河南省新乡一中2015-2016学年高二下学期第一次月考数学试卷（理科） WORD版含解析.doc

1、2015-2016学年河南省新乡一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题1若f（x0）=3，则（）A3B6C9D122函数，则此函数图象在点（1，f（1）处的切线的倾斜角为（）A0BCD3一位同学希望在暑假期间给他的4位好友每人发一条短信问候，为省下时间学习，他准备从手机草稿箱中直接选取已有短信内容发出已知他手机中草稿箱中只有3条适合的短信，则该同学共有不同的发短信的方法（）A34=12种B432=24种C43=64种D34=81种4某机场候机室中一天的游客数量为X，某网站一天的点击数X，某水电站观察到一天中水位X，其中是离散型随机变量的是（）A中的XB中的XC中的XD中的X5已知随

2、机变量X的分布列如表，则E（6X+8）=（）X123P0.20.40.4A13.2B21.2C20.2D22.26一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，则这时另一个是女孩的概率是（）ABCD7甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3：1的比分获胜的概率为（）ABCD8由曲线y=x21，直线x=0，x=2和x轴围成的封闭图形的面积（如图）可表示为（）A（x21）dxB |（x21）|dxC|（x21）dx|D（x21）dx+（x21）dx9某计算机网络有n个终端，每个终端在一天中使用的概率为p，则这个网络在一天中平均使

3、用的终端个数为（）Anp（1p）BnpCnDp（1p）10由a，b，c，d，e这5个字母排成一排，a，b都不与c相邻的排法个数为（）A36B32C28D2411若对可导函数f（x），恒有f（x）+xf（x）0，则f（x）（）A恒大于0B恒小于0C恒等于0D和0的大小关系不确定12如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（）ABCD二、填空题13已知x为实数，复数z=（x2+x2）+（x2+3x+2）i为纯虚数，则x=14用数学归纳法证明不等式+的过程中，由n=k推导n=k+1时，不等式的左

4、边增加的式子是15设随机变量x服从正态分布N（1，4），若P（xa+1）=P（x2a5），则a=16若不等式|mx3lnx|1对x（0，1恒成立，则实数m的取值范围是三、解答题17已知复数（1）求复数Z的模；（2）若复数Z是方程2x2+px+q=0的一个根，求实数p，q的值？18已知（+3x）n展开式各项系数和比它的二项式系数和大992（1）求展开式中含有x4的项；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中系数最大的项19已知，且（12x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn（）求n的值；（）求a1+a2+a3+an的值20甲、乙两人共同抛掷一枚硬币，规定硬币正面朝上甲得1

5、分，否则乙得1分，先积得3分者获胜，并结束游戏（I）求在前3次抛掷中甲得2分，乙得1分的概率；（II）若甲已经积得2分，乙已经积得1分，求甲最终获胜的概率；（III）用表示决出胜负抛硬币的次数，求的分布列及数学期望21已知函数f（x）=alnxbx2，a，bR（）若f（x）在x=1处与直线y=相切，求a，b的值；（）在（）的条件下，求f（x）在，e上的最大值；（）若不等式f（x）x对所有的b（，0，x（e，e2都成立，求a的取值范围22设函数f（x）=xlnx（x0）：（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设F（x）=ax2+f（x）（aR），F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在

6、，请说明理由；（3）当x0时，证明：exf（x）+12015-2016学年河南省新乡一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1若f（x0）=3，则（）A3B6C9D12【考点】极限及其运算【分析】先把等价转化为=4f（x0），从而导出其最终结果【解答】解： =4f（x0）=12故选D2函数，则此函数图象在点（1，f（1）处的切线的倾斜角为（）A0BCD【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导函数，然后求解x=1时的导函数值，通过直线的斜率，求出倾斜角的值即可【解答】解：因为函数的导函数为：，所以，所以函数图象在点（1，f（1）处的切线的斜率为1，所

7、以tan=1，=故选D3一位同学希望在暑假期间给他的4位好友每人发一条短信问候，为省下时间学习，他准备从手机草稿箱中直接选取已有短信内容发出已知他手机中草稿箱中只有3条适合的短信，则该同学共有不同的发短信的方法（）A34=12种B432=24种C43=64种D34=81种【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】本题是一个分步计数原理，首先给第一位同学发短信，有三种不同的方法，再给第二问同学发短信有3种结果，以此类推给每一位好友都有3种选择，根据分步计数原理得到结果【解答】解：由题意知本题是一个分步计数原理，首先给第一位同学发短信，有三种不同的方法，再给第二问同学发短信有3种结果，以此类推给每一

