江苏省2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 含解析.doc

1、2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题）1. 已知全集U=0，1，2，3，4，5，集合A=x|1x4，xN，B=x|52x33，xN，则（UA）B=（）A. 5,B. C. D. 2. 已知向量=（+1，1），=（+2，2），若（2+）（-2），则=（）A. B. 0C. 1D. 23. 若椭圆+=1（ab0）的离心率为，则双曲线-=1的渐近线方程为（）A. B. C. D. 4. 函数的图象可能是（）A. B. C. D. 5. 已知，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D. 6. 若正数a，b满足，的最小值为（）A. 1B. 6C. 9D.

2、167. “a-2”是“x0R，asinx0+20”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 数列Fn：1，1，2，3，5，8，13，21，34，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和记该数列Fn的前n项和为Sn，则下列结论正确的是（）A. B. C. D. 9. 设椭圆与双曲线在第一象限的交点为T,为其共同的左右的焦点,且,若椭圆和双曲线的离心率分别为,则的取值范围为()A. B. C. D. 10. 设集合A=（x，y）|（x-4）2

3、+y2=1，B=（x，y）|（x-t）2+（y-at+2）2=1，如果命题“tR，AB”是真命题，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D. ,11. 给出下列四个说法：命题“x0，都有”的否定是“x00，使得”；已知a、b0，命题“若，则ab”的逆命题是真命题；x1是x21的必要不充分条件；若x=x0为函数f（x）=x2+x+2lnx-e-x的零点，则x0+2lnx0=0其中正确的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 312. 设首项为1的数列an的前n项和为Sn，且an=，若Sm999，则正整数m的最小值为（）A. 15B. 16C. 17D. 14二、填空题（本大题共4小题，共20

4、.0分）13. 设x0，y0，x+2y=7，则的最小值为_14. 已知等差数列an中，前m（m为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且a1-am=18，则数列an的通项公式为an= _ 15. 若抛物线x2=4y的顶点是抛物线上到点A（0，a）的距离最近的点，则实数a的取值范围是_16. 不等式x6-（x+2）3+2x2-2x-40的解集为_三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，点M为棱A1B1的中点求证：（1）AB平面A1B1C；（2）平面C1CM平面A1B1C18. 在ABC中，角C为钝角，b=5，（1）求sinB的值；

5、（2）求边c的长19. 习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一江苏某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台16200元，第一年每台设备的维修保养费用为1100元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益8100元（1）每台充电桩第几年开始获利？（2）每台充电桩在第几年时，年平均利润最大20. 已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，点B（m，2）在抛物线C上，A（0，），且|

6、BF|=2|AF|（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点P（1，2）作直线PM，PN分别交抛物线C于M，N两点，若直线PM，PN的倾斜角互补，求直线MN的斜率21. 已知正项数列an的前n项和Sn满足2Sn=an2+an-2（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=（nN*），求数列bn的前n项和Tn（3）是否存在实数使得Tn+2Sn对nN+恒成立，若存在，求实数的取值范围，若不存在说明理由22. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2，一条准线方程为x=2P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标为

7、（0，b），求过点P，Q，F2三点的圆的方程；（3）若=，且，求的最大值答案和解析1.【答案】D【解析】解：U=0，1，2，3，4，5，A=1，2，3，4，B=3，4，5，UA=0，5，（UA）B=5故选：D可以求出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可本题考查了列举法、描述法的定义，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题2.【答案】B【解析】解：，-3（3+4）+4（+3）=0，解得=0故选：B可以求出，根据即可得出-3（3+4）+4（+3）=0，解出即可考查向量坐标的加法、减法和数乘运算，以及平行向量的坐标关系3.【答案】A【解析】解：椭圆+=1（ab0）的离心率为，则=，即有=，

8、则双曲线-=1的渐近线方程为y=x，即有y=x故选：A运用椭圆的离心率公式可得a，b的关系，再由双曲线的渐近线方程，即可得到本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题4.【答案】C【解析】解：函数是奇函数，所以排除选项B，当x=2时，y=1，排除选项D当x=1时，y=1，排除A故选：C判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊值对应点的坐标的位置判断选项即可本题考查函数的图象的判断与应用，函数的奇偶性以及特殊函数值，是解题的关键，是中档题5.【答案】B【解析】解：，a=log52=0.5c=0.50.30.50=1，b=log0.50.3=loglo

