（新教材）2022版高考数学人教B版一轮复习课件：5-3　平面向量的数量积与平面向量的应用 .pptx

1、5.3 平面向量的数量积与平面向量的应用 第五章 2022内容索引 0102必备知识 预案自诊 关键能力 学案突破 必备知识 预案自诊【知识梳理】1.两个向量的夹角 给定两个 向量a,b,在平面内 一点O,作,则称 内的 为向量a与向量b的夹角,记作.温馨提示(1)两个非零向量的夹角是唯一确定的,并且0,=.(2)几个特殊情况:=0,此时向量a与b共线且方向相同;=,此时向量a与b共线且方向相反;=,此时称向量a与向量b垂直,记作ab.2 =a,=b 非零 任选 0,AOB 2.向量数量积的定义 一般地,当a与b都是 向量时,称 为向量a与b的数量积(也称为内积),记作ab,即 .温馨提示(1

2、)由定义可知,两个非零向量的数量积是一个实数.规定:零向量与任何向量的数量积为0.(2)ab的符号由cos的符号决定,从而也就是由的大小决定.两个非零向量的数量积可以是正数,也可以是负数,还可以是零.(3)a与b垂直的充要条件是它们的数量积为0,即abab=0.非零|a|b|cos ab=|a|b|cos 3.向量数量积的性质(1)|ab|a|b|;(2)a2=|a|2,即|a|=;(3)cos=|(|a|0,|b|0).4.向量的投影(1)向量在直线上的投影 非零向量=a,过A,B分别作直线l的垂线,垂足分别为A,B,则称向量 为向量a在直线l上的投影向量或投影.(2)向量在向量上的投影 给

3、定平面上的一个 向量b,设b所在的直线为l,则a在 上的投影称为a在向量b上的投影.(3)投影的数量 一般地,如果a,b都是非零向量,则称 为向量a在向量b上的投影的数量.非零 直线l|a|cos 5.向量数量积的几何意义 由ab=|a|b|cos=(|a|cos)|b|可知,向量数量积的几何意义为:两个非零向量a,b的数量积ab,等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积.6.向量数量积的运算律 交换律 ab=ba 数乘结合律(a)b=(ab)=a(b)分配律(a+b)c=ac+bc 7.向量数量积的坐标表示(1)两向量的数量积的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=.

4、(2)平面向量长度(模)的坐标表示 若a=(x,y),则|a|=;若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1),|=(2-1)2+(2-1)2,即 A,B 两点间的距离为(2-1)2+(2-1)2.x1x2+y1y2 2+2(3)平面向量夹角的坐标表示 设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则(4)两向量垂直的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab .cos=|=.12+12 12+12 22+22 x1x2+y1y2=0 8.向量在平面几何中的应用 (1)要证 AB=CD,可转化为证明 2=2或|=|.(2)要证两线段

5、AB,CD 平行,只要证存在唯一实数 0,使等式 =成立即可.(3)要证两线段 AB,CD 垂直,只需证 =0.(4)求夹角问题,利用夹角公式 cos=|.常用结论1.三角形“四心”向量形式的充要条件 设O为ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则(1)O 为ABC 的外心|OA|=|OB|=|OC|.(2)O 为ABC 的重心OA +OB +OC =0.(3)O 为ABC 的垂心OA OB =OB OC =OC OA .(4)O 为ABC 的内心a +b +c =0.常用结论2.与向量a=(x,y)垂直的单位向量的坐标 易知b=(-y,x)和a=(x,y)垂直,所以

6、与a垂直的单位向量b0的坐标为,其中正、负号表示不同的方向.(-2+2,2+2)【考点自诊】1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为实数,且有正有负.()(2)若ab=0,则必有ab.()(3)(ab)c=a(bc).()(4)若ab=ac(a0),则b=c.()(5)在ABC 中,若 0,则ABC 为钝角三角形.()2.已知向量a,b满足a(b+a)=2,且a=(1,2),与a方向相同的单位向量为e,则向量b在向量a上的投影向量为()A.55 eB.-55 eC.-2 55 eD.-3 55 e答案 D 解析 由 a=(1,2),可得|a

7、|=5,由 a(b+a)=2,可得 ab+a2=2,ab=-3,向量 b在向量 a 上的投影向量为|e=-3 55 e.3.(多选)(2020海南三亚华侨学校高三模考)已知a=(3,-1),b=(1,-2),则正确的有()A.ab=5 D.a与b平行 B.与 a 同向的单位向量是(3 1010,-1010)C.a 与 b 的夹角为4答案 ABC 解析 a=(3,-1),b=(1,-2),ab=31+(-1)(-2)=5,故 A 正确;|a|=32+(-1)2=10,与 a 同向的单位向量是(3 10,-1 10),即(3 1010,-1010),故 B 正确;|b|=12+(-2)2=5,设