8、位好友都有3种选择，因此共有发短信的方法34=81种，故选：D4某机场候机室中一天的游客数量为X，某网站一天的点击数X，某水电站观察到一天中水位X，其中是离散型随机变量的是（）A中的XB中的XC中的XD中的X【考点】随机事件【分析】由已知条件利用离散型随机变量的定义直接求解【解答】解：在中，某机场候机室中一天的游客数量为X的取值不确定，且取值为整数，故中的X是离散型随机变量；在中，某网站一天的点击数X的取值不确定，且取值为整数，故中的X是离散型随机变量；在中，某水电站观察到一天中水位X的值是连续的，无法按一定次序一一列出，不符合定义，不是离散型随机变量；故的X不是离散型随机变量故选：A5已知随

9、机变量X的分布列如表，则E（6X+8）=（）X123P0.20.40.4A13.2B21.2C20.2D22.2【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】根据条件中所给的随机变量的分布列，可以写出变量的期望，对于E（6X+8）的结果，需要根据期望的公式E（ax+b）=aE（x）+b，代入前面做出的期望，得到结果【解答】解：由条件中所给的随机变量的分布列可知EX=10.2+20.4+30.4=0.2+0.8+1.2=2.2，E（6X+8）=6EX+8E（6X+8）=62.2+8=13.2+8=21.2故选B6一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，则这时另一个是女孩的概率是（）ABCD【考点

10、】条件概率与独立事件【分析】记事件A为“其中一个是女孩”，事件B为“另一个也是女孩”，分别求出A、B的结果个数，问题是求在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求P（B|A），由条件概率公式求解即可【解答】解：一个家庭中有两个小孩只有4种可能：男，男，男，女，女，男，女，女记事件A为“其中一个是女孩”，事件B为“另一个也是女孩”，则A=（男，女），（女，男），（女，女），B=（男，女），（女，男），（女，女），AB=（女，女）于是可知，问题是求在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求P（B|A），由条件概率公式，得P（B|A）=故选B7甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一

11、方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3：1的比分获胜的概率为（）ABCD【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率【分析】以甲3胜1败而结束比赛，甲只能在1、2、3次中失败1次，第4次胜，即可得出结论【解答】解：甲以3：1的比分获胜，甲只能在1、2、3次中失败1次，第4次胜，因此所求概率为：P=故选：A8由曲线y=x21，直线x=0，x=2和x轴围成的封闭图形的面积（如图）可表示为（）A（x21）dxB |（x21）|dxC|（x21）dx|D（x21）dx+（x21）dx【考点】定积分【分析】将函数y=x21的图象进行变换，得函数y=|x21|的图象根据全等图形的面积

12、相等，可得曲线y=x21，直线x=0，x=2和x轴围成的封闭图形的面积，恰好等于函数y=|x21|在0，2上的图象投影到x轴所成的面积，得到本题的答案【解答】解：将函数y=x21的图象位于x轴下方的部分对称到x轴的上方，而x轴上方的部分不变，得函数y=|x21|的图象可得曲线y=x21，直线x=0，x=2和x轴围成的封闭图形的面积，恰好等于函数y=|x21|在0，2上的图象投影到x轴所成的面积，如图中的阴影部分所求的阴影部分面积S=故选：B9某计算机网络有n个终端，每个终端在一天中使用的概率为p，则这个网络在一天中平均使用的终端个数为（）Anp（1p）BnpCnDp（1p）【考点】二项分布与n

13、次独立重复试验的模型【分析】每天平均使用的终端个数XB（n，p），即可求出每天平均使用的终端个数值【解答】解：每天平均使用的终端个数XB（n，p），每天平均使用的终端个数值即E（X）=np，故选：B10由a，b，c，d，e这5个字母排成一排，a，b都不与c相邻的排法个数为（）A36B32C28D24【考点】排列、组合的实际应用【分析】a，b都不与c可以分成两种情况，一是三个都不相邻，二是a，b相邻，但是不和c相邻，当三个都不相邻时，先排列d，e，再把三个元素插空，当a，b相邻，但是不和c相邻时，把a，b看成一个元素，插空排列，注意本身还有一个排列【解答】解：a，b都不与c可以分成两种情况，一是

14、三个都不相邻，二是a，b相邻，但是不和c相邻，当三个都不相邻时，先排列d，e，再把三个元素插空，有A22A33=12当a，b相邻，但是不和c相邻时，有A22A32A22=24，根据分类计数原理知，共有12+24=36种结果，故选A11若对可导函数f（x），恒有f（x）+xf（x）0，则f（x）（）A恒大于0B恒小于0C恒等于0D和0的大小关系不确定【考点】函数的单调性与导数的关系【分析】构造函数g（x）=xf（x），xR对x分类讨论，利用导数与函数单调性的关系，即可得出【解答】解：令g（x）=xf（x），xRg（x）=xf（x）+xf（x）=f（x）+xf（x）0，函数g（x）是R上的增函数，