9、g=log23log22=1，acb故选：B利用指数函数、对数函数的单调性直接求解本题考查三个数的大小的求法，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6.【答案】B【解析】解：正数a，b满足，a1，且b1；变形为=1，ab=a+b，ab-a-b=0，（a-1）（b-1）=1，a-1=；a-10，=+9（a-1）2=6，当且仅当=9（a-1），即a=1时取“=”（由于a1，故取a=），的最小值为6；故选：B正数a，b满足，可得a1，且b1；即a-10，且b-10；由变形为a-1=；化为+9（a-1）应用基本不等式可求最小值本题考查了基本不等式的灵活应用问题，应用基本不

10、等式a+b2时，要注意条件a0，且b0，在a=b时取“=”7.【答案】A【解析】解：必要性：设f（x）=asinx+2，当a0时，f（x）2-a，2+a，2-a0，即a2；当a0时，f（x）2+a，2-a，2+a0，即a-2故a2或a-2；充分性：，当a-2时，asinx0+20成立“a-2”是“x0R，asinx0+20”的充分不必要条件故选：A设f（x）=asinx+2，分类求得函数的值域，由x0R，asinx0+20求得a的范围，可知“a-2”是“x0R，asinx0+20”的不必要条件；取，当a-2时，asinx0+20成立，说明“a-2”是“x0R，asinx0+20”的充分条件本题

11、考查充分必要条件的判定，考查三角函数的有界性，体现了数学转化思想方法，是中档题8.【答案】B【解析】解：数列为：1，1，2，3，5，8，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和则：Fn+2=Fn+Fn+1=Fn+Fn-1+Fn =Fn+Fn-1+Fn-2+Fn-1 =Fn+Fn-1+Fn-2+Fn-3+Fn-2 =Fn+Fn-1+Fn-2+Fn-3+F2+F1+1，S2019=F2021-1 故选：B利用迭代法可得Fn+2=Fn+Fn-1+Fn-2+Fn-3+F2+F1+1，可得S2019=F2021-1，代值计算可得结果本题考查的知识要点：迭代法在数列中的应用9.【答案】D

12、【解析】【分析】本题主要考查圆锥曲线几何性质、运算能力与逻辑思维能力，考查数学运算的核心素养，属于中档题依题意有m2-4=a2+4，即m2=a2+8，写出=2+，再根据|TF1|4，求出a的范围，即可求出【解答】解：依题意有m2-4=a2+4，即m2=a2+8，解得a21，0a4+8a29，2+，故选：D10.【答案】B【解析】解：A=（x，y）|（x-4）2+y2=1，表示平面坐标系中以M（4，0）为圆心，半径为1的圆， B=（x，y）|（x-t）2+（y-at+2）2=1，表示以N（t，at-2）为圆心，半径为1的圆，且其圆心N在直线ax-y-2=0上，如图如果命题“tR，AB”是真命题，

13、即两圆有公共点，则圆心M到直线ax-y-2=0的距离不大于2，即2，解得0a实数a的取值范围是0，；故选：B首先要将条件进行转化，即命题P：AB为假命题，再结合集合A、B的特征利用数形结合即可获得必要的条件，解不等式组即可获得问题的解答本题考查的是集合运算和命题的真假判断与应用的综合类问题在解答的过程当中充分体现了圆的知识、集合运算的知识以及命题的知识同时问题转化的思想也在此题中得到了很好的体现值得同学们体会和反思11.【答案】B【解析】解：对于：命题“x0，都有”的否定是“x00，使得”；不满足命题的否定形式，所以不正确；对于：已知a、b0，命题“若，则ab”的逆命题是真命题；满足不等式的基

