（全国120套）2013年中考数学试卷分类汇编 代数几何综合.doc

1、代数几何综合 1、（2013 年潍坊市压轴题）如图，抛物线cbxaxy2关于直线1x对称，与坐标轴交 于CBA、三 点，且4AB,点232，D在 抛 物 线 上，直 线 是 一 次 函 数02kkxy的图象，点O 是坐标原点.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线平分四边形OBDC 的面积，求k 的值.（3）把抛物线向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线与直线交于NM、两点，问在 y 轴正半轴上是否存在一定点 P，使得不论k 取何值，直线 PM 与 PN 总是关于 y轴对称？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由.答案：（1）因为抛物线关于直线 x=1 对称，AB=4，

2、所以 A(-1，0),B(3，0),由点 D(2，1.5)在抛物线上，所以5.1240cbacba，所以 3a+3b=1.5,即 a+b=0.5,又12ab，即 b=-2a,代入上式解得 a=-0.5,b=1,从而 c=1.5,所以23212xxy.（2）由（1）知23212xxy，令 x=0,得 c(0,1.5),所以 CD/AB,令 kx-2=1.5,得 l 与 CD 的交点 F(23,27k)，令 kx-2=0，得 l 与 x 轴的交点 E(0,2k)，根据 S 四边形 OEFC=S 四边形 EBDF得：OE+CF=DF+BE,即：,511),272()23(272kkkkk解得（3）由

3、（1）知,2)1(21232122xxxy 所以把抛物线向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线的解析式为221 xy 假设在 y 轴上存在一点 P(0，t)，t0，使直线 PM 与 PN 关于 y 轴对称，过点 M、N 分别向 y轴作垂线 MM1、NN1，垂足分别为 M1、N1，因为MPO=NPO,所以 RtMPM1RtNPN1,所以1111PNPMNNMM,(1)不妨设 M(xM,yM)在点 N(xN,yN)的左侧，因为 P 点在 y 轴正半轴上，则（1）式变为NMNMytytxx,又 yM=k xM-2,yN=k xN-2,所以（t+2）(xM+xN)=2k xM xN,

4、(2)把 y=kx-2(k0)代入221 xy中，整理得 x2+2kx-4=0,所以 xM+xN=-2k,xM xN=-4,代入（2）得 t=2,符合条件，故在 y 轴上存在一点 P（0,2），使直线 PM 与 PN 总是关于 y 轴对称.考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大.点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。问题

5、设计富有梯度、由易到难层层推进，既考查了知识掌握，也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。2、（绵阳市 2013 年）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的顶点 C 的坐标为（0，-2），交x 轴于 A、B 两点，其中 A（-1，0），直线 l：x=m（m1）与 x 轴交于 D。（1）求二次函数的解析式和 B 的坐标；（2）在直线 l 上找点 P（P 在第一象限），使得以 P、D、B 为顶点的三角形与以 B、C、O 为顶点的三角形相似，求点 P 的坐标（用含 m 的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点 Q，使BPQ 是以 P 为直角顶点的等腰直角三

6、角形？如果存在，请求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由。解：（1）二次函数 y=ax2+bx+c 图象的顶点 C 的坐标为（0，-2），c=-2,-b2a=0,b=0,点 A(-1,0)、点 B 是二次函数 y=ax2-2 的图象与 x 轴的交点，a-2=0,a=2.二次函数的解析式为 y=2x2-2；点 B 与点 A(-1,0)关于直线 x=0 对称，点 B 的坐标为（1，0）；（2）BOC=PDB=90，点 P 在直线 x=m 上，设点 P 的坐标为（m,p）,OB=1，OC=2，DB=m-1,DP=|p|，当BOCPDB 时，OBOC=DPDB,12=|p|m-1,p=m-12 或

7、 p=1-m2 ,点 P 的坐标为（m，m-12 ）或（m，1-m2 ）；ABCDOxyl当BOCBDP 时，OBOC=DBDP，12=m-1|p|，p=2m-2 或 p=2-2m,点 P 的坐标为（m，2m-2）或（m，2-2m）；综上所述点 P 的坐标为（m，m-12 ）、（m，1-m2 ）、（m，2m-2）或（m，2-2m）；（3）不存在满足条件的点 Q。点 Q 在第一象限内的抛物线 y=2x2-2 上，令点 Q 的坐标为（x,2x2-2），x1,过点 Q 作 QE直线 l,垂足为 E，BPQ 为等腰直角三角形，PB=PQ，PEQ=PDB，EPQ=DBP，PEQBDP，QE=PD，PE=

8、BD，当 P 的坐标为（m，m-12 ）时，m-x=m-12 ，m=0 m=1 2x2-2-m-12 =m-1,x=12 x=1 与 x1 矛盾,此时点 Q 不满足题设条件；当 P 的坐标为（m，1-m2 ）时，x-m=m-12 m=-29 m=1 2x2-2-1-m2 =m-1,x=-56 x=1 与 x1 矛盾,此时点 Q 不满足题设条件；当 P 的坐标为（m，2m-2）时，m-x=2m-2 m=92 m=1 2x2-2-(2m-2)=m-1,x=-52 x=1 与 x1 矛盾,此时点 Q 不满足题设条件；当 P 的坐标为（m，2-2m）时，x-m=2m-2 m=518 m=1 2x2-2

9、-(2-2m)=m-1 x=-76 x=1 与 x1 矛盾,此时点 Q 不满足题设条件；综上所述，不存在满足条件的点 Q。3、（2013昆明压轴题）如图，矩形OABC 在平面直角坐标系xOy中，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在 BC边上，且抛物线经过 O，A 两点，直线 AC 交抛物线于点 D（1）求抛物线的解析式；（2）求点 D 的坐标；（3）若点 M 在抛物线上，点 N 在 x 轴上，是否存在以 A，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 考点：二次函数综合题 专题：综合题 分

10、析：（1）由 OA 的长度确定出 A 的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式 y=a（x2）2+3，将 A 的坐标代入求出 a 的值，即可确定出抛物线解析式；（2）设直线 AC 解析式为 y=kx+b，将 A 与 C 坐标代入求出 k 与 b 的值，确定出直线AC 解析式，与抛物线解析式联立即可求出 D 的坐标；（3）存在，分两种情况考虑：如图所示，当四边形 ADMN 为平行四边形时，DMAN，DM=AN，由对称性得到 M（3，），即 DM=2，故 AN=2，根据 OA+AN 求出 ON 的长，即可确定出 N 的坐标；当四边形 ADMN为平行四边形，可得三角形 ADQ 全等于三

11、角形NMP，MP=DQ=，NP=AQ=3，将 y=代入得：=x2+3x，求出 x 的值，确定出 OP 的长，由 OP+PN求出 ON的长即可确定出 N坐标 解答：解：（1）设抛物线顶点为 E，根据题意 OA=4，OC=3，得：E（2，3），设抛物线解析式为 y=a（x2）2+3，将 A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即 a=，则抛物线解析式为 y=（x2）2+3=x2+3x；（2）设直线 AC 解析式为 y=kx+b（k0），将 A（4，0）与 C（0，3）代入得：，解得：，故直线 AC 解析式为 y=x+3，与抛物线解析式联立得：，解得：或，则点 D 坐标为（1，）；（3）存在，分两种情

