（新教材）2020-2021学年高中数学人教B版必修第二册课件：5-1-2　数据的数字特征 .pptx

1、5.1.2 数据的数字特征 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 课标阐释 思维脉络 1.会求样本的最值、平均数、中位数、百分位数及众数.(数学抽象)2.会求样本的极差、方差与标准差.(数学运算)3.通过应用相关知识解决实际统计问题,培养数学建模能力.(逻辑推理)课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 藏宝图只能够标出宝藏所在的具体位置及路线图,但真正探索宝藏的秘密还有很多工作要做,统计图表能够把所有的信息都表述出来吗?还有哪些关键性的特征是我们迫切需要的呢?杂乱无章的数据仅用统计图表来分析显然是不全面的,不同的数字特征往往具有不同的意义和作用,本节介绍数据的数字特征,根据不同问题的需要

2、选择适当的数字特征来表达数据的信息.课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 知识点一、最值 一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值,最值反映的是这组数最极端的情况.一般地,最大值用max表示,最小值用min表示.课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 微练习 奥运会体操比赛的计分规则为:当评委亮分后,其成绩先去掉一个最高分,去掉一个最低分,再计算剩下分数的平均值,这是因为()A.减少计算量 B.避免故障 C.剔除异常值D.活跃赛场气氛 解析:因为在体操比赛的评分中使用的是平均分,记分过程中采用“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的方法,就是为了防止个别裁判的人为因素给出

3、过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响,从而降低误差,尽量公平.答案:C 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 知识点二、平均数 1.如果给定的一组数是x1,x2,xn,则这组数的平均数为 x=1n(x1+x2+xn).这一公式可以简记为x=1n i=1nxi.2.求和符号具有如下性质:(1)i=1n(xi+yi)=i=1nxi+i=1nyi;(2)i=1n(kxi)=k i=1nxi;(3)i=1nt=nt.3.如果 x1,x2,xn的平均数为x,且 a,b 为常数,则ax1+b,ax2+b,axn+b 的平均数为 ax+b.课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点

4、拨 名师点析平均数的特征 平均数对数据有“取齐”的作用,代表该组数据的平均水平,任何一个数据的改变都会引起平均数的变化,尤其是一组数据中的最大值和最小值.课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 微练习 一组数据x1,x2,xn的平均数为3,则2x1,2x2,2xn的平均数为()A.3 B.6 C.5D.2 解析:由题得x1+x2+xn=3n,所以2x1,2x2,2xn的平均值为 2x1+2x2+2xnn=2(x1+x2+xn)n=23nn=6.答案:B 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 知识点三、中位数、百分位数 1.中位数:一般地,有时也可以借助中位数来表示一组

5、数的中心位置.如果一组数有奇数个数,且按照从小到大排列后为x1,x2,x2n+1,则称xn+1为这组数的中位数;如果一组数有偶数个数,且按照从小到大排列后为x1,x2,x2n,则称为这组数的中位数.2.百分位数:一般地,当数据个数较多时,可以借助多个百分位数来了解数据的分布特点.一组数的p%(p(0,100)分位数指的是满足下列条件的一个数值:至少有p%的数据不大于该值,且至少有(100-p)%的数据不小于该值.直观来说,一组数的p%分位数指的是,将这组数按照从小到大的顺序排列后,处于p%位置的数.xn+xn+12 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 名师点析(1)中位数就是一

6、个50%分位数.(2)按照定义可知,p%分位数可能不唯一,也正因为如此,各种统计软件所得出的p%分位数可能会有差异.(3)实际应用中,除了中位数外,经常使用的是25%分位数(简称为第一四分位数)与75%分位数(简称为第三四分位数).课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 微思考 如何确定p%分位数?提示:p%分位数的确定方法:设一组数据按照从小到大排列后为x1,x2,xn,计算i=np%的值,如果i不是整数,设i0为大于i的最小整数,取为p%分位数;如果i是整数,取为p%分位数.特别地,规定:0分位数是x1(即最小值),100%分位数是xn(即最大值).xi+xi+12 xi0 课

7、前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 微练习 某班8名学生的体重(单位:kg)分别是:42,48,40,47,43,58,47,45,则这组数据的最大值是 ,中位数是 ,25%分位数是 .解析:将所给数据按从小到大的顺序排列是 40,42,43,45,47,47,48,58.这组数据的最大值是 58.因为这组数据共 8 个,处于中间位置的是第4 个数和第 5 个数,故这组数据的中位数是45+472=46.因为 825%=2,所以这组数据的 25%分位数是42+432=42.5.答案:58 46 42.5 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 知识点四、众数 一组数据中