14、本性质，正确；对于：x1可得x21，反之不成立，所以x1是x21的充分不必要条件；所以不正确；对于：若x=x0为函数f（x）=x2+x+2lnx-e-x的零点，则x02+x0+2lnx0-e-x0=0，不是x0+2lnx0=0，所以不正确；故选：B利用命题的否定，四中命题的逆否关系，充要条件，函数的零点判断选项的正误即可本题考查命题的真假的判断，涉及命题的否定，四种命题的逆否关系，充要条件函数的零点，是基本知识的考查12.【答案】A【解析】解：依题意，对于数列an，当n=2k+1时（kN*），a2k+1=2a2k+1=2（a2k-1+1）+1=2a2k-1+3，a2k+1+3=2（a2k-1+

15、3），即=2，数列a2k-1+3成以4为首项，2为公比的等比数列，a2k-1=2k+1-3，令n=2k-1，的k=，所以an=-3，即当n为奇数时，an=-3；当n=2k（kN*）时，a2k=a2k-1+1=-2，所以当m为偶数时，Sm=（a1+a3+am-1）+（a2+a4+am）=（22-3+23-3+-3）+（22-2+23-2+-2）=2-=-8，当m为奇数时，Sm=Sm-1+am=-8+-3=3-11，S15=329-11=1536-35-11=1500999，S14=210-25-8=992999，故选：A分成奇数项和偶数项分别考虑，奇数项构造等比数列可以求解析式，偶数项利用奇数项

16、可以得到解析式，从而得到前m项和，结合选项即可得到结果本题考查了数列的递推公式，考查了构造等比数列求数列的通项公式，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题13.【答案】8【解析】解：=8，当且仅当xy=4时等号成立故答案为：8把展开，将x+2y=7整体带入，利用基本不等式即可解得最小值本题主要考查基本不等式及其应用，属于中档题14.【答案】-3n+23【解析】解：等差数列an中，前m（m为奇数）项的和为77，ma1+=77，其中偶数项之和为33，设公差等于d，由题意可得偶数项共有项（a1+d）+2d=33，a1-am=18，a1-am=18=-（m-1）d，由，解得m=7，d=-3，a1

17、=20，故an=a1+（n-1）d=20+（n-1）（-3）=-3n+23数列an的通项公式为an=-3n+23故答案为：-3n+23设公差等于d，由题意可得偶数项共有项，从而列出方程组求出m，d，a1，由此能求出数列an的通项公式本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的合理运用15.【答案】a2【解析】解：设点P（x，y）为抛物线上的任意一点，则点P离点A（0，a）的距离的平方为|AP|2=x2+（y-a）2 =x2+y2-2ay+a2 x2=4y |AP|2=4y+y2-2ay+a2（y0）=y2+2（2-a）y+a2（y0）对称轴为y=a-2，离

18、点A（0，a）最近的点恰好是顶点，a-20解得a2，故答案为：a2将抛物线上的点离点A的距离用两点距离的平方表示出来，再研究二次函数的最值本题考查二次函数在给定区间的最值的求法：弄清对称轴与区间的关系，在y=0时取到最小值，函数在定义域内递增，对称轴在区间左边16.【答案】-1，2【解析】解：不等式x6-（x+2）3+2x2-2x-40变形为x6-x34x2+14x+12，即x3（x3-1）（2x+4）（2x+3）考查函数f（x）=x（x-1），图象关于x=对称，在（-，）上单调递减；在（，+）上单调递增知f（x3）f（2x+4）所以或或或；分别解得：x2或或-1x或即-1x2，所以不等式的解

19、集为-1，2故答案为：-1，2根据题意，把不等式变形，利用函数的性质把不等式转化，从而求出解集本题考查类比推理，找规律，对应已知形式，即可求解，中档题17.【答案】证明：（1）AA1BB1，AA1=BB1，四边形AA1B1B是平行四边形，ABA1B1，又AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，AB平面A1B1C（2）由（1）证明同理可知AC=A1C1，BC=B1C1，AB=BC，A1B1=B1C1，M是A1B1的中点，C1MA1B1，CC1平面A1B1C1，B1A1平面A1B1C1，CC1B1A1，又CC1C1M=C1，B1A1平面C1CM，又B1A1平面A1B1C1，平面C1CM平面A1