12、况考虑：当点 M 在 x 轴上方时，如答图 1 所示：四边形 ADMN 为平行四边形，DMAN，DM=AN，由对称性得到 M（3，），即 DM=2，故 AN=2，N1（2，0），N2（6，0）；当点 M 在 x 轴下方时，如答图 2 所示：过点 D 作 DQx 轴于点 Q，过点 M 作 MPx 轴于点 P，可得ADQNMP，MP=DQ=，NP=AQ=3，将 yM=代入抛物线解析式得：=x2+3x，解得：xM=2或 xM=2+，xN=xM3=1 或1，N3（1，0），N4（1，0）综上所述，满足条件的点 N 有四个：N1（2，0），N2（6，0），N3（1，0），N4（1，0）点评：此题考查了二

13、次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定抛物线解析式，一次函数与二次函数的交点，平行四边形的性质，以及坐标与图形性质，是一道多知识点的探究型试题 4、（2013 陕西）在平面直角坐标系中，一个二次函灵敏的图象经过点 A（1，0）、B（3，0）两点（1）写出这个二次函数的对称轴；（2）设这个二次函数的顶点为 D，与 y 轴交于点 C，它的对称轴与 x 轴交于点 E，连接 AD、DE 和 DB，当AOC 与DEB 相似时，求这个二次函数的表达式。提示：如果一个二次函数的图象与 x 轴的交点 为)0,(),0,(21xBxAA，那么它的表达式可表示 为：)(21xxxxay 考点：此题在陕西的中考

14、中也较固定，第（1）问主要考查待定 系数法求二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标，抛物线的对称性等简单问题。第二问主要考查二次函数综合应用之点的存在性问题；包括最短距离与面积的最值等（等腰三角形，平行四边形，正方形，相似三角形，相似，全等等问题。考查问题的综合能力要求较高，基本上都是转化为求点的坐标的过程。（第 24 题图）y-1Ox2-11123-23解析：本题中（1）由抛物线的轴对称性可知，与 x 轴的两个交点关于对称轴对称，易求出对称轴；（2）由提示中可以设出函数的解析式，将顶点 D 与 E 的坐标表示出来，从而将两个三角形的边长表示出来，而相似的确定过程中充分考虑到分类即可解决

15、此题；解：（1）对称轴为直线：x=2。（2）A（1，0）、B（3，0），所以设)3)(1(xxay即aaxaxy342 当 x=0 时，y=3a，当 x=2 时，y=a C（0，3a），D(2,-a)OC=|3a|,A（1，0）、E（2，0），OA=1,EB=1,DE=-a|=|a|在AOC 与DEB 中，AOC=DEB=90 当EBDEOCAO 时，AOCDEB 1|3|1aa 时，解得33a或33a 当DEEBOCAO 时，AOCBED|1|3|1aa 时，此方程无解，综上所得：所求二次函数的表达式为：3334332xxy或3334332xxy 5、（2013 成都市压轴题）在平面直角坐标

16、系中，已知抛物线21y2 xbxc（b,c 为常数）的顶点为 P,等腰直角三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为（0，-1），C 的坐标为（4,3），直角顶点 B 在第四象限。（1）如图，若该抛物线过 A,B 两点，求抛物线的函数表达式；（2）平（1）中的抛物线，使顶点 P 在直线 AC 上滑动，且与 AC 交于另一点 Q.i）若点 M 在直线 AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上点，当以 M,P,Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求出所有符合条件的 M 的坐标；ii）取 BC 的中点 N,连接 NP,BQ。试探究PQNPBQ是否存在最大值？若存在，求出该最大值；所不存在，请说明理由。解

17、析：（1）A(0,-1)C(4,3)则AC=22(40)(1 3)4 2 ABC 为等腰直角三角形 AB=BC=4 B 点(4,-1)将 A,B 代入抛物线方程有 11 16412cbc 12cb 21212yxx （2）当顶点 P 在直线 AC 上滑动时，平移后抛物线与 AC 另一交点 Q 就是 A 点沿直线 AC 滑动同样的单位。下面给予证明：原抛物线2211(44)1(2)122yxxx 顶点 P 为(2,1)设平移后顶点 P 为(a,a-1),则平移后抛物线21()12yxaa 联立 y=x-1(直线 AC 方程)得 Q 点为（a-2,a-3）PQ=2 2 即实际上是线段 AP 在直线

18、 AC 上的滑动.）点 M 在直线 AC 下方，且 M,P,Q 构成等腰直角三角形，那么先考虑使 MP,Q 构成等腰直角三角形的 M 点的轨迹，再求其轨迹与抛物线的交点以确定 M 点.若M 为直角，则 M 点轨迹即为 AC 下方距 AC 为 MH 且与 AC 平行的直线 l 又知PQ=2 2 ，则MH=2 PM=2 直线 l 即为 AC 向下平移PM=2 个单位 L:y=x-3 联立21212yxx 得 x=1 5 M 点为（1+5，5-2）或（1-5，-5-2）若P=或Q 为直角，即 PQ 为直角边，MQPQ 且，MQ=PQ=2 2 或 MPPQ,且 MP=PQ=2 2,M 点轨迹是 AC

19、下方距 AC 为2 2 且与 AC 平行直线 L 直线 L 即为 AC 向下平移MP=4 个单位 L:y=x-5 联立21212yxx 得 x=4 或 x=-2 M 点为(4,-1)或（-2，-7）综上所有符合条件的点 M 为（1+5，5-2）（4,-1）；（1-5，-5-2）,（-2，-7）)知 PQ=2 2 PQMPBQ有最大值，即 NP+BQ 有最小值 如下图，取 AB 中点 M，连结 QM,NM,知 N 为中点 MN 为 AC 边中位线，MNAC 且 MN=12AC=2 2=PQ MN PQ MNPQ 为平行四边形 即 PN=QM QB+PN=BQ+MQ 此时，作 B 点关于 AC 对

20、称的点 B,连 B Q,B M B M交 AC 于点 H，易知 B Q=BQ BQ+PN=B Q+MQ B M(三角形两边之和大于第三边)仅当 Q 与 H 重合时，取等号 即 BQ+PN 最小值存在 且最小值为 B M 连结 A B知 ABB为等腰直角三角形。A B=4，AM=12AB=2 由勾股定理得2 5B M PQNPBQ最大值存在，且最大值为 2 21052 5 6、（2013 山西压轴题，26，14 分）（本题 14 分）综合与探究：如图,抛物线213442yxx=-与 x 轴交于 A,B 两点(点 B 在点 A 的右侧)与 y 轴交于点 C,连接 BC,以 BC 为一边,点 O 为

21、对称中心作菱形 BDEC,点 P 是 x 轴上的一个动点,设点 P 的坐标为（m，0），过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q（1）求点 A,B,C 的坐标。（2）当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 l 分别交 BD，BC 于点 M,N。试探究 m 为何值时，四边形 CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形 CQBM 的形状，并说明理由。（3）当点 P 在线段 EB 上运动时，是否存在点 Q，使BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。解析：（1）当 y=0 时，2134042xx-=，解得，122,8xx=-=点 B 在点 A 的右侧，点

