（广西专用）2022年高考数学一轮复习 选修4—4 坐标系与参数方程课件 新人教A版（理）.pptx

1、选修4系列 选修44 坐标系与参数方程-3-知识梳理 双基自测 2341651.平面直角坐标系中的伸缩变换设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换:=,0,=,0的作用下,点 P(x,y)对应到点 P(x,y),称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.-4-知识梳理 双基自测 2341652.极坐标系与极坐标(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个 O,叫做极点,自极点O引一条 Ox,叫做极轴;再选定一个 单位,一个 单位(通常取 )及其正方向(通常取 方向),这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的 叫做点M的极径,记为 ;以极轴Ox

2、为始边,射线OM为终边的角 叫做点M的极角,记为 .有序数对 叫做点M的极坐标,记为 .定点射线 长度 角度 弧度 逆时针 距离|OM|xOM (,)M(,)-5-知识梳理 双基自测 2341653.极坐标与直角坐标的互化(1)设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(,),(2)把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差2的整数倍).一般取0,0,2).互化的前提条件 互化公式(1)极点与原点重合(2)极轴与 x 轴非负半轴重合(3)取相同的长度单位 x=,y=,2=x2+y2,=yx(0).-6-知识梳理 双基自测 2341654.直线的极坐标方程(1)若直线过点M(0,0)

3、,且与极轴所成的角为,则直线的方程为:sin(-)=.(2)几个特殊位置的直线的极坐标方程 直线过极点:=0和 ;直线过点M(a,0),且垂直于极轴:;直线过 M,2,且平行于极轴:.0sin(0-)=+0 cos=a sin=b -7-知识梳理 双基自测 2341655.圆的极坐标方程(1)若圆心为M(0,0),半径为r,则圆的方程为 .(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程 圆心位于极点,半径为r:=;圆心位于M(a,0),半径为a:=;圆心位于 M,2,半径为 a:=.2-20cos(-0)+-r2=0 r 2acos 2asin 02-8-知识梳理 双基自测 2341656.曲线的参数方程

4、(1)定义:在平面直角坐标系 xOy 中,如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数 t 的函数 =(),=(),并且对于 t 的每一个允许值,上式所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,那么称上式为该曲线的 ,其中变数 t 称为 .(2)一些常见曲线的参数方程过点 P0(x0,y0),且倾斜角为 的直线的参数方程为 =0+cos,=(t 为参数).t 的几何意义是直线上的点 P 到点 P0(x0,y0)的数量,即|t|=|0|,t 可正,可负.使用该式时直线上任意两点 P1,P2对应的参数分别为 t1,t2,则|P1P2|=|t1-t2|,P1P2的中点对应的参数为12(t1+t2).参数

5、方程参数y0+tsin -9-知识梳理 双基自测 234165圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2 的参数方程为 =,=(为参数).椭圆方程22+22=1(ab0)的参数方程为 =,=(为参数).抛物线方程 y2=2px(p0)的参数方程为 =,=(t 为参数).a+rcos b+rsin acos bsin 2pt2 2pt 2-10-知识梳理 双基自测 34151.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)在伸缩变换下,直线仍然变成直线,圆仍然变成圆.()(2)若点 P 在曲线 C 上,则点 P 的极坐标一定满足曲线 C 的极坐标方程.()(3)如果点 P 的直角坐标为(-2,2),那

6、么它的极坐标可表示为 2,34 .()(4)参数方程 =-1-,=2+(t 为参数)所表示的图形是直线.()(5)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点 O 的圆的极坐标方程为=2asin.()-11-知识梳理 双基自测 234152.若原点与极点重合,x 轴正半轴与极轴重合,则点(-5,-53)的极坐标是()A.10,3 B.10,43 C.-10,-23 D.10,23 答案 解析 解析 关闭设点(-5,-53)的极坐标为(,),则 tan=-53-5=3.因为 x0)与圆=2cos 相切,则a=.答案 解析 解析 关闭由题意,可得直线的直角坐标方程为 x+y=a(a0),圆的直角坐标方程

7、为 x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,圆心 C(1,0),半径 r=1.直线与圆相切,d=|1-|12+12=1,|a-1|=2.又 a0,a=2+1.答案 解析 关闭2+1-14-知识梳理 双基自测 234155.已知圆 x2+y2-2x=0 的圆心为 C,直线 =-1+22,=3-22(t 为参数)与该圆相交于 A,B 两点,则ABC 的面积为 .答案 解析 解析 关闭由圆 C 的方程为 x2+y2-2x=0,可得圆心为 C(1,0),半径为 1.由 =-1+22,=3-22(t 为参数),可得直线的普通方程为 x+y-2=0.所以圆心 C(1,0)到直线 x+y-2=0 的距离

