（人教通用）2014届数学（理）一轮复习知识点逐个击破专题讲座：不等式的性质及解法 WORD版含解析.doc

1、【名师面对面】2014 届数学一轮知识点讲座：考点 25 不等式的性质及解法 加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用 一.考纲目标 不等式的性质；一元二次不等式的解法 二.知识梳理 1.实数的大小顺序与运算性质之间的关系：0baba 0baba 0baba 2.不等式的性质：（1）abba ，abba（反对称性）（2）cacbba,，cacbba,（传递性）（3）cbcaba，故bcacba（移项法则）推论：dbcadcba,（同向不等式相加）（4）bcaccba0,，bcaccba0,推论 1：bdacdcba0,0 推论 2：nnbaba0;推论 3：nnbaba0 3.解

2、不等式问题的分类(1)解一元一次不等式(2)解一元二次不等式(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式 解一元高次不等式；解分式不等式；解无理不等式；解指数不等式；解对数不等式；解带绝对值的不等式；解不等式组 4.解不等式时应特别注意下列几点：(1)正确应用不等式的基本性质(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性(3)注意代数式中未知数的取值范围 5.不等式的同解性(1)f(x)g(x)0f(x)0 g(x)0f(x)0 g(x)0 与或 同解(2)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0f(x)0g(x)0 与或 同解(3)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0f(x)0g(x)

3、0(g(x)0)与或 同解(4)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0f(x)0g(x)0(g(x)0)与或 同解(5)|f(x)|g(x)与g(x)f(x)g(x)同解(g(x)0)(6)|f(x)|g(x)与 f(x)g(x)或 f(x)g(x)(其中 g(x)0)；g(x)0 同解(7)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)0g(x)0f(x)0g(x)02与或 同解(8)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)02与同解(9)当 a1 时，af(x)ag(x)与 f(x)g(x)同解，当 0a1 时，af(x)ag(x)与 f(x)g(x)同解(10)a1log f(x)log g(

4、x)f(x)g(x)f(x)0aa当 时，与同解 当 时，与同解0a1log f(x)log g(x)f(x)g(x)f(x)0g(x)0aa 6.零点分段法：高次不等式与分式不等式的简洁解法 步骤：形式：分母）移项，通分（不轻易去 0)()(xQxP 首项系数符号0标准式，若系数含参数时，须判断或讨论系数的符号，化负为正 判断或比较根的大小 7.绝对值不等式 ax 与)0(aax型不等式cbax与)0(ccbax型不等式的解法与解集：不等式)0(aax的解集是axax;不等式)0(aax的解集是axaxx或,不等式)0(ccbax的解集为)0(|ccbaxcx;不等式)0(ccbax的解集为

5、)0(,|ccbaxcbaxx或 8.解一元一次不等式)0(abax abxxa,0 abxxa,0 9.韦达定理：方程02cbxax（0a）的二实根为1x、2x，则240bac 且acxxabxx2121 两个正根，则需满足0002121xxxx，两个负根，则需满足1212000 xxx x，一正根和一负根，则需满足0021xx 10.一元二次不等式的解法步骤 对于一元二次不等式22000axbxcaxbxca或，设相应的一元二次方程200axbxca的两根为2121xxxx且、，acb42，则不等式的解的各种情况如下表：0 0 0 二次函数 cbxaxy2（0a）的图象 cbxaxy2x2

6、x1oyxcbxaxy2=x2x1oyx cbxaxy2oyx 一元二次方程 的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx 有两相等实根 abxx221无实根 的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2 R 的解集)0(02acbxax21xxxx 方程的根函数草图观察得解，对于0a 的情况可以化为0a 的情况解决 注意：含参数的不等式 ax 2 bxc0 恒成立问题 含参不等式 ax 2 bxc0 的解集是 R；其解答分 a0(验证 bxc0 是否恒成立)、a0（a0 且0 bcad ac bd,以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成多少个正确的命题？并写出

7、这些命题 解：可以组成下列 3 个命题 命题一：若 ab0，ac bd,则 bcad 命题二：若 ab0，bcad 则 ac bd,命题三：若 ac bd,bcad 则 ab0 由不等式的性质得知这三个命题均为真命题（2）有三个条件：（1）ac2bc2；(2)ca cb；(3)a2b2，其中能分别成为 ab 的充分条件的个数有 A0 B1 C2 D3 解：（1）由 ac2bc2可知 c20，即 ab，故 ac2bc2是 ab 的充分条件（2）c0 时，ab（3）a0时，ab 的充分必要条件，故答案选 B 2.数的大小的比较 例 2.设0.533,log 2,cos2abc,则 Ac ba Bc