22、A,B 的坐标分别为：（-2，0），（8，0）当 x=0 时，y=-4 点 C 的坐标为（0，-4），（2）由菱形的对称性可知，点 D 的坐标为（0，4）.设直线 BD 的解析式为 ykxb，则480bkb=+=.解得，k=12-，b=4.直线 BD 的解析式为142yx=-+.lx 轴，点 M，Q 的坐标分别是（m，142 m-+），（m，213442mm-）如图，当 MQ=DC 时，四边形 CQMD 是平行四边形.（142 m-+）-(213442mm-)=4-(-4)化简得：240mm-=.解得，m1=0，（舍去）m2=4.当 m=4 时，四边形 CQMD 是平行四边形.此时，四边形 C

23、QBM 是平行四边形.解法一：m=4，点 P 是 OB 中点.lx 轴，ly 轴.BPMBOD.12BPBMBOBD=.BM=DM.四边形 CQMD 是平行四边形，DMCQBMCQ.四边形 CQBM 为平行四边形.解法二：设直线 BC 的解析式为 y=k1x+b1，则111480bkb=-+=.解得，k1=12，b1=-4 直线 BC 的解析式为 y=12x-4 又lx 轴交 BC 于点 N.x=4 时，y=-2.点 N 的坐标为（4，-2）由上面可知，点 M,Q的坐标分别为：（4，2），Q(4,-6).MN=2-（-2）=4，NQ=-2-（-6）=4.MN=QN.又四边形 CQMD 是平行四

24、边形.DBCQ，3=4，又1=2，BMNCQN.BN=CN.四边形 CQBM 为平行四边形.（3）抛物线上存在两个这样的点 Q，分别是 Q1（-2，0），Q2（6，-4）.7、（2013内江）如图，在等边ABC 中，AB=3，D、E 分别是 AB、AC 上的点，且 DEBC，将ADE 沿 DE 翻折，与梯形 BCED 重叠的部分记作图形 L（1）求ABC 的面积；（2）设 AD=x，图形 L 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式；（3）已知图形 L 的顶点均在O 上，当图形 L 的面积最大时，求O 的面积 考点：相似形综合题 分析：（1）作 AHBC 于 H，根据勾股定理就可以求出 A

25、H，由三角形的面积公式就可以求出其值；（2）如图 1，当 0 x1.5 时，由三角形的面积公式就可以表示出 y 与 x 之间的函数关系式，如图 2，当 1.5x3 时，重叠部分的面积为梯形 DMNE 的面积，由梯形的面积公式就可以求出其关系式；（3）如图 4，根据（2）的结论可以求出 y 的最大值从而求出 x 的值，作 FODE 于 O，连接 MO，ME，求得DME=90，就可以求出O 的直径，由圆的面积公式就可以求出其值 解答：解：（1）如图 3，作 AHBC 于 H，AHB=90 ABC 是等边三角形，AB=BC=AC=3 AHB=90，BH=BC=在 RtABC 中，由勾股定理，得 AH

26、=SABC=；（2）如图 1，当 0 x1.5 时，y=SADE 作 AGDE 于 G，AGD=90，DAG=30，DG=x，AG=x，y=x2，a=0，开口向上，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大，x=1.5 时，y 最大=，如图 2，当 1.5x3 时，作 MGDE 于 G，AD=x，BD=DM=3x，DG=（3x），MF=MN=2x3，MG=（3x），y=，=；（3），如图 4，y=；y=（x24x），y=（x2）2+，a=0，开口向下，x=2 时，y 最大=，y 最大时，x=2，DE=2，BD=DM=1作 FODE 于 O，连接 MO，ME DO=OE=1，DM=DO MDO=6

27、0，MDO 是等边三角形，DMO=DOM=60，MO=DO=1 MO=OE，MOE=120，OME=30，DME=90，DE 是直径，SO=12=点评：本题考查了等边三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，勾股定理的运用，圆周角定理的运用，圆的面积公式的运用，等边三角形的性质的运用，二次函数的性质的运用，解答时灵活运用等边三角形的性质是关键 8、（2013新疆压轴题）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴交于 A、B 两点，过点 A 的直线 l 与抛物线交于点 C，其中 A 点的坐标是（1，0），C 点坐标是（4，3）（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是

28、否存在点 D，使BCD 的周长最小？若存在，求出点 D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点 E 是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线 AC 的下方，试求ACE 的最大面积及 E 点的坐标 考点：二次函数综合题 专题：代数几何综合题 分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）利用待定系数法求出直线 AC 的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线 AC 与对称轴的交点即为所求点 D；（3）根据直线 AC 的解析式，设出过点 E 与 AC 平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉 y 得到关于 x 的一元二次方程，利用根的判别式=0 时，ACE 的面积最大，然后求出此时与

29、 AC 平行的直线，然后求出点 E 的坐标，并求出该直线与 x 轴的交点 F的坐标，再求出 AF，再根据直线 l 与 x 轴的夹角为 45求出两直线间的距离，再求出 AC 间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解 解答：解：（1）抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A（1，0），点 C（4，3），解得，所以，抛物线的解析式为 y=x24x+3；（2）点 A、B 关于对称轴对称，点 D 为 AC 与对称轴的交点时BCD 的周长最小，设直线 AC 的解析式为 y=kx+b（k0），则，解得，所以，直线 AC 的解析式为 y=x1，y=x24x+3=（x2）21，抛物线的对称轴为直线 x

30、=2，当 x=2 时，y=21=1，抛物线对称轴上存在点 D（2，1），使BCD 的周长最小；（3）如图，设过点 E 与直线 AC 平行线的直线为 y=x+m，联立，消掉 y 得，x25x+3m=0，=（5）241（3m）=0，即 m=时，点 E 到 AC 的距离最大，ACE 的面积最大，此时 x=52，y=34，点 E 的坐标为（52，34），设过点 E 的直线与 x 轴交点为 F，则 F（，0），AF=1=94，直线 AC 的解析式为 y=x1，CAB=45，点 F 到 AC 的距离为 94=，又AC=3，ACE 的最大面积=3=，此时 E 点坐标为（52，34）点评：本题考查了二次函数综

31、合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题 9、（2013 凉山州压轴题）如图，抛物线 y=ax22ax+c（a0）交 x 轴于 A、B 两点，A 点坐标为（3，0），与 y 轴交于点 C（0，4），以 OC、OA 为边作矩形 OADC 交抛物线于点 G（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴 l 在边 OA（不包括 O、A 两点）上平行移动，分别交 x 轴于点 E，交CD 于点 F，交 AC 于点 M，交抛物线于点 P，若点 M 的横坐标为 m，请用含 m 的代数式

32、表示 PM的长；（3）在（2）的条件下，连结 PC，则在 CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点 P，使得以P、C、F 为顶点的三角形和AEM 相似？若存在，求出此时 m 的值，并直接判断PCM 的形状；若不存在，请说明理由 考点：二次函数综合题 分析：（1）将 A（3，0），C（0，4）代入 y=ax22ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先根据 A、C 的坐标，用待定系数法求出直线 AC 的解析式，进而根据抛物线和直线 AC的解析式分别表示出点 P、点 M 的坐标，即可得到 PM 的长；（3）由于PFC 和AEM 都是直角，F 和 E 对应，则若以 P、C、F 为顶点的三