8、 d=|1+0-2|1+1=22.所以|AB|=2 1-22 2=2.所以 SABC=12|AB|d=12 2 22=12.答案 解析 关闭12 -15-考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点 1 直角坐标方程和极坐标方程的互化(多考向)考向一 直角坐标方程化为极坐标方程 例1以直角坐标系原点O为极点,x轴正方向为极轴建立极坐标系,已知曲线C1的方程为(x-1)2+y2=1,C2的方程为x+y=3,C3是一条经过原点且斜率大于零的直线.(1)求C1与C2的极坐标方程;(2)若C1与C3的一个公共点为A(异于点O),C2与C3的一个公共点为 B,求|OA|-3|的取值范围.-16-考点1

9、考点2 考点3 考点4 考点5 解:(1)曲线C1的方程为(x-1)2+y2=1,C1的极坐标方程为=2cos.C2 的方程为 x+y=3,其极坐标方程为=3cos+sin.(2)C3 是一条过原点且斜率为正值的直线,C3 的极坐标方程为=,0,2,联立 C1 与 C3 的极坐标方程 =2cos,=,得=2cos,即|OA|=2cos.联立 C1 与 C2 的极坐标方程 =3cos+sin ,=,得=3cos+sin,即|OB|=3cos+sin,-17-考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 所以|OA|-3|=2cos-cos-sin=2cos +4.又因为 0,2,所以|OA|-3|(-

10、1,1).-18-考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考向二 极坐标方程化为直角坐标方程 例2在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为以极点O为直角坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)设曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,P是曲线C上一点,求ABP面积的最大值.思考如何把极坐标方程化为直角坐标方程?2=1449+7sin2,-19-考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 解(1)因为曲线 C 的极坐标方程为 2=1449+7sin2,所以 92+72sin2=144.由 2=x2+y2,y=sin,可得曲线 C 的直角坐标方程为 9x2+9

11、y2+7y2=144,即曲线 C 的直角坐标方程为216+29=1.-20-考点1 考点2 考点3 考点4 考点5(2)因为曲线 C 与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于点 A,B,所以 A(4,0),B(0,3).所以直线 AB 的方程为 3x+4y-12=0.设 P(4cos,3sin),则 P 到直线 AB 的距离为 d=|12cos+12sin-12|5=122sin +4-12 5.当=54 时,dmax=122+125.故ABP 面积的最大值为12|AB|122+125=6(2+1).-21-考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 解题心得1.直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x

12、=cos 及y=sin 直接代入化简即可.2.极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形,构造形如cos,sin,2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.对点训练1(1)在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x-3)2+y2=9,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的圆心的极坐标为,半径为1.求圆C1的极坐标方程;设圆C1与圆C2交于A,B两点,求|AB|.sin-4=22,2,4 -22-考点1 考点2 考点3 考点4 考点5(2)在极坐标系下,已知圆O:=cos+sin 和直线l:以极点为直角坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角

13、坐标系.求圆O和直线l的直角坐标方程;当(0,)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.-23-考点1 考点2 考点3 考点4 考点5(1)解 圆 C1:(x-3)2+y2=9,展开可得 x2+y2-6x=0,可得极坐标方程为 2-6cos=0,化为=6cos.圆 C2 的圆心的极坐标为 2,4,化为直角坐标为(1,1),可得圆 C2 的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=1.由圆 C1 与圆 C2 的方程相减可得公共弦所在的直线方程为4x-2y+1=0.圆心(1,1)到直线 4x-2y+1=0 的距离 d=|4-2+1|42+(-2)2=320,故弦长|AB|=2 1-320 2=555

14、.-24-考点1 考点2 考点3 考点4 考点5(2)解 圆 O:=cos+sin,即 2=cos+sin,则圆 O 的直角坐标方程为 x2+y2=x+y,即 x2+y2-x-y=0.直线 l:sin-4=22,即 sin-cos=1,则直线 l 的直角坐标方程为 y-x=1,即 x-y+1=0.由 2+2-=0,-+1=0,得 =0,=1,故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为 1,2.-25-考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点 2 参数方程与普通方程的互化 例 3(2020 广西北海一模)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C1 的参数方程为 =-2+cos,=-2+sin(为