20、B1C【解析】（1）证明四边形AA1B1B是平行四边形，得出ABA1B1，故而AB平面A1B1C；（2）由C1MA1B1，CC1B1A1，得出B1A1平面C1CM，从而平面C1CM平面A1B1C本题考查了线面平行，线面垂直的判定，直棱柱的结构特征，属于中档题18.【答案】解：（1）在ABC中，角C为钝角，所以，所以，又，所以，所以sinB=sinA-（A-B）=sinAcos（A-B）-cosAsin（A-B）=（2）因为，且，所以，又，所以，在ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=，由正弦定理得，又b=5，所以【解析】（1）利用同角三角函数间的关系得到co

21、sA、sin（A-B）、cos（A-B），从而利用两角和差公式得到sinB的值；（2）利用正弦定理解三角形，从而求得边长本题是常考题型，考查解三角形，需对三角函数的各类公式熟练掌握19.【答案】解：（1）每年的维修保养费用是以1100为首项，400为公差的等差数列，设第n年时累计利润为f（n），f（n）=8100n-1100+1500+（400n+700）-16200=8100n-n（200n+900）-16200=-200n2+7200n-16200=-200（n2-36n+81），开始获利即f（n）0，-200（n2-36n+81）0，即n2-36n+810，解得，所以公司从第3年开始获利

22、；（2）每台充电桩年平均利润为当且仅当，即n=9时，等号成立即在第9年时每台充电桩年平均利润最大3600元【解析】（1）判断已知条件是等差数列，然后求解利润的表达式，推出表达式求解n即可（2）利用基本不等式求解最大值即可本题考查数列与函数的实际应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题20.【答案】解：（1）由题意得F（），则|BF|=m+，|AF|=，因为|BF|=2|AF|，所以m+=，因为点B在抛物线C上，所以12=2pm，即pm=6，联立得p4+8p2-48=0，解得p=2或p=-2（舍去），所以抛物线C的标准方程为y2=4x（2）由题知直线PM，PN的斜率存在，且不为

23、零，且两直线的斜率互为相反数设M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM：y=k（x-1）+2（k0）由，得k2x2-（2k2-4k+4）x+k2-4k+4=0，则=（2k2-4k+4）2-4k2（k-2）2=16（k-1）20，又点P在抛物线C上，所以，同理得，则，y1-y2=k（x1-1）+2-k（x2-1）+2=k（x1+x2）-2k=，所以，即直线MN的斜率为-1【解析】（1）分别根据|BF|=2|AF|和点B在抛物线上列出方程，联立求解即可得出方程；（2）设出点M，N的坐标和直线PM的方程，和抛物线方程联立求解，结合韦达定理和的范围可以求解本题考查直线与抛物线的关系，涉及解方程组和

24、韦达定理等内容，属于综合题21.【答案】解：（1）当n=1时，a1=2当n2时，整理可得：（an+an-1）（an-an-1-1）=0，可得an-an-1=1，an是以a1=2为首项，d=1为公差的等差数列（2）由（）得an=n+1，（3）假设存在实数，使得对一切正整数恒成立，即对一切正整数恒成立，只需满足即可，令，由数列的单调性可得，所以f（1）=1，f（2）=，f（3）=，f（5）f（6）当n=3时有最小值所以【解析】（1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式（2）利用（1）的结论，进一步求出数列的通项公式（3）利用恒成立问题的应用和函数的单调性的应用求出参数的取值范围本题考查的知识

25、要点：数列的通项公式的求法及应用，恒成立问题的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型22.【答案】解：（1）由题意得，解得c=1，a2=2，所以b2=a2-c2=1所以椭圆的方程为（2）因为P（0，1），F1（-1，0），所以PF1的方程为x-y+1=0由解得或所以Q点的坐标为设过P，Q，F2三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则解得所以圆的方程为（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则因为，所以所以，解得所以=因为，所以，当且仅当，即=1时取等号，所以即最大值为【解析】（1）通过焦距以及准线方程，求出a，c，然后求解b，得到椭圆方程（2）求出三点坐标，设出圆的一般方程，然后求解即可（3）求出P的坐标，代入椭圆方程，通过向量的数量积结合基本不等式求解即可本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，圆的方程的求法，向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题