33、角形和AEM相似时，分两种情况进行讨论：PFCAEM，CFPAEM；可分别用含 m 的代数式表示出 AE、EM、CF、PF 的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出 m 的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出PCM 的形状 解答：解：（1）抛物线 y=ax22ax+c（a0）经过点 A（3，0），点 C（0，4），解得，抛物线的解析式为 y=x2+x+4；（2）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，A（3，0），点 C（0，4），解得，直线 AC 的解析式为 y=x+4 点 M 的横坐标为 m，点 M 在 AC 上，M 点的坐标为（m，m+4），点 P 的

34、横坐标为 m，点 P 在抛物线 y=x2+x+4 上，点 P 的坐标为（m，m2+m+4），PM=PEME=（m2+m+4）（m+4）=m2+4m，即 PM=m2+4m（0m3）；（3）在（2）的条件下，连结 PC，在 CD 上方的抛物线部分存在这样的点 P，使得以 P、C、F 为顶点的三角形和AEM 相似理由如下：由题意，可得 AE=3m，EM=m+4，CF=m，PF=m2+m+44=m2+m 若以 P、C、F 为顶点的三角形和AEM 相似，分两种情况：若PFCAEM，则 PF：AE=FC：EM，即（m2+m）：（3m）=m：（m+4），m0 且 m3，m=PFCAEM，PCF=AME，AM

35、E=CMF，PCF=CMF 在直角CMF 中，CMF+MCF=90，PCF+MCF=90，即PCM=90，PCM 为直角三角形；若CFPAEM，则 CF：AE=PF：EM，即 m：（3m）=（m2+m）：（m+4），m0 且 m3，m=1 CFPAEM，CPF=AME，AME=CMF，CPF=CMF CP=CM，PCM 为等腰三角形 综上所述，存在这样的点 P 使PFC 与AEM 相似此时 m 的值为或 1，PCM 为直角三角形或等腰三角形 点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度

36、适中要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解 10、（2013曲靖压轴题）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x+4 与坐标轴分别交于 A、B 两点，过 A、B 两点的抛物线为 y=x2+bx+c点 D 为线段 AB 上一动点，过点 D 作 CDx轴于点 C，交抛物线于点 E（1）求抛物线的解析式（2）当 DE=4 时，求四边形 CAEB 的面积（3）连接 BE，是否存在点 D，使得DBE 和DAC 相似？若存在，求此点 D 坐标；若不存在，说明理由 考点：二次函数综合题 分析：（1）首先求出点 A、B 的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）

37、设点 C 坐标为（m，0）（m0），根据已知条件求出点 E 坐标为（m，8+m）；由于点 E 在抛物线上，则可以列出方程求出 m 的值在计算四边形 CAEB 面积时，利用 S 四边形 CAEB=SACE+S 梯形 OCEBSBCO，可以简化计算；（3）由于ACD 为等腰直角三角形，而DBE 和DAC 相似，则DBE 必为等腰直角三角形分两种情况讨论，要点是求出点 E 的坐标，由于点 E 在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数 解答：解：（1）在直线解析式 y=x+4 中，令 x=0，得 y=4；令 y=0，得 x=4，A（4，0），B（0，4）点 A（4，0），B（0，4）在抛物线 y=x2

38、+bx+c 上，解得：b=3，c=4，抛物线的解析式为：y=x23x+4 （2）设点 C 坐标为（m，0）（m0），则 OC=m，AC=4+m OA=OB=4，BAC=45，ACD 为等腰直角三角形，CD=AC=4+m，CE=CD+DE=4+m+4=8+m，点 E 坐标为（m，8+m）点 E 在抛物线 y=x23x+4 上，8+m=m23m+4，解得 m=2 C（2，0），AC=OC=2，CE=6，S 四边形 CAEB=SACE+S 梯形 OCEBSBCO=26+（6+4）2 24=12 （3）设点 C 坐标为（m，0）（m0），则 OC=m，CD=AC=4+m，BD=OC=m，则D（m，4+

39、m）ACD 为等腰直角三角形，DBE 和DAC 相似 DBE 必为等腰直角三角形 i）若BED=90，则 BE=DE，BE=OC=m，DE=BE=m，CE=4+mm=4，E（m，4）点 E 在抛物线 y=x23x+4 上，4=m23m+4，解得 m=0（不合题意，舍去）或 m=3，D（3，1）；ii）若EBD=90，则 BE=BD=m，在等腰直角三角形 EBD 中，DE=BD=2m，CE=4+m2m=4m，E（m，4m）点 E 在抛物线 y=x23x+4 上，4m=m23m+4，解得 m=0（不合题意，舍去）或 m=2，D（2，2）综上所述，存在点 D，使得DBE 和DAC 相似，点 D 的坐

40、标为（3，1）或（2，2）点评：本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、图象面积计算等重要知识点第（3）问需要分xyAOCB（第 26 题图）xyAOCB（第 26 题图）NPNMHM类讨论，这是本题的难点 11、(2013 年临沂压轴题)如图，抛物线经过5(1,0),(5,0),(0,)2ABC三点.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标；(3)点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A,C,M,N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点

41、 N 的坐标；若不存在，请说明理由.解 析：解：（1）设 抛 物 线 的 解 析 式 为 2yaxbxc，根据题意，得0,2550,5.2abcabcc ，解得1,22,5.2abc 抛物线的解析式为：2152.22yxx (3 分)（2）由题意知，点 A 关于抛物线对称轴的对称点为点 B,连接 BC 交抛物线的对称轴于点P，则 P 点 即为所求.设直线 BC 的解析式为 ykxb，由题意，得50,5.2kbb 解得 1,25.2kb 直线 BC 的解析式为15.22yx (6 分)抛物线215222yxx的对称轴是2x，当2x 时，153.222yx 点 P 的坐标是3(2,)2.(7 分)

42、（3）存在 (8 分)(i)当存在的点 N 在 x 轴的下方时，如图所示，四边形 ACNM 是平行四边形，CNx 轴，点 C 与点 N 关于对称轴 x=2 对称，C 点的坐标为5(0,)2，点 N 的坐标为5(4,).2 (11 分)（II）当存在的点N 在 x 轴上方时，如图所示，作N Hx轴于点 H，四边形ACM N是平行四边形，,ACM NN M HCAO,RtCAO RtN M H,N HOC.点 C 的坐标为55(0,),22N H,即 N 点的纵坐标为 52，21552,222xx即24100 xx 解得12214,214.xx 点N 的坐标为5(214,)2和5(214,)2.综

43、上所述，满足题目条件的点 N 共有三个，分别为5(4,).2，5(214,)2，5(214,)2(13 分)12、（2013宁波压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为（0，4），点 B 的坐标为（4，0），点 C 的坐标为（4，0），点 P 在射线 AB 上运动，连结 CP 与 y 轴交于点 D，连结 BD过 P，D，B 三点作Q 与 y 轴的另一个交点为 E，延长 DQ 交Q 于点 F，连结 EF，BF （1）求直线 AB 的函数解析式；（2）当点 P 在线段 AB（不包括 A，B 两点）上时 求证：BDE=ADP；设 DE=x，DF=y请求出 y 关于 x 的函

