（新教材）2020新素养导学数学人教必修A第二册课件：6-2-2　向量的减法运算 .pptx

1、-1-6.2.2 向量的减法运算 课标阐释 思维脉络 1.理解相反向量的概念.培养数学抽象素养.2.理解向量减法的意义,掌握向量减法的运算法则及其几何意义.培养数学抽象及直观想象素养.3.能运用向量的加法与减法解决相关问题.培养数学抽象及数学运算素养.课前篇自主预习 一 二 一、相反向量 1.思考(1)什么是相反数?提示绝对值相等,符号相反的两个数互为相反数.(2)如果两个向量方向相同或相反,这两个向量有什么关系?提示这两个向量是共线(平行)向量.(3)方向相同,模相等的两个向量有什么关系?提示两个向量相等.2.填空 定义 与向量 a 长度相等,方向相反的向量,叫做 a 的相反向量 性质 零向

2、量的相反向量仍是零向量 a+(-a)=(-a)+a=0 如果 a,b 互为相反向量,那么 a=-b,b=-a,a+b=0 课前篇自主预习 一 二 3.做一做(1)如图,ABCD 是平行四边形,AC与BD相交于点O,下列互为相反向量的是()答案:C A.与 B.与 C.与 D.与 解析:向量 与 的模相等,方向相反,互为相反向量.课前篇自主预习 一 二(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.方向相反的向量就是相反向量.()互为相反向量的两个向量一定是共线向量.()互为相反向量的两个向量的模一定相等.()答案:课前篇自主预习 一 二 二、向量减法运算及其几何意义 1.

3、思考(1)请类比实数减法的意义,探索向量减法的意义.提示我们知道,减去一个数等于加上这个数的相反数.类比得出:减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.(2)你能用向量加法的平行四边形法则求两个向量的差吗?提示如图,设向量 =b,=a,则 =-b,由向量减法的定义,知a-b=a+(-b)=.在四边形 AECB 中,ABCE,所以四边形 AECB 是平行四边形,所以 =a-b.课前篇自主预习 一 二(3)根据上面(2)中的作法怎样更简便地作出两个向量的差呢?提示如图,已知向量 a,b,在平面内任取一点 O,作 =a,=b,则 =a-b,即 a-b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的

4、向量,这是向量减法的几何意义.课前篇自主预习 一 二(4)当两个非零向量a,b共线时,如何作图得a-b?提示当 a,b 共线同向时.如图(1),作 =a,=-b,则 =a-b.当 a,b 共线反向时.如图(2),作 =a,=-b,则 =a+(-b)=a-b.课前篇自主预习 一 二 2.填空 定义 a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 作法 在平面内任取一点 O,作 =a,=b,则向量 a-b=.如图所示 几何意义 如果把两个向量 a,b 的起点放在一起,则 a-b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量 课前篇自主预习 一 二 3.做一做 如图,在正

5、方形ABCD中,对角线相交于点O,则有:(1)=;(2)=;(3)=.答案:(1)(2)(3)解析:(1)=;(2)=;(3)=.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练 向量的减法运算 例1化简下列各向量的表达式:分析按照向量加法和减法的运算法则进行化简,进行减法运算时,必须保证两个向量的起点相同.(1)+;(2)()-();(3)(+)-().解:(1)+=.(2)()-()=(+)-(+)=0.(3)(+)-()=(+)-()=0.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练 反思感悟 向量加减法化简的两种形式(1)首尾相连且为和;(2)起点相同且为差.做

6、题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练 变式训练1化简下列向量表达式:(1)+;(2)()+().解:(1)+=+=.(2)()+()=+=+(+)=+0=.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练 向量减法运算的几何意义(2)当向量a,b满足什么条件时,四边形ABCD是矩形?(3)当向量a,b满足什么条件时,四边形ABCD是菱形?分析结合向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则进行分析求解.例 2 如图,四边形 ABCD 是平行四边形,设 =a,=b.(1)试用 a,b 表示 ,;课堂篇探究学习