8、a 与 b 的夹角为,则 cos=|=5 5 10=22,0,=4,故 C 正确;31-1-2,a 与 b 不平行,故 D 错误.故选 ABC.4.(2020 新高考全国 1,7)已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点,则 的取值范围是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)答案 A 解析 如图,以 AB 所在的直线为 x 轴,AE 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系,易知 A(0,0),B(2,0),F(-1,3),C(3,3).设 P(x,y),则 =(x,y),=(2,0),=2x+0y=2x.-1x3,的取值范围为(-2,6),故选

9、A.5.(2021 年 1 月 8 省适应性测试)已知单位向量 a,b 满足 ab=0,若向量c=7a+2b,则 sin=()A.73B.23C.79D.29答案 B 关键能力 学案突破 考点1 平面向量数量积的运算【例 1】(1)(2019 天津,14)在四边形 ABCD 中,ADBC,AB=2 3,AD=5,A=30,点 E 在线段 CB 的延长线上,且 AE=BE,则 =.(2)已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=3,且 a 与 b 的夹角为6,则(a+b)(2a-b)=()A.12B.-32C.-12D.32答案(1)-1(2)A 解析(1)ADBC,且DAB=30,ABE=30

10、.EA=EB,EAB=30,AEB=120.在AEB中,EA=EB=2,=(+)(+)=-2+=-12+2 32cos 30+52 3cos30+52cos 180=-22+6+15=-1.(2)(a+b)(2a-b)=2a2-b2+ab=2-3+1 3 32=12.故选 A.解题心得1.求两个向量的数量积的方法:(1)当已知向量的模和夹角时,利用定义求解,即ab=|a|b|cos(其中是向量a与b的夹角).(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可利用向量的加、减、数量积的

11、运算律化简.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.对点训练 1 在ABCD 中,|=8,|=6,N 为 DC 的中点,=2 ,则 =.答案 24 解析(方法 1)=(+)(+)=(+23 )(12 13 )=12 2 29 2=1282-2962=24.(方法 2 特例图形)若ABCD 为矩形,建立如图所示的平面直角坐标系,则 N(4,6),M(8,4).所以 =(8,4),=(4,-2),所以 =(8,4)(4,-2)=32-8=24.考点2 平面向量数量积的性质及其应用(多考向探究)考向1 求平面向量的模【例2】(1)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a(a-2

12、b),则|2a+b|的值是 .(2)已知向量 a,b 为单位向量,且 ab=-12,向量 c 与 a+b 共线,则|a+c|的最小值为()A.1B.12C.34D.32答案(1)10(2)D 解析(1)由 a(a-2b)得 a(a-2b)=a2-2ab=0,所以 ab=12,所以(2a+b)2=4a2+b2+4ab=412+22+412=10,所以|2a+b|=10.(2)向量 c 与 a+b 共线,可设 c=t(a+b)(tR),a+c=(t+1)a+tb,(a+c)2=(t+1)2a2+2t(t+1)ab+t2b2.向量 a,b 为单位向量,且 ab=-12,(a+c)2=(t+1)2-t

13、(t+1)+t2=t2+t+134,|a+c|32,|a+c|的最小值为 32,故选 D.考向2 求平面向量的夹角 【例 3】(1)(2020 全国 3,理 6)已知向量 a,b 满足|a|=5,|b|=6,ab=-6,则cos=()A.-3135B.-1935C.1735D.1935(2)(2019 全国 1,理 7)已知非零向量 a,b 满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则 a 与 b 的夹角为()A.6B.3C.23D.56答案(1)D(2)B 解析(1)a(a+b)=a2+ab=25-6=19,|a+b|2=a2+b2+2ab=25+36-12=49,|a+b|=7,(2)因为(a

14、-b)b,所以(a-b)b=ab-b2=0,所以ab=b2.cos=(+)|+|=1957=1935.所以 cos=|=|22|2=12,所以 a 与 b 的夹角为3,故选 B.考向3 平面向量的垂直【例4】(1)(2020全国2,理13)已知单位向量a,b的夹角为45,ka-b与a垂直,则k=.(2)(2020 湖南师大附中高三模拟)已知向量 a=(52,0),b=(0,5)的起点均为原点,而终点依次对应点 A,B,线段 AB 上存在点 P,若 ,=xa+yb,则 x,y 的值分别为()A.15,45B.43,-13 C.45,15D.-13,43答案(1)22 (2)C 解析(1)由题意可

15、知 ab=|a|b|cos 45=22.ka-b 与 a 垂直,(ka-b)a=k|a|2-ab=k-22=0,k=22.(2)由题意,向量 a=(52,0),b=(0,5),所以 =xa+yb=(52x,5y),=b-a=(-52,5).因为 ,所以 =-254 x+25y=0,可得 x=4y.又 A,B,P 三点共线,所以x+y=1.联立 =4,+=1,解得 x=45,y=15.故选 C.解题心得1.求向量的模的方法:(1)公式法,利用及(ab)2=|a|22ab+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;(2)几何法,利用向量的几何意义求解.2.求向量模的最值(范围)的方法:(1)代数

16、法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;(2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.3.已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数.a|=对点训练2(1)(2020福建厦门一模)已知a=(1,1),b=(2,m),a(a-b),则|b|=()A.0B.1C.D.2(2)(2020全国1,文14)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若ab,则m=.2 答案(1)D(2)5 解析(1)由题意知a-b=(-1,1-m),a(a-b),a(a-b)=-1+1-m=0,m=0,b