44、数解析式；（3）请你探究：点 P 在运动过程中，是否存在以 B，D，F 为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为 2：1？如果存在，求出此时点 P 的坐标：如果不存在，请说明理由 考点：一次函数综合题 分析：（1）设直线 AB 的函数解析式为 y=kx+4，把（4，0）代入即可；（2）先证出BODCOD，得出BOD=CDO，再根据CDO=ADP，即可得出BDE=ADP，先连结 PE，根据ADP=DEP+DPE，BDE=ABD+OAB，ADP=BDE，DEP=ABD，得出DPE=OAB，再证出DFE=DPE=45，最后根据DEF=90，得出DEF 是等腰直角三角形，从而求出 DF=DE，即 y=

45、x；（3）当=2 时，过点 F 作 FHOB 于点 H，则DBO=BFH，再证出BODFHB，=2，得出 FH=2，OD=2BH，再根据FHO=EOH=OEF=90，得出四边形OEFH 是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4OD，根据 DE=EF，求出 OD 的长，从而得出直线 CD的解析式为 y=x+，最后根据求出点 P 的坐标即可；当=时，连结 EB，先证出DEF 是等腰直角三角形，过点 F 作 FGOB 于点 G，同理可得BODFGB，=，得出 FG=8，OD=BG，再证出四边形 OEFG 是矩形，求出 OD 的值，再求出直线 CD 的解析式，最后根据即可求出点 P 的坐标 解答：解：（

46、1）设直线 AB 的函数解析式为 y=kx+4，代入（4，0）得：4k+4=0，解得：k=1，则直线 AB 的函数解析式为 y=x+4；（2）由已知得：OB=OC，BOD=COD=90，又OD=OD，BODCOD，BOD=CDO，CDO=ADP，BDE=ADP，连结 PE，ADP 是DPE 的一个外角，ADP=DEP+DPE，BDE 是ABD 的一个外角，BDE=ABD+OAB，ADP=BDE，DEP=ABD，DPE=OAB，OA=OB=4，AOB=90，OAB=45，DPE=45，DFE=DPE=45，DF 是Q 的直径，DEF=90，DEF 是等腰直角三角形，DF=DE，即 y=x；（3）

47、当 BD：BF=2：1 时，过点 F 作 FHOB 于点 H，DBO+OBF=90，OBF+BFH=90，DBO=BFH，又DOB=BHF=90，BODFHB，=2，FH=2，OD=2BH，FHO=EOH=OEF=90，四边形 OEFH 是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4OD，DE=EF，2+OD=4OD，解得：OD=，点 D 的坐标为（0，），直线 CD 的解析式为 y=x+，由得：，则点 P 的坐标为（2，2）；当=时，连结 EB，同（2）可得：ADB=EDP，而ADB=DEB+DBE，EDP=DAP+DPA，DEP=DPA，DBE=DAP=45，DEF 是等腰直角三角形，过点 F 作

48、 FGOB 于点 G，同理可得：BODFGB，=，FG=8，OD=BG，FGO=GOE=OEF=90，四边形 OEFG 是矩形，OE=FG=8，EF=OG=4+2OD，DE=EF，8OD=4+2OD，OD=43，点 D 的坐标为（0，43），直线 CD 的解析式为：y=13x 43，由得：，点 P 的坐标为（8，4），综上所述，点 P 的坐标为（2，2）或（8，4）点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是一次函数、矩形的性质、圆的性质，关键是综合运用有关知识作出辅助线，列出方程组 13、（2013 四川南充压轴题，21，8 分）如图，二次函数 y=x2+bx3b+3 的图象与 x 轴交于

49、A、B 两点（点 A 在点 B 的左边），交 y 轴于点 C，且经过点（b2，2b25b1）.（1）求这条抛物线的解析式；（2）M 过 A、B、C 三点，交 y 轴于另一点 D，求点 M 的坐标；（3）连接 AM、DM，将AMD 绕点 M 顺时针旋转，两边 MA、MD 与 x 轴、y 轴分别交于点 E、F，若DMF 为等腰三角形，求点 E 的坐标.解析：（1）把点（b2，2b25b1）代入解析式，得 2b25b1=（b2）2+b（b2）3b+3，1 解得 b=2.抛物线的解析式为 y=x2+2x3.2（2）由 x2+2x3=0，得 x=3 或 x=1.A（3，0）、B（1，0）、C（0，3）.

50、抛物线的对称轴是直线 x=1，圆心 M 在直线 x=1 上.3 设 M（1，n），作 MGx 轴于 G，MHy 轴于 H，连接 MC、MB.MH=1，BG=2.4 MB=MC，BG2+MG2=MH2+CH2，即 4+n2=1+（3+n）2，解得 n=1，点 M（1，1）5（3）如图，由 M（1，1），得 MG=MH.MA=MD，RtAMGRtDMH，1=2.由旋转可知3=4.AMEDMF.若DMF 为等腰三角形，则AME 为等腰三角形.6 设 E（x，0），AME 为等腰三角形，分三种情况：AE=AM=5，则 x=5 3，E（5 3，0）；M 在 AB 的垂直平分线上，MA=ME=MB，E（1

51、，0）7 点 E 在 AM 的垂直平分线上，则 AE=ME.AE=x+3，ME2=MG2+EG2=1+（1x）2，（x+3）2=1+（1x）2，解得 x=47，E（47，0）.所求点 E 的坐标为（5 3，0），（1，0），（47，0）8 14、（2013 四川宜宾压轴题）如图，抛物线 y1=x21 交 x 轴的正半轴于点 A，交 y 轴于点 B，将此抛物线向右平移 4 个单位得抛物线 y2，两条抛物线相交于点 C（1）请直接写出抛物线 y2的解析式；（2）若点 P 是 x 轴上一动点，且满足CPA=OBA，求出所有满足条件的 P 点坐标；（3）在第四象限内抛物线 y2上，是否存在点 Q，使得

52、QOC 中 OC 边上的高 h 有最大值？若存在，请求出点 Q 的坐标及 h 的最大值；若不存在，请说明理由 考点：二次函数综合题 专题：代数几何综合题 分析：（1）写出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可；（2）根据抛物线解析式求出点 A、B 的坐标，然后求出OBA=45，再联立两抛物线解析式求出交点 C 的坐标，再根据CPA=OBA 分点 P 在点 A 的左边和右边两种情况求解；（3）先求出直线 OC 的解析式为 y=x，设与 OC 平行的直线 y=x+b，与抛物线 y2联立消掉y 得到关于 x 的一元二次方程，再根据与 OC 的距离最大时方程有且只有一个根，然后利用根的

53、判别式=0 列式求出 b 的值，从而得到直线的解析式，再求出与 x 轴的交点 E 的坐标，得到 OE 的长度，再过点 C 作 CDx 轴于 D，然后根据COD 的正弦值求解即可得到 h 的值 解答：解：（1）抛物线 y1=x21 向右平移 4 个单位的顶点坐标为（4，1），所以，抛物线 y2的解析式为 y2=（x4）21；（2）x=0 时，y=1，y=0 时，x21=0，解得 x1=1，x2=1，所以，点 A（1，0），B（0，1），OBA=45，联立，解得，点 C 的坐标为（2，3），CPA=OBA，点 P 在点 A 的左边时，坐标为（1，0），在点 A 的右边时，坐标为（5，0），所以，点