15、参数,a 是大于 0 的常数).以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,圆 C2 的极坐标方程为=22sin 34 .(1)求圆 C1 的极坐标方程和圆 C2 的直角坐标方程;(2)分别记直线 l:=12,R 与圆 C1、圆 C2 的异于原点的交点为 A,B,若圆 C1 与圆 C2 外切,试求实数 a 的值及线段 AB 的长.思考参数方程与普通方程的互化的基本方法是什么?-26-考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 解:(1)圆 C1 的参数方程为 =-2+cos,=-2+sin(为参数,a0),由同角的平方关系可得(x+2)2+(y+2)2=a2,由 x=c

16、os,y=sin,x2+y2=2,可得 2+4cos+4sin+8-a2=0.圆 C2 的极坐标方程为=22sin 34 ,即为=22 22 cos +22 sin =2cos+2sin,即 2=2cos+2sin,将x=cos,y=sin,x2+y2=2 代入上式,得(x-1)2+(y-1)2=2.-27-考点1 考点2 考点3 考点4 考点5(2)圆 C1 的圆心 C1(-2,-2),半径 r1=a,圆 C2 的圆心 C2(1,1),半径r2=2.若圆 C1 与圆 C2 外切,则|C1C2|=r1+r2,可得 32=a+2,即a=22,可得圆 C1 的极坐标方程为 2+4cos+4sin=

17、0,即=-4(cos+sin)=-42sin +4,联立 l:=12和=-42sin +4,可得 1=-42sin 12+4=-42 32=-26;联立 l:=12和=22sin +4,可得 2=22sin 12+4=22 32=6,则|AB|=|6-(-26)|=36.-28-考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 解题心得1.参数方程化为普通方程的基本方法就是消参法,常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等.对于与角有关的参数方程,经常用到公式sin2+cos2=1;在将曲线的参数方程化为普通方程时,还要注意其中的x,y的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数

18、方程的等价性.2.将普通方程化为参数方程时,只要适当选取参数t,确定x=f(t),再代入普通方程,求得y=g(t),即可化为参数方程注意参数t的意义和取值范围.直线、圆、圆锥曲线的普通方程有其较为固定的参数方程,只需套用公式即可.=(),=(),-29-考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 =1+,=对点训练2在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (其中t为参数).在以原点O为极点,以x轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为=4sin.(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程;(2)设M是曲线C上的一动点,OM的中点为P,求点P到直线l的距离的最小值.-30-考点1 考点2

19、 考点3 考点4 考点5 解：(1)由 =1+,=得 l 的普通方程为 x-y-1=0.又由=4sin,得2=4sin,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4.(2)设P(x,y),M(x0,y0),则02+(y0-2)2=4.因为P是OM的中点,所以x0=2x,y0=2y,所以(2x)2+(2y-2)2=4,得点P的轨迹方程为x2+(y-1)2=1,轨迹为以(0,1)的圆心,1为半径的圆.圆心(0,1)到直线l的距离 d=|0-1-1|2=2.所以点 P 到直线 l 的距离的最小值为2-1.-31-考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点 3 极坐标方程

20、的应用 例4在极坐标系中,O为极点,点M(0,0)(00)在曲线C:=4sin 上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.(1)当 0=3时,求 0 及 l 的极坐标方程;(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.思考在极坐标系中,如何求两点之间的距离?-32-考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 解:(1)因为 M(0,0)在 C 上,当 0=3时,0=4sin3=23.由已知得|OP|=|OA|cos3=2.设 Q(,)为 l 上除 P 的任意一点.在 RtOPQ 中,cos-3=|OP|=2.经检验,点 P 2,3 在曲线 cos-3=2 上.所以,l 的

21、极坐标方程为 cos-3=2.-33-考点1 考点2 考点3 考点4 考点5(2)设P(,),在RtOAP中,|OP|=|OA|cos=4cos,即=4cos.因为P在线段OM上,且APOM,故 的取值范围是4,2.所以,P 点轨迹的极坐标方程为=4cos,4,2.-34-考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 解题心得1.在极坐标系中求两点间的距离,可以结合极坐标系刻画点的位置、图形中点的对称等均可求得两点间的距离;也可以利用点的极坐标与直角坐标的互化公式,将点的极坐标转化为直角坐标,然后利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求A,B两点间的距离.2.在极坐标系中,经过极点的直线上两点A(1,

22、),B(2,)的距离|AB|=|2-1|.-35-考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 对点训练3在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点 A 的极坐标为 2,3,点 B 在曲线 C2 上,求OAB 面积的最大值.-36-考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 解:(1)设P的极坐标为(,)(0),M的极坐标为(1,)(10).由题设知|OP|=,|OM|=1=4cos.由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程

