（人教通用）2014届数学（理）一轮复习知识点逐个击破专题讲座：三角函数的图像与性质 WORD版含解析.doc

1、【名师面对面】2014 届数学一轮知识点讲座：考点 15三角函数的图像与性质（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用 一.考纲目标 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数 y=Asin(x+)的简图，理解 A.、的物理意义 二.知识梳理 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx 1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx y=tanx322-32-2oyxy=cotx3222-2oyx 2.三角函数的单调区

2、间 xysin的递增区间是2222kk，)(Zk，递减区间是23222kk，)(Zk；xycos的递增区间是kk22，)(Zk，递减区间是kk22，)(Zk，tanyx的递增区间是22kk，)(Zk，3.函数BxAy)sin(），（其中00A 最大值是BA，最小值是AB，周期是2T，频率是2f，相位是 x，初相是；其图象的对称轴是直线)(2Zkkx，凡是该图象与直线By 的交点都是该图象的对称中心 4.由 ysinx 的图象变换出 ysin(x)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请

3、切记每一个变换总是对字母 x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将 ysinx 的图象向左(0)或向右(0)平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 1 倍(0)，便得 ysin(x)的图象 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换 先将 ysinx 的图象上各点的横坐标变为原来的1 倍(0),再沿 x轴向左(0)或向右(0平移|个单位，便得 ysin(x)的图象 5.由 yAsin(x)的图象求其函数式 给出图象确定解析式 y=Asin（x+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（，0）作为突破口，要从图象的升降情况

4、找准第一个零点的位置.6.对称轴与对称中心：sinyx的对称轴为2xk，对称中心为(,0)kkZ；cosyx的对称轴为 xk，对称中心为2(,0)k；对于sin()yAx和cos()yAx来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系 7.求三角函数的单调区间 一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意 A、的正负.利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；8.求三角函数的周期的常用方法 经过恒等变形化成“sin()yAx、cos()yAx”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法 9.五点法作 y=Asin（x+）的简图 五点取法是设 x=x+，由 x 取

5、0、2、23、2来求相应的 x 值及对应的 y 值，再描点作图.三考点逐个突破 1.平移变换问题 例 1.定义12142334 a aaa aa aa,若函数sin 2 cos2x()1 3xf x,则将()f x 的图象向右平移3 个 单位所得曲线的一条对称轴的方程是 A6x B4x C2x D x【答案】A 由定义可知,()3sin 2cos22sin(2)6f xxxx,将()f x 的图象向右平移3 个单位得到52sin2()2sin(2)366yxx,由52,62xkkZ得对称轴为2,32kxkZ,当1k 时,对称轴为2326x,选 A 例2.关于函数()=2()f xsin x-c

6、os x cos x 的四个结论:P1:最大值为2;P2:把函数()221f xsin x 的图象向右平移 4 个单位后可得到函数2f(x)(sin xcos x)cos x的图 象;P3:单调递增区间为71188k,k,kZ;P4:图象的对称中心为(128k,),kZ.其中正确的结论有 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】B 【解析】因为2()=222212(2)14f xsin xcos xcos xsin xcos xsinx ,所以最大值为21,所以 P1 错误.将()221f xsin x的图象向右平移 4 个单位后得到()22()12(2)142f xsinxsinx,所

7、以P2错误.由222242kxk,解 得 增 区 间 为388kxk,kZ,即388k,kkZ,所以3p 正确.由 24xk,kZ,得,28kxkZ,所以此时的对称中心为(1)28k,所以4p 正确,所以选 B 例 3.已知函数 213sincoscos02f xxxx,其最小正周期为.2 (I)求 f x 的表达式;(II)将函数 f x 的图象向右平移 8 个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到函数 yg x的 图象,若关于的方程 0g xk,在区间 0,2上有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围.【答案】解:(I)21()3sincoscos2f xx