54、 P 的坐标为（1，0）或（5，0）；（3）存在 点 C（2，3），直线 OC 的解析式为 y=x，设与 OC 平行的直线 y=x+b，联立，消掉 y 得，2x219x+302b=0，当=0，方程有两个相等的实数根时，QOC 中 OC 边上的高 h 有最大值，此时 x1=x2=（）=，此时 y=（4）21=，存在第四象限的点 Q（，），使得QOC 中 OC 边上的高 h 有最大值，此时=19242（302b）=0，解得 b=，过点 Q 与 OC 平行的直线解析式为 y=x，令 y=0，则 x=0，解得 x=，设直线与 x 轴的交点为 E，则 E（，0），过点 C 作 CDx 轴于 D，根据勾股

55、定理，OC=，则 sinCOD=，解得 h 最大=点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了利用平移变换确定二次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标，等腰三角形的判定与性质，（3）判断出与 OC 平行的直线与抛物线只有一个交点时 OC 边上的高 h 最大是解题的关键，也是本题的难点 15、(2013 浙江丽水压轴题)如图 1，点 A 是 x 轴正半轴上的动点，点 B 坐标为（0，4），M是线段 AB 的中点，将点 M 绕点 A 顺时针方向旋转 90得到点 C，过点 C 作 x 轴的垂线，垂足为 F，过点 B 作 y 轴的垂线与直线 CF 相交于点 E，点 D 点 A 关于直线 CF 的对称 点

56、，连结AC，BC，CD，设点 A 的横坐标为t （1）当2t时，求 CF 的长；（2）当t 为何值时，点 C 落在线段 BD 上？设BCE 的面积为 S，求 S 与t 之间的函数关系式；（3）如图 2，当点 C 与点 E 重合时，CDF 沿 x 轴左右平移得到CDF，再将 A，B，C，D为顶点的四边形沿 CF剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请直接写出所有符合上述条件的点 C的坐标。16、（2013自贡压轴题）如图，已知抛物线 y=ax2+bx2（a0）与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于 C 点，直线 BD 交抛物线于点 D，并且 D（2，3），ta

57、nDBA=（1）求抛物线的解析式；（2）已知点 M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点 B、M、C、A，求四边形 BMCA面积的最大值；（3）在（2）中四边形 BMCA 面积最大的条件下，过点 M 作直线平行于 y 轴，在这条直线上是否存在一个以 Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线 AC 相切的圆？若存在，求出圆心 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 考点：二次函数综合题3718684 分析：（1）如答图 1 所示，利用已知条件求出点 B 的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图 1 所示，首先求出四边形 BMCA 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）

58、本题利用切线的性质、相似三角形与勾股定理求解如答图 2 所示，首先求出直线 AC 与直线 x=2 的交点 F 的坐标，从而确定了 RtAGF 的各个边长；然后证明RtAGFRtQEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点 Q 的坐标 解答：解：（1）如答图 1 所示，过点 D 作 DEx 轴于点 E，则 DE=3，OE=2 tanDBA=，BE=6，OB=BEOE=4，B（4，0）点 B（4，0）、D（2，3）在抛物线 y=ax2+bx2（a0）上，解得，抛物线的解析式为：y=x2+x2 （2）抛物线的解析式为：y=x2+x2，令 x=0，得 y=2，C（0，2），令 y=0，得 x=4 或

59、1，A（1，0）设点 M 坐标为（m，n）（m0，n0），如答图 1 所示，过点 M 作 MFx 轴于点 F，则 MF=n，OF=m，BF=4+m S 四边形 BMCA=SBMF+S 梯形 MFOC+SAOC=BFMF+（MF+OC）OF+OAOC=（4+m）（n）+（n+2）（m）+12=2nm+1 点 M（m，n）在抛物线 y=x2+x2 上，n=m2+m2，代入上式得：S 四边形 BMCA=m24m+5=（m+2）2+9，当 m=2 时，四边形 BMCA 面积有最大值，最大值为 9 （3）假设存在这样的Q 如答图 2 所示，设直线 x=2 与 x 轴交于点 G，与直线 AC 交于点 F

60、设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，将 A（1，0）、C（0，2）代入得：，解得：k=2，b=2，直线 AC 解析式为：y=2x2，令 x=2，得 y=6，F（2，6），GF=6 在 RtAGF 中，由勾股定理得：AF=3 设 Q（2，n），则在 RtAGF 中，由勾股定理得：OQ=设Q 与直线 AC 相切于点 E，则 QE=OQ=在 RtAGF 与 RtQEF 中，AGF=QEF=90，AFG=QFE，RtAGFRtQEF，即，化简得：n23n4=0，解得 n=4 或 n=1 存在一个以 Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线 AC 相切的圆，点 Q 的坐标为（2，4）或（2，1）点评：本题

61、是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、圆的切线性质、解直角三角形、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度第（2）问面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决；第（3）问为存在型问题，首先假设存在，然后利用已知条件，求出符合条件的点 Q 坐标 17、（2013自贡）将两块全等的三角板如图摆放，其中A1CB1=ACB=90，A1=A=30（1）将图中的A1B1C 顺时针旋转 45得图，点 P1是 A1C 与 AB 的交点，点 Q 是 A1B1与BC 的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图中，若 AP1=2，则 CQ 等于多

62、少？（3）如图，在 B1C 上取一点 E，连接 BE、P1E，设 BC=1，当 BEP1B 时，求P1BE 面积的最大值 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形3718684 分析：（1）先判断B1CQ=BCP1=45，利用 ASA 即可证明B1CQBCP1，从而得出结论（2）作 P1DCA 于 D，在 RtADP1中，求出 P1D，在 RtCDP1中求出 CP1，继而可得出CQ 的长度（3）证明AP1CBEC，则有 AP1：BE=AC：BC=：1，设 AP1=x，则 BE=x，得出 SP1BE关于 x 的表达式，利用配方法求最值即可 解答：（1）证明：

63、B1CB=45，B1CA1=90，B1CQ=BCP1=45，在B1CQ 和BCP1中，B1CQBCP1（ASA），CQ=CP1；（2）作 P1DCA 于 D，A=30，P1D=AP1=1，P1CD=45，=sin45=，CP1=P1D=，又CP1=CQ，CQ=；（3）P1BE=90，ABC=60，A=CBE=30，AC=BC，由旋转的性质可得：ACP1=BCE，AP1CBEC，AP1：BE=AC：BC=：1，设 AP1=x，则 BE=x，在 RtABC 中，A=30，AB=2BC=2，SP1BE=x（2x）=x2+x=（x1）2+，故当 x=1 时，SP1BE（max）=点评：本题考查了相似三

