（新教材）2020-2021学年高中苏教版数学必修2课件：9-2-2 向量的数乘 .ppt

1、9.2.2 向量的数乘 必备知识自主学习 1.向量的数乘运算(1)定义 导思1.向量的数乘运算的定义是什么?2.向量的数乘运算的运算律有哪些?3.两个向量共线的充要条件是什么?文字 表述一般地,我们规定实数 与向量a的积是一个_,这种运 算叫作向量的数乘,记作_.规定长度|a|=_方向当 0时,a的方向与a的方向_;当 1把向量a沿着向量a的相同方向放大0 1把向量a沿着向量a的相同方向缩小-1 0把向量a沿着向量a的相反方向缩小-1把向量a沿着向量a的相反方向放大向量 a|a|相同 相反 0(2)应用:与向量的加减法综合运算;用其几何意义研究向量共线问题.2.向量数乘的运算律 设,为实数,则

2、(1)(a)=_;(2)(+)a=_;(3)(a+b)=_.特别地,我们有(-)a=-(a)=(-a),(a-b)=a-b.a a+a a+b3.向量的线性运算(1)定义:向量的_、_、_统称为向量的线性运算.(2)运算结果:向量线性运算的结果仍是_.(3)运算律:对于任意向量a,b,以及任意实数,1,2,恒有 =_.12()ab加法 减法 数乘 向量 1a 2b4.向量共线定理(1)条件:a为非零向量;(2)如果有一个实数,使b=a,那么b与a是共线向量;(3)如果b与a是共线向量,那么有且只有一个实数,使b=a.【思考】(1)两个向量共线的充要条件中的“a0”是否可以去掉?提示:不能,定理

3、中之所以限定a0是由于若a=b=0,存在,但不唯一,若a=0,b0,则不存在.(2)与非零向量a共线的单位向量怎样表示?提示:由于单位向量的长度总等于1,所以与非零向量a共线的单位向量应为 .|aa(3)如果条件是向量b是非零向量,应如何表示呢?提示:只需将b=a改为a=b.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)实数与向量也可以加减,如+a,a-.()(2)若 a=0,则a=0(R).()(3)向量-8a的模是向量4a的模的2倍.()(4)若ma=mb(mR),则a=b.()2.(多选题)下列各式计算正确的有()A.6a=-42aB.7 -8b=7a+15bC.a-2b+a+

4、2b=2aD.4 =8a+4b【解析】选ACD.进行线性运算,分别进行验算.7 -8b=7a+7b-8b=7a-b.(7)()ab(2)ab()ab3.(教材二次开发:练习改编)把下列各小题中的向量b表示为实数与向量a的积:(1)a=-6e,b=8e可表示为_;(2)a=-e,b=-e可表示为_.3523关键能力合作学习 类型一 向量的线性运算(数学运算)【题组训练】1.(2020石嘴山高一检测)(2a+8b)-(4a-2b)等于()A.-3a-6b B.6b-3aC.2b-3a D.3a-2b122.已知向量x,y满足3x-2y=a,-4x+3y=b,则x=_,y=_.(用a,b表示)3.如

5、图,已知向量a与b,求作向量3a-b.123.作向量 =3a,=b,则 即为所求向量,如图:OAOB12BA【解题策略】向量线性运算的方法(1)几何意义法 依据向量加法、减法和数乘运算的几何意义,直接作图.(2)类比法 向量的线性运算类似于整式的运算,例如:去括号、移项、合并同类项、提取公 因式等变形手段同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”是指向量,实数看 作是向量的“系数”.(3)方程法 向量也可以通过列方程来求解,把所求向量当作未知数,利用解方程的方法求解,同时在运算过程中多注意观察,恰当地运用运算律,简化运算.【补偿训练】已知向量a,b,x,且(x-a)-(b-x)=x-(a+b),

6、则x=_.【解析】因为(x-a)-(b-x)=x-(a+b),所以2x-a-b=x-a-b,即x=0.答案:0类型二 用已知向量表示未知向量(逻辑推理、数学运算)【典例】已知在ABCD中,M,N分别是DC,BC的中点.若 试用e1,e2表示 12AMAN，eeDB AO.，四步内容理解 题意条件:结论:表示思路 探求由 及 为MAN的中线可求解.12AMAN.，eeDB AO.，DB2MNAO四步内容书写 表达因为M,N分别是DC,BC的中点,所以 .因为 所以 又因为AO是AMN的中线,所以 注意书写的规范性:向量书写正确;最终结果尽量按先e1后e2的顺序.题后 反思用已知向量表示未知向量,