15、又g（0）=0，x0时，g（x）g（0），即xf（x）0，f（x）0；x0时，g（x）g（0），即xf（x）0，f（x）0x=0时，也有f（0）0，否则与g（x）0矛盾综上可得：xR时，恒有f（x）0故选：A12如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（）ABCD【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，38个顶点处的8个小正方体涂有3面，每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有312=36个小正方体涂有2面，每个表面去掉四条棱上的16

16、个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有96=54个小正方体涂有一面，由以上可知：还剩下125（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，根据上面的分析即可得出其概率及X的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出【解答】解：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，38个顶点处的8个小正方体涂有3面，P（X=3）=；每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有312=36个小正方体涂有2面，P（X=2）=；每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有96=54个小正方体涂有一面，P（X=1）=由以上可知：还剩下125（8+36+54）=27个内

17、部的小正方体的6个面都没有涂油漆，P（X=0）= X0123P故X的分布列为因此E（X）=故选B二、填空题13已知x为实数，复数z=（x2+x2）+（x2+3x+2）i为纯虚数，则x=1【考点】复数的基本概念【分析】根据复数的概念进行求解即可【解答】解：z=（x2+x2）+（x2+3x+2）i为纯虚数，x2+x2=0且x2+3x+20，由得x=1或x=2，由得x1且x2，综上x=1，故答案为：114用数学归纳法证明不等式+的过程中，由n=k推导n=k+1时，不等式的左边增加的式子是+【考点】数学归纳法【分析】准确写出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果注意分母及

18、项数的变化【解答】解：当n=k时，左边的代数式为+，（共k项）当n=k+1时，左边的代数式为+（共k+1项）故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果， +即为不等式的左边增加的项故答案为： +15设随机变量x服从正态分布N（1，4），若P（xa+1）=P（x2a5），则a=2【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=1对称，得到两个概率相等的区间关于x=1对称，得到关于a的方程，解方程即可【解答】解：随机变量服从正态分布N（1，4），P（xa+1）=P（x2a5），2a5+a+1=2，3a=6，a=2，故答案为：216若

19、不等式|mx3lnx|1对x（0，1恒成立，则实数m的取值范围是e2，+）【考点】绝对值不等式的解法【分析】根据绝对值不等式的性质，结合不等式恒成立，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数以及函数的最值即可【解答】解：|mx3lnx|1对任意x（0，1都成立等价为mx3lnx1，或mx3lnx1，即m，记f（x）=，或m，记g（x）=，f（x）=，由f（x）=0，解得lnx=，即x=e，由f（x）0，解得0xe，此时函数单调递增，由f（x）0，解得xe，此时函数单调递减，即当x=e时，函数f（x）取得极大值，同时也是最大值f（e）=e2，此时me2，若m，当x=1时， =1，当m0时，不等式m

20、不恒成立，综上me2故答案为：e2，+）三、解答题17已知复数（1）求复数Z的模；（2）若复数Z是方程2x2+px+q=0的一个根，求实数p，q的值？【考点】复数代数形式的混合运算【分析】（1）先化简复数，再求复数Z的模；（2）若复数Z是方程2x2+px+q=0的一个根，6p+q+（2p8）i=0，利用复数相等的定义，得：，即可求实数p，q的值【解答】解：（1）（2）复数Z是方程2x2+px+q=0的一个根6p+q+（2p8）i=0由复数相等的定义，得：解得：p=4，q=1018已知（+3x）n展开式各项系数和比它的二项式系数和大992（1）求展开式中含有x4的项；（2）求展开式中二项式系数最

21、大的项；（3）求展开式中系数最大的项【考点】二项式定理的应用【分析】（1）先求出n，再利用通项公式求展开式中含有x4的项；（2）展开式共6项，二项式系数最大项为第三、四项，即可求展开式中二项式系数最大的项；（3）展开式中第k+1项系数最大，建立不等式组，即可求展开式中系数最大的项【解答】解：令x=1得展开式各项系数和为4n，二项式系数为，由题意得：4n2n=992，解得n=5（1）当，（2）n=5，展开式共6项，二项式系数最大项为第三、四项，.（3）展开式中第k+1项系数最大，kNk=4，=19已知，且（12x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn（）求n的值；（）求a1+a2+a3