64、角形的判定与性质，解答本题需要我们熟练掌握含 30角的直角三角形的性质、勾股定理及配方法求二次函数的最值，有一定难度 18、（2013广安压轴题）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A、B、C三点，已知点 A（3，0），B（0，3），C（1，0）（1）求此抛物线的解析式（2）点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一动点，（不与点 A、B 重合），过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 F，交直线 AB 于点 E，作 PDAB 于点 D 动点 P 在什么位置时，PDE 的周长最大，求出此时 P 点的坐标；连接 PA，以 AP 为边作图示一侧的正方形 APMN，随着点

65、 P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变当顶点 M 或 N 恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的 P 点的坐标（结果保留根号）考点：二次函数综合题3718684 专题：代数几何综合题 分析：（1）把点 A、B、C 的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）根据点 A、B 的坐标求出 OA=OB，从而得到AOB 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BAO=45，然后求出PED 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，PD 越大，PDE 的周长最大，再判断出当与直线 AB 平行的直线与抛物线只有一个交点时，PD 最大，再求出直线 AB 的解析式为 y=x

66、+3，设与 AB 平行的直线解析式为 y=x+m，与抛物线解析式联立消掉 y，得到关于 x 的一元二次方程，利用根的判别式=0 列式求出 m 的值，再求出 x、y 的值，从而得到点 P 的坐标；先确定出抛物线的对称轴，然后（i）分点 M 在对称轴上时，过点 P 作 PQ对称轴于 Q，根据同角的余角相等求出APF=QPM，再利用“角角边”证明APF 和MPQ全等，根据全等三角形对应边相等可得 PF=PQ，设点 P 的横坐标为 n，表示出 PQ 的长，即 PF，然后代入抛物线解析式计算即可得解；（ii）点 N 在对称轴上时，同理求出APF和ANQ 全等，根据全等三角形对应边相等可得 PF=AQ，根

67、据点 A 的坐标求出点 P 的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点 P 的坐标 解答：解：（1）抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A（3，0），B（0，3），C（1，0），解得，所以，抛物线的解析式为 y=x22x+3；（2）A（3，0），B（0，3），OA=OB=3，AOB 是等腰直角三角形，BAO=45，PFx 轴，AEF=9045=45，又PDAB，PDE 是等腰直角三角形，PD 越大，PDE 的周长越大，易得直线 AB 的解析式为 y=x+3，设与 AB 平行的直线解析式为 y=x+m，联立，消掉 y 得，x2+3x+m3=0，当=3241（m3）=0，即 m=时，直线

68、与抛物线只有一个交点，PD 最长，此时 x=，y=+=，点 P（，）时，PDE 的周长最大；抛物线 y=x22x+3 的对称轴为直线 x=1，（i）如图 1，点 M 在对称轴上时，过点 P 作 PQ对称轴于 Q，在正方形 APMN 中，AP=PM，APM=90，APF+FPM=90，QPM+FPM=90，APF=QPM，在APF 和MPQ 中，APFMPQ（AAS），PF=PQ，设点 P 的横坐标为 n（n0），则 PQ=1n，即 PF=1n，点 P 的坐标为（n，1n），点 P 在抛物线 y=x22x+3 上，n22n+3=1n，整理得，n2+n4=0，解得 n1=（舍去），n2=，1n=1

69、=，所以，点 P 的坐标为（，）；（ii）如图 2，点 N 在对称轴上时，设抛物线对称轴与 x 轴交于点 Q，PAF+FPA=90，PAF+QAN=90，FPA=QAN，又PFA=AQN=90，PA=AN，APFNAQ，PF=AQ，设点 P 坐标为 P（x，x22x+3），则有x22x+3=1（3）=2，解得 x=1（不合题意，舍去）或 x=1，此时点 P 坐标为（1，2）综上所述，当顶点 M 恰好落在抛物线对称轴上时，点 P 坐标为（，），当顶点 N 恰好落在抛物线对称轴上时，点 P 的坐标为（1，2）点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与

70、性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，抛物线上点的坐标特征，（2）确定出PDE 是等腰直角三角形，从而判断出点 P 为平行于 AB 的直线与抛物线只有一个交点时的位置是解题的关键，（3）根据全等三角形的性质用点 P 的横坐标表示出纵坐标或用纵坐标求出横坐标是解题的关键 19、（2013 杭州压轴题）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，对称中心为点 P，点 F 为 BC边上一个动点，点 E 在 AB 边上，且满足条件EPF=45，图中两块阴影部分图形关于直线AC 成轴对称，设它们的面积和为 S1（1）求证：APE=CFP；（2）设四边形 CMPF 的面积为 S2，CF=x，求 y 关

71、于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值范围，并求出 y 的最大值；当图中两块阴影部分图形关于点 P 成中心对称时，求 y 的值 考点：四边形综合题 分析：（1）利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论；（2）本问关键是求出 y 与 x 之间的函数解析式 首先分别用 x 表示出 S1与 S2，然后计算出 y 与 x 的函数解析式这是一个二次函数，求出其最大值；注意中心对称、轴对称的几何性质 解答：（1）证明：EPF=45，APE+FPC=18045=135；而在PFC 中，由于 PF 为正方形 ABCD 的对角线，则PCF=45，则CFP+FPC=18045=135，APE=CFP（2

72、）解：APE=CFP，且FCP=PAE=45，APECPF，则 而在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，则 AC=AB=，又P 为对称中心，则 AP=CP=，AE=如图，过点 P 作 PHAB 于点 H，PGBC 于点 G，P 为 AC 中点，则 PHBC，且 PH=BC=2，同理 PG=2 SAPE=2=，阴影部分关于直线 AC 轴对称，APE 与APN 也关于直线 AC 对称，则 S 四边形 AEPN=2SAPE=；而 S2=2SPFC=2=2x，S1=S 正方形 ABCDS 四边形 AEPNS2=162x，y=+1 E 在 AB 上运动，F 在 BC 上运动，且EPF=45，2x4 令

73、=a，则 y=8a2+8a1，当 a=，即 x=2 时，y 取得最大值 而 x=2 在 x 的取值范围内，代入 x=2，则 y 最大=421=1 y 关于 x 的函数解析式为：y=+1（2x4），y 的最大值为 1 图中两块阴影部分图形关于点 P 成中心对称，而此两块图形也关于直线 AC 成轴对称，则阴影部分图形自身关于直线 BD 对称，则 EB=BF，即 AE=FC，=x，解得 x=，代入 x=，得 y=2 点评：本题是代数几何综合题，考查了正方形的性质、相似三角形、二次函数的解析式与最值、几何变换（轴对称与中心对称）、图形面积的计算等知识点，涉及的考点较多，有一定的难度本题重点与难点在于求

74、出 y 与 x 的函数解析式，在计算几何图形面积时涉及大量的计算，需要细心计算避免出错 20、（2013衢州压轴题）在平面直角坐标系 x、y 中，过原点 O 及点 A（0，2）、C（6，0）作矩形 OABC，AOC 的平分线交 AB 于点 D点 P 从点 O 出发，以每秒个单位长度的速度沿射线 OD 方向移动；同时点 Q 从点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 x 轴正方向移动设移动时间为 t 秒（1）当点 P 移动到点 D 时，求出此时 t 的值；（2）当 t 为何值时，PQB 为直角三角形；（3）已知过 O、P、Q 三点的抛物线解析式为 y=（xt）2+t（t0）问是否存在某一时刻