23、=4cos(0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0).(2)设点B的极坐标为(B,)(B0).由题设知|OA|=2,B=4cos,于是OAB面积 S=12|OA|BsinAOB=4cos sin -3 =2 sin 2-3-32 2+3.当=-12时,S 取得最大值 2+3.所以OAB 面积的最大值为 2+3.-37-考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点 4 参数方程的应用 例5(2020全国,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数,且t1),C与坐标轴交于A,B两点.(1)求|AB|;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线

24、AB的极坐标方程.思考如何利用直线的参数方程求直线与曲线相交的弦长?=2-2,=2-3+2-38-考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 解:(1)因为t1,由2-t-t2=0,得t=-2,所以C与y轴的交点为(0,12);由2-3t+t2=0,得t=2,所以C与x轴的交点为(-4,0).故|AB|=410.(2)由(1)可知,直线 AB 的直角坐标方程为-4+12=1,将 x=cos,y=sin 代入,得直线 AB 的极坐标方程 3cos-sin+12=0.解题心得求直线与圆锥曲线相交所得的弦长,可以利用直线参数方程中t的几何意义,即弦长=|t1-t2|.-39-考点1 考点2 考点3 考点

25、4 考点5 对点训练 4(2020 广西桂林二模)在平面直角坐标系 xOy 中,圆C 的参数方程为 =1+cos,=sin(为参数),现以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆 C 的极坐标方程;(2)设 P,Q 是圆 C 上的两个动点,且POQ=3,求|OP|+|OQ|的最大值.-40-考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 解:(1)圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0,化为极坐标方程为2-2cos=0,即=2cos.综上所述,圆C的极坐标方程为=2cos.-41-考点1 考点2 考点3 考点4 考点5(2)由题意,点 P,Q 是圆 C

26、 上的两个动点,且POQ=3,不妨设两点的极坐标分别是 P(1,),Q 2,+3,则|OP|=1=2cos,|OQ|=2=2cos +3,则|OP|+|OQ|=2cos+2cos +3=3cos-3sin=23cos +6.因为-2 2,-2 +3 2,所以-26,所以当=-6时,|OP|+|OQ|取得最大值 23.-42-考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点 5 极坐标方程与参数方程的综合问题 例6在平面直角坐标系中,已知点A(10,0),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线M的参数方程为(0,为参数),曲线N的极坐标方程为(1-cos)=2.(1)求曲线M的极坐

27、标方程;(2)设曲线M与曲线N的交点为P,Q,求|OP|+|OQ|的值.思考求解参数方程与极坐标方程综合问题的一般思路是什么?=5+5cos,=5sin-43-考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 解:(1)因为曲线 M 的参数方程为 =5+5cos,=5sin(0,为参数),所以曲线 M 是以(5,0)为圆心,5 为半径的圆的上半部分.所以曲线 M 的极坐标方程为=10cos 0,2 .(2)设 P(1,1),Q(2,2).由(1-cos)=2,=10cos得 2-10+20=0.所以 1+2=10.所以|OP|+|OQ|的值是 10.解题心得求解极坐标方程与参数方程综合问题的一般思路:分

28、别化为普通方程和直角坐标方程后求解.转化后可使问题变得更加直观,它体现了化归思想的具体运用.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程.-44-考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 对点训练5在平面直角坐标系中,将曲线C1向左平移2个单位,再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的,得到曲线C2,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,C1的极坐标方程为=4cos.(1)求曲线C2的参数方程;(2)已知点M在第一象限,四边形MNPQ是曲线C2的内接矩形,求内接矩形MNPQ周长的最大值,并求周长最大时点M的坐标.12-45-考点1 考点2 考点3 考点4 考

29、点5 解:(1)由=4cos,得 2=4cos,将 2=2+2,cos=代入,整理得曲线 C1 的普通方程为(x-2)2+y2=4,设曲线 C1 上的点为(x,y),变换后的点为(x,y),由题可知坐标变换为 =-2,=12,即 =+2,=2,代入曲线 C1 的普通方程,整理得曲线 C2 的普通方程为24+y2=1,曲线 C2 的参数方程为 =2cos,=sin(为参数).-46-考点1 考点2 考点3 考点4 考点5(2)设四边形MNPQ的周长为l,设点 M(2cos,sin)0 2,l=8cos+4sin=4525cos+15sin =45sin(+),且 cos=15,sin=25,02,+2+,sin 2+sin(+)1,lmax=45.且当+=2时,l 取最大值,2cos=2sin=45,sin=cos=15,此时 M 455,55 .综上所述,矩形 MNPQ 周长的最大值为 45,此时点 M 455,55 .