(x)叫做对称函数，现有f(x)k是对称函数，则k的取值范围是_解析：由于f(x)k在(

19、，2上是减函数，又f(x)是对称函数，所以在区间a，b(a，b(，2)上有因此关于x的方程kx在(，2上有两个不同的实根，通过换元并结合图象可得k.答案：9已知函数f(x)loga|x1|(a0且a1)，当x(0,1)时，恒有f(x)1，但loga|x1|0，故由对数函数的图象知，0a0，解得0x1)有3个不同的实数根，则a的取值范围为_解析：依题意可得f(x4)f(x2)2f(x2)2f(x)，所以函数f(x)的周期为4，如图所示，先作出当x2,0时的图象，然后根据函数f(x)是定义在R上的偶函数，作出其关于y轴的对称图形，得到x0,2时函数的图象再根据函数的周期性，即可得到x2,6时函数的

20、图象，在此坐标系内，作出函数yloga(x2)(a1)的图象由题意知，函数yloga(x2)(a1)的图象与函数f(x)在(2,6上的图象有3个交点，根据两个函数图象可知即解得a2.故a的取值范围为(，2)答案：(，2)11(2012苏北四市模拟)已知函数f(x)x22ax1(aR)，f(x)是f(x)的导函数(1)若x2，1，不等式f(x)f(x)恒成立，求a的取值范围；(2)解关于x的方程f(x)|f(x)|；(3)设函数g(x)求g(x)在x2,4时的最小值解：(1)因为f(x)f(x)，所以x22x12a(1x)又因为2x1，所以a在x2，1时恒成立因为，所以a.(2)因为f(x)|f

21、(x)|，所以x22ax12|xa|，所以(xa)22|xa|1a20，则|xa|1a或|xa|1a.当a1时，|xa|1a，所以x1或x(12a)(3)因为f(x)f(x)(x1)x(12a)，g(x)若a，则x2,4时，f(x)f(x)，所以g(x)f(x)2x2a.从而g(x)的最小值为g(2)2a4；若a，则x2,4时，f(x)f(x)，所以g(x)f(x)x22ax1，当2a时，g(x)的最小值为g(2)4a5；当4a2时，g(x)的最小值为g(a)1a2；当a4时，g(x)的最小值为g(4)8a17.若a，则x2,4时，g(x)当x2,12a)时，g(x)最小值为g(2)4a5；当x12a,4时，g(x)最小值为g(12a)22a.因为a，(4a5)(22a)6a30，且x1x2420.0，2,2.假设存在实数m，使得不等式m2tm2|x1x2|对任意t3,3, A恒成立|x1x2|2|0，要使m2tm2|x1x2|对任意t3,3, A恒成立，只要m2tm20对任意t3,3 恒成立，令g(t)tm m22 , 则g(t)是关于t的线性函数只要解得不存在实数m，使得不等式m2tm2|x1x2|对任意t3,3, A恒成立