8、,某个数据出现的次数称为这个数据的频数,出现次数最多的数据称为这组数据的众数.微练习 一组数据8,-1,0,4,4,3的众数是 .答案:4 17 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 知识点五、极差、方差与标准差 1.极差:一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差.2.方差:如果x1,x2,x3,xn的平均数为x,则方差可用求和符号表示为 s2=1n i=1n(xi-x)2.3.标准差:方差的算术平方根称为标准差.4.方差的性质:如果a,b是常数,则ax1+b,ax2+b,axn+b的方差为a2s2.课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 名师点析应用标准差

9、及方差的注意点(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小.(2)标准差、方差的取值范围为0,+).标准差、方差为0时,样本各数据都相等,表明数据没有波动幅度,数据没有离散性.(3)因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的,但在解决实际问题时,一般采用标准差.课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 微练习 某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则:(1)命中环数的平均数为 ;

10、(2)命中环数的标准差为 .解析:(1)x=7+8+7+9+5+4+9+10+7+410=7.(2)s2=110(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2=4,s=2.答案:(1)7(2)2 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 当堂检测 求最值、平均数、众数 例1某公司员工的月工资情况如表所示:月工资/元 8 000 5 000 4 000 2 000 1 000 800 700 员工/人 1 2 5 8 20 12 2(1)该公司员工月工资的最值、平均数和众数分别是多少?(2

11、)你认为用员工月工资的最值、平均数和众数中的哪个数来代表该公司员工的月工资更合理?分析:(1)依据最值、众数的定义及平均数的计算公式求值.(2)根据第(1)问的计算结果和实际意义作答.课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 当堂检测 解:(1)该公司员工月工资的最大值为8 000元,最小值为700元,众数为1 000元.平均数为(8 0001+5 0002+4 0005+2 0008+1 00020+80012+7002)=1 700(元),(2)用众数,因为最大值为8 000元且只有一个,无法代表该公司员工的月工资,平均数受到最大值的影响,也无法代表该公司员工的月工资,每月拿

12、1 000元的员工最多,众数代表该公司员工的月工资最合理.150 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 当堂检测 反思感悟1.最值和众数的求法 在样本数据中出现次数最多的数据即为众数,最大的数是最大值,最小的数是最小值.2.求平均数的步骤(1)求和:数据x1,x2,xn的和为x1+x2+xn.(2)求平均数:和除以数据的个数n,即x1,x2,xn的平均数为 1(x1+x2+xn).课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 当堂检测 变式训练1某校在一次考试中,甲、乙两班学生的数学成绩(均为整数)统计如下:分数 50 60 70 80 90 100 人数 甲班 1

13、 6 12 11 15 5 乙班 3 5 15 3 13 11 请用平均数与众数评估这两个班的数学成绩.课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 当堂检测 解:甲班数学成绩的平均数为 (501+606+7012+8011+9015+1005)=79.6(分),乙班数学成绩的平均数为 (503+605+7015+803+9013+10011)=80.2(分),从平均数看成绩较好的是乙班;甲班众数为90分,乙班众数为70分,从众数看成绩较好的是甲班.150 150 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 当堂检测 求中位数、百分位数 例2已知一组数据8,6,4,7,1

14、1,6,8,9,10,5,则该组数据的中位数是 .分析:排序并数出数据总数,依据中位数的定义计算.解析:已知数据从小到大排列为:4,5,6,6,7,8,8,9,10,11,共10个数,所以中位数是=7.5.7+82 答案:7.5 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 当堂检测 反思感悟1.求中位数的一般步骤(1)把数据按从小到大的顺序排列.(2)找出排列后位于中间位置的数据,即为中位数.若中间位置有两个数据,则求出这两个数据的平均数作为中位数.2.求百分位数的一般步骤(1)排序:按照从小到大的顺序排列:x1,x2,xn.(2)计算:求i=np%的值.(3)求值:分类 p%分位

15、数 i 不是整数 xi0,其中 i0 为大于 i 的最小整数 i 是整数 xi+xi+12 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 当堂检测 延伸探究某篮球运动员在12场比赛中的得分情况如下:甲运动员得分:15,12,20,31,25,36,31,36,44,39,37,49.求该运动员得分的25%分位数,75%分位数和90%分位数.解:将该组数据按从小到大的顺序排列,为12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49.因为1225%=3,1275%=9,1290%=10.8,所以,该运动员得分的25%分位数为 3+42=20+252=22.5,该运动员得