8、xx 3cos211sin2sin(2)2226xxx 由题意知)(xf的最小正周期2T,222T 所以2 所以 sin 46fxx ()将()f x 的图象向右平移个 8 个单位后,得到)34sin(xy的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到)32sin(xy的图象.所以)32sin()(xxg 因为02x,所以22333x.()0g xk在区间 0,2上有且只有一个实数解,即函数()yg x与 yk 在区间 0,2上有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知3322k 或1k 所以3322k或1k .2.三角函数的性质（1）单调性、周期性 例 4.设xxxxf

9、cossin32cos6)(2.()求)(xf的最小正周期及单调递增区间;()将函数)(xf的图象向右平移3 个单位,得)(xgy 的图象,求xxgxF323)()(在4x处的切线方程.【答案】解:()(1 cos2)()63sin 22 3 cos(2)326xf xxx,故 f(x)的最小正周期T,由kxk2622 得 f(x)的单调递增区间为Zkkk12,127 ()由题意:()2 3 cos2()32 3sin 2336g xxx,xxxxgxF2sin323)()(,22sin2cos2)(xxxxxF,因此切线斜率216)4(Fk,切点坐标为)4,4(,故所求切线方程为)4(164

10、2xy,即08162 yx （2）最值 例 5.已 知 函 数2()2sin()3 cos21,44 2f xxxx,则)(xf的 最 小 值 为_【答案】1 【解析】2()2sin()3 cos211 cos2()3 cos2144f xxxxx cos(2)3 cos2sin 23 cos22sin(2)23xxxxx,因 为 42x,所 以22633x,所 以 sinsin(2)sin632x,即 1sin(2)123x,所 以12sin(2)23x,即1()2f x,所以)(xf的最小值为 1.（3）奇偶性 例 6.函数xxysin3 的图象大致是 【答案】C 【解析】函数()sin3

11、xyf xx为奇函数,所以图象关于原点对称,排除 B当 x 时,0y,排除 D1()cos3fxx,由1()cos03fxx,得1cos3x ,所以函数()sin3xyf xx的极值有很多个,所以选 C （4）对称性 例 7.已知函数()sin()(0)6f xx的最小正周期为4,则 A函数()f x 的图象关于点(,03)对称 B函数()f x 的图象关于直线3x 对称 C函数()f x 的图象向右平移 3 个单位后,图象关于原点对称 D函数()f x 在区间(0,)内单调递增【答案】C 因为函数的周期24T,所以12,所以1()sin()26f xx.当3x时,13()sin()sin32

12、3632f,所以 A,B 错误.将函数()f x 的图象向右平移 3 个单位后得到11()sin()sin()2362f xxx,此时为奇函数,所以选 C（5）定义域、值域 例8.已知函数 f（x）=xxx2cos1cos5cos624，求 f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.剖析：此题便于入手，求定义域、判断奇偶性靠定义便可解决，求值域要对函数化简整理.300-3001180-1900oIt解：由 cos2x0 得 2xk+2，解得 x2k+4（kZ）.所以 f（x）的定义域为x|xR 且 x2k+4，kZ.因为 f（x）的定义域关于原点对称，且 f（x）=）（）（）（xxx2co

13、s1cos5cos624=xxx2cos1cos5cos624=f（x），所以 f（x）是偶函数.又当 x2k+4（kZ）时，f（x）=xxx2cos1cos5cos624=xxx2cos1cos31cos222）（=3cos2x1，所以 f（x）的值域为y|1y 21 或 21 y2.3.简单的应用问题 例 9.已知电流 I 与时间 t 的关系式为sin()IAt（）右图是sin()IAt（0，|2）在一个周期内的图象，根据图中数据求sin()IAt的解析式；（）如果 t 在任意一段 1150秒的时间内，电流sin()IAt都能取得最大值和最小值，那么的最小正整数值是多少？解:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力（）由图可知 A300设 t1 1900，t2 1180，则周期 T2（t2t1）2（1180 1900）175 2T 150 又当 t 1180时，I0，即 sin（150 1180）0，而|2，6 故所求的解析式为300sin(150)6It （）依题意，周期 T 1150，即 2 1150，（0）300942，又N*，故最小正整数943