22、+an的值【考点】二项式定理的应用【分析】（）根据题意，将按排列、组合公式展开化简可得（n5）（n6）=90，解可得：n=15或n=4，又由排列、组合数的定义，可得n的范围，即可得答案；（）由（）中求得n的值，可得（12x）15=a0+a1x+a2x2+a3x3+a15x15，令x=1可得a0+a1+a2+a3+a15=1，令令x=0得a0=1，两式相减可得答案【解答】解：（）根据题意，由得：n（n1）（n2）（n3）（n4）=56即（n5）（n6）=90解之得：n=15或n=4（舍去）n=15（）当n=15时，由已知有（12x）15=a0+a1x+a2x2+a3x3+a15x15，令x=1得

23、：a0+a1+a2+a3+a15=1，令x=0得：a0=1，a1+a2+a3+a15=220甲、乙两人共同抛掷一枚硬币，规定硬币正面朝上甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜，并结束游戏（I）求在前3次抛掷中甲得2分，乙得1分的概率；（II）若甲已经积得2分，乙已经积得1分，求甲最终获胜的概率；（III）用表示决出胜负抛硬币的次数，求的分布列及数学期望【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【分析】（I）记前3次抛掷中甲得，乙得为事件A，直接求解即可（II）记甲已经积得，乙已经积得，甲最终获胜为事件B，利用概率公式求解即可（III）据题意，的取值为3、4、5，求出概率，列

24、出分布列，然后求解期望【解答】解：（I）记前3次抛掷中甲得，乙得为事件A，则（II）记甲已经积得，乙已经积得，甲最终获胜为事件B，则（III）据题意，的取值为3、4、5，且，其分布列如下：345P21已知函数f（x）=alnxbx2，a，bR（）若f（x）在x=1处与直线y=相切，求a，b的值；（）在（）的条件下，求f（x）在，e上的最大值；（）若不等式f（x）x对所有的b（，0，x（e，e2都成立，求a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由题意可得f（1）=，f（1）=0，即可解得a，b的值；（）求出f（x）的导数，求得单调区间，即可

25、得到最大值；（）由题意可得alnxbx2x对所有的b（，0，x（e，e2都成立，即alnxxbx2对所有的b（，0，x（e，e2都成立，即alnxx0对x（e，e2恒成立，即对x（e，e2恒成立，求得右边函数的最大值即可【解答】解：（）由函数f（x）在x=1处与直线相切，得即解得；（）由（）得，定义域为（0，+）此时=令f（x）0，解得0x1，令f（x）0，得x1所以f（x）在（，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，所以f（x）在上的最大值为； （）若不等式f（x）x对所有的b（，0，x（e，e2都成立，即alnxbx2x对所有的b（，0，x（e，e2都成立，即alnxxbx2对所有的b（

26、，0，x（e，e2都成立，即alnxx0对x（e，e2恒成立 即对x（e，e2恒成立，即a大于或等于在区间（e，e2上的最大值令，则，当x（e，e2时，h（x）0，h（x）单调递增，所以，x（e，e2的最大值为即所以a的取值范围是22设函数f（x）=xlnx（x0）：（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设F（x）=ax2+f（x）（aR），F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（3）当x0时，证明：exf（x）+1【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（1）求导函数f（x），解不等式f（x）0得出增区间，解不等式f（x）0得出减区间；（2）

27、求F（x），讨论F（x）=0的解的情况及F（x）的单调性得出结论；（3）构造函数设g（x）=exlnx，x0，则即证g（x）2，只要证g（x）min2，利用导数判断函数的单调性，求得g（x）的最小值即得，不等式即可得证【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+）求导函数，可得f（x）=1+lnx令f（x）=1+lnx=0，可得x=0x时，f（x）0，x时，f（x）0函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+）单调递增，（2）F（x）=ax2+f（x）（x0），F（x）=2ax+=（x0）当a0时，F（x）0恒成立，F（x）在（0，+）上为增函数，F（x）在（0，+）上无极值当a0时，令F（x）=

28、0得x=或x=（舍）当0x时，F（x）0，当x时，F（x）0，F（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减，当x=时，F（x）取得极大值F（）=+ln，无极小值，综上：当a0时，F（x）无极值，当a0时，F（x）有极大值+ln，无极小值，（）证明：设g（x）=exlnx，x0，则即证g（x）2，只要证g（x）min2，g（x）=ex，设h（x）=ex，h（x）=ex+0恒成立，h（x）在（0，+）上单调递增，h（0.5）=21.720，h（1）=e10，方程h（x）=0有唯一的实根x=t，且t（0.5，1）当t（0.5，1）时，h（x）h（t）=0，当t（t，+）时，h（x）h（t）=0，当x=t时，g（x）min=etlnt，h（t）=0，即et=，则t=et，g（x）min=ln=et=+t2=2，exf（x）+12017年1月15日