16、分的 75%分位数为9+102=37+392=38,该运动员得分的90%分位数为 x11=44.课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 当堂检测 极差、方差与标准差的计算和应用 例 3(1)设 n 个数据 x1,x2,xn 的平均数为,则其方差s2=1(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2.若数据 a1,a2,a3,a4 的方差为 3,则数据 2a1+1,2a2+1,2a3+1,2a4+1 的方差是()A.6B.8C.10D.12 (2)甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位:吨/公顷).第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1

17、 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 则甲、乙两种水稻产量的极差分别为 、.(3)(2019江苏高考)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是 .课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 当堂检测 分析:(1)若变量x的方差为s2,变量y满足y=ax+b.则变量y的方差为a2s2;(2)依据极差的定义求值;(3)首先求得平均数,然后求解方差即可.解析:(1)因为数据a1,a2,a3,a4的方差s2=3,所以数据2a1+1,2a2+1,2a3+1,2a4+1的方差是22s2=223=12.(2)甲种水稻产量的极差为10.2-9.8=0.4

18、.乙种水稻产量的极差为10.8-9.4=1.4.(3)该组数据的平均数为6+7+8+8+9+106=8,所以该组数据的方差是16(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2=53.答案:(1)D(2)0.4 1.4(3)53课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 当堂检测 延伸探究在本例(3)的数据中增加一个数“8”,方差是多少?与原数据的方差相比有什么变化?解:由题意,该组数据的平均数为6+7+8+8+9+10+87=8,所以该组数据的方差是17(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2+(8-

19、8)2=107 甲2,即在平均数相同的情况下,甲的波动性小,成绩更稳定,所以甲的成绩更好.反思感悟标准差(方差)的两个作用(1)判断数据的离散程度.标准差(方差)较大,说明数据的离散程度较大;标准差(方差)较小,说明数据的离散程度较小.(2)在实际应用中,常常把平均数与方差或标准差结合起来进行决策.在平均值相等的情况下,比较方差或标准差来确定稳定性.课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 当堂检测 变式训练2某校高二年级在一次数学竞赛选拔赛中,由于甲、乙两人的成绩相同,从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选,这六次测试的成绩数据如下:甲 127 138 130

20、 137 135 131 乙 133 129 138 134 128 136 求两人比赛成绩的平均数以及方差,并且分析成绩的稳定性,从中选出一位参加数学竞赛.课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 当堂检测 解:设甲、乙两人成绩的平均数分别为甲,乙,则甲=130+16(-3+8+0+7+5+1)=133,乙=130+16(3-1+8+4-2+6)=133,甲2=16(-6)2+52+(-3)2+42+22+(-2)2=473,乙2=1602+(-4)2+52+12+(-5)2+32=383.因此,甲与乙的成绩的平均数相同,由于乙的成绩的方差较小,所以乙的成绩比甲的成绩稳定,应该

21、选乙参加竞赛比较合适.课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 当堂检测 1.有一批种子,对于一颗种子来说,它发芽的天数是不确定的.从中抽取98颗种子,下表是不同发芽天数的种子数的记录:发芽天数 1 2 3 4 5 6 7 种子数 8 26 22 24 12 4 2 统计每颗种子发芽天数得到一组数据,估计这批种子发芽天数的中位数是()A.2B.3C.3.5D.4 解析:将这98颗种子发芽天数从左到右按照从小到大的顺序排成一列,可得种子的发芽天数的正中间两颗的数据都是3,所以中位数为 3+32=3,故选 B.答案:B 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 当堂检测

22、 2.已知某 7 个数的平均数为 3,方差为 s2,现又加入一个新数据 3,此时这 8 个数的平均数为,方差为72,则()A.=3,s2=2B.=3,s2=4C.=3,s2=28D.=3,s2=72解析:由题意知=73+38=3,由方差公式得72=187s2+(3-3)2,所以 s2=72817=4.故选 B.答案:B 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 当堂检测 3.数据x1,x2,x7的平均数为7,标准差为3,则数据3x1-2,3x2-2,3x7-2的方差和平均数分别为 、.解析:根据方差和平均数的性质可得3x1-2,3x2-2,3x7-2的方差为3232=81,平均数为37-2=19.答案:81 19 4.一组数据的方差是4,将这组数据中的每个数据都乘5,所得到的新数据的方差是 .解析:新数据的方差为524=100.答案:100