7、是向量加减法与数乘运算的综合应用1MN BD221MN AN AM ，ee12DB 2MN22.ee12111AO(AN AM).222ee【解题策略】用已知向量表示相关向量(1)直接法(2)方程法 当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程.【跟踪训练】如图所示,四边形OADB是以向量 为邻边的平行四边形.又 试用a,b表示 OAOB，ab11BMBC CNCD33，OM ON MN.，【补偿训练】设M,N,P是ABC三边上的点,它们使 若 试用a,b将 表示出来.111BMBC,CNCA,APAB,333AB,

8、AC,abMN PM，【拓展延伸】两个结论 1.在ABC中,若D是线段BC的中点,则 2.若O是ABC重心,则 1ADABAC.2（）OAOBOC.0【拓展训练】已知在ABC中,点M满足 若存在实数m使得 成立,则m=_.MAMBMC，0ABACmAM类型三 向量共线的应用(逻辑推理、数学运算)角度1 判断向量共线或三点共线 【典例】已知非零向量e1,e2不共线.(1)若a=e1-e2,b=3e1-2e2,判断向量a,b是否共线;(2)若 求证:A,B,D三点共线.1213121212ABBC28CD3()，eeeeee【思路导引】(1)利用向量共线定理判定向量共线;(2)先判断 与 共线,进

9、而证明A,B,D三点共线.ABBD【变式探究】把本例(1)的条件改为“a=3e1+4e2,b=6e1-8e2”,判断a与b是否共线?【解析】若a与b共线,则存在R,使a=b,即3e1+4e2=(6e1-8e2),所以(6-3)e1=(4+8)e2.因为e1与e2不共线,所以 所以不存在,所以a与b不共线.630480 ，角度2 运用向量共线求参数 【典例】若a,b是两个不共线的非零向量,a与b起点相同,则当t为何值时,a,tb,(a+b)三向量的终点在同一条直线上.【思路导引】根据已知的三个向量的终点在同一条直线上建立a,b的关系,然后 根据a,b不共线列方程求t.13【解题策略】1.判断向量

10、共线或三点共线的方法(1)判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一实数,使得 a=b(b0).(2)一般来说,要判断A,B,C三点共线,只需看是否存在实数,使得 (或 =等)即可.ABAC BCAB2.利用向量共线求参数的基本步骤(1)根据向量共线的充要条件建立共线向量之间的等量关系(通常要引入一个参 数).(2)依据下述结论列方程组求参数.结论:如果 b=a,且a与b不共线,则实数 和 都是0.理由:若,是两个不同时为零的实数.不妨设 0,则b=a.由两个向量共 线的充要条件知,a与b共线,与已知矛盾.所以实数 和 都是0.【题组训练】1.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量

11、a=2e1-e2,与向量b=e1+e2(R)共线,则 的值为()A.0 B.-1 C.-2 D.-122.(2020西安高一检测)设e1,e2是两个不共线向量,=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2.(1)证明:A,B,D三点共线;(2)若 =3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.ABCBCDBF【拓展延伸】关于A,B,C三点共线条件的变形式 平面上三点A,B,C共线的充要条件是:存在实数,使得 =+,其中+=1,O为平面内任意一点.OAOBOC【拓展训练】已知A,B,P三点共线,O为直线外任意一点,若 =x +y ,求x+y的值.【解析】设 则 则 所以x+y=-+1+=

12、1.OPOAOBABBP，OBOAAB，OPOBBPOAABBPOAOBOA(OBOA)1OBOA（），1.已知a=5e,b=-3e,c=4e,则2a-3b+c=()A.5e B.-5e C.23e D.-23e【解析】选C.因为2a-3b+c=25e-3(-3e)+4e=10e+9e+4e=23e.课堂检测素养达标 2.如图,在平行四边形ABCD中,E为CD边的中点,且 =a,=b,则 =()A.a+b B.a-bC.b+a D.b-aABADBE121212123.已知a=2e1+e2,b=e1-2e2,则a+b=_,a-b=_,2a-3b=_.【解析】因为a=2e1+e2,b=e1-2e2,所以a+b=3e1-e2,a-b=e1+3e2,2a-3b=4e1+2e2-3e1+6e2=e1+8e2.答案:3e1-e2 e1+3e2 e1+8e2 4.下面向量a,b共线的序号是_.(其中e1,e2不共线)a=2e1,b=2e2;a=e1-e2,b=-2e1+2e2;a=6e1-e2,b=e1-e2;a=e1+e2,b=2e1-2e2.110355.(教材二次开发:练习改编)已知点C在线段AB的延长线上,且 (1)用 表示 ;(2)用 表示 .AB3.AC4BCABCBAC