7、探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练 解:(1)由减法运算法则可得 =+=a+b,=b-a.(2)因为对角线相等的平行四边形是矩形,所以要使四边形 ABCD是矩形,应满足|=|,即|a+b|=|b-a|.(3)因为邻边相等的平行四边形是菱形,所以要使四边形 ABCD 是菱形,应满足|=|,即|a|=|b|.反思感悟 要熟练掌握在三角形、平行四边形等常见图形中,各边对应向量以及对角线对应向量之间的关系,能够运用向量的加法与减法进行正确的表示,同时还要熟悉常见平面图形的几何性质,能够从向量的角度,运用向量语言进行表示.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练 延伸探究结合本

8、例图形分析,若a,b都是非零向量,则a+b与a-b有可能是相等向量吗?解:(1)当a,b不是共线向量时,由本例图形可知,a+b与a-b是平行四边形的两条对角线对应的向量,二者不可能相等;(2)当a,b是共线向量时,同样可以按照平行四边形法则或三角形法则,作出a+b,a-b,发现它们不可能相等.综上,若a,b都是非零向量,则a+b与a-b不可能是相等向量.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练 向量的和与差的模 例3已知|a|=|b|=1,|a+b|=1,则|a-b|=()分析根据向量的平行四边形法则,表示出向量a+b和a-b,再根据向量模的关系判断平行四边形的形状求解.答案

9、:B A.1B.3C.32D.2课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练 解析:如图,根据向量加法的平行四边形法则可知,当|a|=|b|=1时,平行四边形ABDC为菱形.又|=|a+b|=1,ABD 为正三角形,ABD=60.容易得出|a-b|=|=2|=2|2-|2=2 12-12 2=3.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练 反思感悟 解决向量模的问题的两种方法(1)依据图形特点,适当运用三角形法则和平行四边形法则进行转化,要注意相关知识间的联系;(2)利用向量形式的三角不等式:即|a|-|b|ab|a|+|b|求解,用此法求解时,一定要注意等号成立

10、的条件.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练 变式训练 2 已知|=a,|=b 且 ab,|的取值范围是5,15,则 a,b 的值分别为 .答案:10,5 解析:由 =,得|=|.ab,即|,|-|+|,即 a-b|b+a,|5,15,+=15,-=5,解得 =10,=5.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练 利用向量证明几何问题 典例若 O 是ABC 所在平面内一点,且满足|=|+|,证明ABC 是直角三角形.证明:因为 +=+,=,又|=|+|,所以|=|+|,所以以 AB,AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等,所以此平行四边形为矩形,

11、所以 ABAC,所以ABC 是直角三角形.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练 方法技巧 1.用向量法解决平面几何问题的步骤(1)将平面几何问题中的量抽象成向量.(2)化归为向量问题,进行向量运算.(3)将向量问题还原为平面几何问题.2.用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键(1)利用向量证明线段平行且相等从而证明四边形为平行四边形,只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可.(2)根据图形灵活应用向量的运算法则,找到向量之间的关系是解决此类问题的关键.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练 1.若非零向量a,b互为相反向量,则下列说法错误的是(

12、)A.ab B.ab C.|a|b|D.b=-a 答案:C 解析:根据相反向量的定义:大小相等,方向相反,可知|a|=|b|.A.a+bB.-a+(-b)C.a-bD.b-a 答案:B 2.在ABC 中,=a,=b,则 等于()解析:=-a-b=-a+(-b).课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练 3.如图,在ABC中,D为BC的中点,则下列结论错误的是()A.=B.=C.=0D.=答案:C 4.化简:=.答案:解析:,是相反向量,它们的和是零向量,但 =0.解析:=.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练 5.如图,已知 =a,=b,=c,=d,=f,试用 a,b,c,d,f 表示以下向量:(1);(2);(3);(4)+;(5).解:(1)=c-a.(2)=+=d-a.(3)=d-b.(4)+=+=b-a+f-c.(5)=-()=f-d.