17、=(2,0),|b|=2.故选D.(2)由ab,可得ab=1(m+1)+(-1)(2m-4)=0,解得m=5.考点3 平面向量的综合应用(多考向探究)考向1 平面向量在三角函数中的应用【例5】已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x0,.(1)若ab,求x的值;(2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.3解(1)因为 a=(cos x,sin x),b=(3,-3),ab,所以-3cos x=3sin x.则 tan x=-33.又因为 x0,所以 x=56.(2)f(x)=ab=(cos x,sin x)(3,-3)=3cos x-3sin x=2

18、 3cos(x+6).因为 x0,所以 x+66,76,从而-1cos(x+6)32.于是,当 x+6=6,即 x=0 时,f(x)取到最大值 3;当 x+6=,即 x=56 时,f(x)取到最小值-2 3.解题心得向量与三角函数综合问题的特点与解题策略(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目,通过向量的坐标运算构建出三角函数,然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题,有时还加入参数,考查分类讨论的思想方法.(2)向量与三角函数结合时,通常以向量为表现形式,实现三角函数问题,所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解.对点训练 3 已知两个不共线的向量 a,b 满足

19、 a=(1,3),b=(cos,sin),R.(1)若 2a-b 与 a-7b 垂直,求|a+b|的值;(2)当 0,2时,若存在两个不同的,使得|a+3b|=|ma|成立,求正数 m 的取值范围.解(1)由条件知|a|=2,|b|=1,又因为 2a-b 与 a-7b 垂直,所以(2a-b)(a-7b)=8-15ab+7=0,所以 ab=1.所以|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2=4+2+1=7,故|a+b|=7.(2)由|a+3b|=|ma|,得|a+3b|2=|ma|2.即|a|2+2 3ab+3|b|2=m2|a|2,即 7+2 3(cos+3sin)=4m2.所以 4 3sin(

20、+6)=4m2-7.由 0,2,得+66,23,因为存在两个不同的 满足题意,所以由数形结合知 4 3sin(+6)6,4 3),即 64m2-74 3,即134 m20,所以 132 m2+32.故 m 的取值范围为 132,2+32).考向2 平面向量在平面几何中的应用【例6】已知在RtABC中,C=90,设AC=m,BC=n.(1)若D为斜边AB的中点,求证:CD=AB;(2)若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于点F,求AF的长度(用m,n表示).12(1)证明 以C为坐标原点,以边CB,CA所在的直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示,A(0,m),B(n,0).D 为

21、AB 的中点,D(2,2).|=12 2+2,|=2+2,|=12|,即 CD=12AB.(2)解 E 为 CD 的中点,E(4,4),设 F(x,0),则 =(4,-34m),=(x,-m).A,E,F 三点共线,存在实数,使得 =,即(x,-m)=(4,-34m).则 =4,-=-34,故=43,x=3,F(3,0),|=13 2+92,即 AF=13 2+92.解题心得用向量法解决平面几何问题的两种方法(1)基底法:选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算.(2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问

22、题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.对点训练4ABC是等腰直角三角形,B=90,D是边BC的中点,BEAD,垂足为E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:ADB=FDC.解 如图,以 B 为原点,BC 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系,设A(0,2),C(2,0),则 D(1,0),=(2,-2).设 =,则 =+=(2,2-2).又 =(-1,2),=0,-2+2(2-2)=0,=23.=(43,23),=(13,23).又 =(1,0),cos ADB=|=55,cos FDC=|=55,又ADB,FDC(0,),ADB=FDC.考向3 平面向量在物理中的应用【例7】在风速为

23、km/h的西风中,飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行,求没有风时飞机的航速和航向.75(6 2)解 设为风速,va为有风时飞机的航行速度,vb为无风时飞机的航行速度,则vb=va-.显然有vb,va,构成三角形.如图所示,设|=|va|,|=|,|=|vb|,作 ADBC,CDAD 于点 D,BEAD 于点 E,则BAD=45.由题意知|=150,|=75(6 2),|=|=|=75 2,|=75 6.从而|=150 2,CAD=30.即没有风时飞机的航速为 150 2 km/h,方向为西偏北 30.解题心得利用向量法解决物理问题时,要认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的向量关系,通

24、过抽象、概括把物理现象转化为与之相关的向量问题.对点训练5已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30,大小为50 N,一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数=0.02的水平面上运动了20 m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少?(g=10 m/s2)解 如图所示,设木块的位移为 s,则 WF=Fs=|F|s|cos 30=5020 32=500 3(J).将力 F 分解,它的铅垂方向上的分力 F1 的大小为|F1|=|F|sin 30=5012=25(N).所以摩擦力 f 的大小为|f|=|(|G|-|F1|)|=(80-25)0.02=1.1(N).因此 Wf=fs=|f|s|cos 180=1.120(-1)=-22(J).即 F 和 f 所做的功分别为 500 3 J 和-22 J.本 课 结 束