8、ab Ca bc Db ca【答案】A 【解析】0.5331,30log 21,cos20,所以cba,选 A 3.含绝对值不等式的解法 例 3.（1）已知不等式2xx的解集不是空集,则实数的取值范围是 A 2 D2【答案】D 因为2xx的最小值为 2,所以要使不等式的解集不是空集,则有2a,选 D （2）如果不等式57|1|xx和不等式220axbx有相同的解集,则 A8,10ab B1,9ab C4,9ab D1,2ab 【答案】C 【解析】由不等式 57|1|xx可知50 x,两边平方得22(5)49(1)xx,整理得24920 xx,即24920 xx.又两不等式的解集相同,所以可得4

9、,9ab ,选 C （3）解不等式（1）923 x；（2）xx2143 解：（1）原不等式化为：117519232xxxxx或 115,17xxx或原不等式的解为：（2）原不等式化为：xxxxxx21340432143043或 解得 535xx或 5,53xxx或不等式的解集为：4.一元二次不等式的解法 例 4.（1）已知不等式21051axbxxx 的解集为ab求、的值 解：由题意可知 0a且5 和 1 是方程012 bxax的两根 54515141)5(baaab 故ba,的值分别为54,51 （2）解不等式46522xxx 解：（1）当042x时，不等式的解集为 （2）当042x即22x

10、x或时，有 222101050252465)4(2222xxxxxxxxxx或 综上所述，原不等式的解集为2xx 5.简单分式、高次不等式的解法 例 5.(1)解不等式xxxxx2322 解：由0)2)(1()1(23222xxxxxxxxx 其零点分别为：-1,0,1(二重),2 ，画出数轴如下：-2+-+10-1x 由图知，原不等式的解集为,210,1(2)求不等式组xxxxx22330的解集 解法一：由题设 x0，xxxx2233，得033xx，即33x，30 x，原不等式组等价于（1）)3)(2()2)(3(20 xxxxx ；（2）)3)(2()2)(3(32xxxxx 由（1）得2

11、0 x，由（2）得62 x，故原不等式组解集为60 xx 解法二：由已知条件可知033xx两边平方，原不等式组等价于 600)6)(6(03223022xxxxxxxxxx 即原不等式组解集为60 xx(3)不等式0121 xx的解集为 A.1,21 B.1,21 C.,121.D.,121,对 【答案】A【解析】原不等式等价于0)12)(1(xx或01 x，即121x或1x，所以不等式的解为121x，选 A 6.指对不等式的解法 例 6.（1）10log110log210log4732介于两个连续自然数之间，这两个数是 答案：3,4 提示：10log110log210log4732=lg(2

12、4327)=lg1008,310log110log210log47320,a1，Plog a(a3+1),Q=log a(a2+1),则 P、Q 的大小关系是 A.PQ B.Pb0,0 x blg(sinx)B.alg(sinx)0,b0,ab=1，比较大小：1212ba 22 答案:8.含参数不等式的问题 例 8.(1)解关于的不等式)(,)1()1(222baxbaxxbxa 解：原不等式化为 2222222222()()2()()()0()0001abxbabxab bxbabxxababxxx 则 01xx故原不等式的解集为(2)若不等式13642222xxkkxx对于 x 取任何实数

13、均成立，求 k 的取值范围 解：13642222xxkkxx013642222xxkkxx 03643)3(2222xxkxkx 03)3(222kxkx(4x2+6x+3 恒正)，原不等式对 x 取任何实数均成立，等价于不等式 2x2-2(k-3)x+3-k0 对 x 取任何实数均成立=-2(k-3)2-8(3-k)0 k2-4k+30 1k3 k 的取值范围是（1，3）(3)设 f(x)=ax2+bx,且 1f(1)2,2f(1)4,求 f(2)的取值范围 分析：因为 f(1)=ab,f(1)=a+b,而 1ab2,2a+b4;又 a+b 与 ab 中的 a,b 不是独立的，而是相互制约的

14、，因此，若将 f(2)用 ab 与 a+b,表示，则问题得解 解：设 f(2)=m f(1)+n f(1),(m,n 为代定系数)则 4a2b=m(ab)+n(a+b)即 4a2b=（m+n）a(mn)b,于是得42nmnm得：m=3,n=1 f(2)=3 f(1)+f(1)1f(1)2,2f(1)453f(1)+f(1)10,故 5f(2)10,另法：以上解题过程简化如下：由(1)(1)a bfa bf 得1(1)(1)21(1)(1)2affbff f(2)=4a2b=3 f(1)+f(1)点评:严格依据不等式的基本性质和运算法则,是正确解答此类题目的保证若先将参数 a,b 的范围求出,而后再求 f(2)的范围,这样操作是错误的,因为解题过程没有忠实题目所给条件,即变形不等价,由所求的参数 a,b 的范围并不能得到已知条件所给的 f(1)及 f(1)的范围,这样,已经改变了题目的条件,当然,所求的结果就不是实际的结果因此,在解题的过程中,务必尽可能保持变形的等价性,以免发生错误