75、 t，将PQB 绕某点旋转 180后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 考点：二次函数综合题 分析：（1）首先根据矩形的性质求出 DO 的长，进而得出 t 的值；（2）要使PQB 为直角三角形，显然只有PQB=90或PBQ=90，进而利用勾股定理分别分析得出 PB2=（6t）2+（2t）2，QB2=（62t）2+22，PQ2=（2tt）2+t2=2t2，再分别就PQB=90和PBQ=90讨论，求出符合题意的 t 值即可；（3）存在这样的 t 值，若将PQB 绕某点旋转 180，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，则旋转中心为 PQ 中点，此时四边形

76、PBQB为平行四边形，根据平行四边形的性质和对称性可求出 t 的值 解答：解：（1）四边形 OABC 是矩形，AOC=OAB=90，OD 平分AOC，AOD=DOQ=45，在 RtAOD 中，ADO=45，AO=AD=2，OD=2，t=2；（2）要使PQB 为直角三角形，显然只有PQB=90或PBQ=90 如图 1，作 PGOC 于点 G，在 RtPOG 中，POQ=45，OPG=45，OP=t，OG=PG=t，点 P（t，t）又Q（2t，0），B（6，2），根据勾股定理可得：PB2=（6t）2+（2t）2，QB2=（62t）2+22，PQ2=（2tt）2+t2=2t2，若PQB=90，则有

77、PQ2+BQ2=PB2，即：2t2+（62t）2+22=（6t）2+（2t）2，整理得：4t28t=0，解得：t1=0（舍去），t2=2，t=2，若PBQ=90，则有 PB2+QB2=PQ2，（6t）2+（2t）2+（62t）2+22=2t2，整理得：t210t+20=0，解得：t=5 当 t=2 或 t=5+或 t=5时，PQB 为直角三角形 解法 2：如图 2，当PQB=90时，易知OPQ=90，BQODBQC=POQ=45 可得 QC=BC=2，OQ=4，2t=4，t=2，如图 3，当PBQ=90时，若点 Q 在 OC 上，作 PNx 轴于点 N，交 AB 于点 M，则易证PBM=CBQ

78、，PMBQCB=，CBPM=QCMB，2（t2）=（2t6）（t6），化简得 t210t+20=0，解得：t=5，t=5；如图 3，当PBQ=90时，若点 Q 在 OC 的延长线上，作 PNx 轴于点 N，交 AB 延长线于点 M，则易证BPM=MBQ=BQC，PMBQCB，=，CBPM=QCMB，2（t2）=（2t6）（t6），化简得 t210t+20=0，解得：t=5，t=5+；（3）存在这样的 t 值，理由如下：将PQB 绕某点旋转 180，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，则旋转中心为 PQ 中点，此时四边形 PBQB为平行四边形 PO=PQ，由 P（t，t），Q（2t，0），知旋转中心

79、坐标可表示为（t，t），点 B 坐标为（6，2），点 B的坐标为（3t6，t2），代入 y=（xt）2+t，得：2t213t+18=0，解得：t1=，t2=2 点评：本题考查了相似形综合题，涉及了动点问题，勾股定理的运用，矩形的性质，直角三角形的性质以及平行四边形的判定和性质，解答本题关键是讨论点 P 的位置，由题意建立方程从而求出符合题意的 t 值，同时要数形结合进行思考，难度较大 21、（2013绍兴压轴题）抛物线 y=（x3）（x+1）与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C，点 D 为顶点 （1）求点 B 及点 D 的坐标（2）连结 BD，CD，抛物

80、线的对称轴与 x 轴交于点 E 若线段 BD 上一点 P，使DCP=BDE，求点 P 的坐标 若抛物线上一点 M，作 MNCD，交直线 CD 于点 N，使CMN=BDE，求点 M 的坐标 考点：二次函数综合题3718684 分析：（1）解方程（x3）（x+1）=0，求出 x=3 或1，根据抛物线 y=（x3）（x+1）与 x轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），确定点 B 的坐标为（3，0）；将 y=（x3）（x+1）配方，写成顶点式为 y=x22x3=（x1）24，即可确定顶点 D 的坐标；（2）根据抛物线 y=（x3）（x+1），得到点 C、点 E 的坐标连接 BC，过点 C 作

81、CHDE 于 H，由勾股定理得出 CD=，CB=3，证明BCD 为直角三角形分别延长 PC、DC，与 x 轴相交于点 Q，R根据两角对应相等的两三角形相似证明BCDQOC，则=，得出 Q 的坐标（9，0），运用待定系数法求出直线 CQ 的解析式为 y=x3，直线 BD 的解析式为 y=2x6，解方程组，即可求出点 P 的坐标；分两种情况进行讨论：（）当点 M 在对称轴右侧时若点 N 在射线 CD 上，如备用图 1，延长 MN 交 y 轴于点 F，过点 M 作 MGy 轴于点 G，先证明MCNDBE，由相似三角形对应边成比例得出 MN=2CN设 CN=a，再证明CNF，MGF 均为等腰直角三角形

82、，然后用含 a 的代数式表示点 M 的坐标，将其代入抛物线 y=（x3）（x+1），求出 a 的值，得到点 M 的坐标；若点 N 在射线 DC 上，同理可求出点 M 的坐标；（）当点 M 在对称轴左侧时由于BDE45，得到CMN45，根据直角三角形两锐角互余得出MCN45，而抛物线左侧任意一点 K，都有KCN45，所以点 M 不存在 解答：解：（1）抛物线 y=（x3）（x+1）与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），当 y=0 时，（x3）（x+1）=0，解得 x=3 或1，点 B 的坐标为（3，0）y=（x3）（x+1）=x22x3=（x1）24，顶点 D 的坐标为（1，4

83、）；（2）如右图 抛物线 y=（x3）（x+1）=x22x3 与与 y 轴交于点 C，C 点坐标为（0，3）对称轴为直线 x=1，点 E 的坐标为（1，0）连接 BC，过点 C 作 CHDE 于 H，则 H 点坐标为（1，3），CH=DH=1，CDH=BCO=BCH=45，CD=，CB=3，BCD 为直角三角形 分别延长 PC、DC，与 x 轴相交于点 Q，R BDE=DCP=QCR，CDB=CDE+BDE=45+DCP，QCO=RCO+QCR=45+DCP，CDB=QCO，BCDQOC，=，OQ=3OC=9，即 Q（9，0）直线 CQ 的解析式为 y=x3，直线 BD 的解析式为 y=2x6

84、 由方程组，解得 点 P 的坐标为（，）；（）当点 M 在对称轴右侧时 若点 N 在射线 CD 上，如备用图 1，延长 MN 交 y 轴于点 F，过点 M 作 MGy 轴于点 G CMN=BDE，CNM=BED=90，MCNDBE，=，MN=2CN 设 CN=a，则 MN=2a CDE=DCF=45，CNF，MGF 均为等腰直角三角形，NF=CN=a，CF=a，MF=MN+NF=3a，MG=FG=a，CG=FGFC=a，M（a，3+a）代入抛物线 y=（x3）（x+1），解得 a=，M（，）；若点 N 在射线 DC 上，如备用图 2，MN 交 y 轴于点 F，过点 M 作 MGy 轴于点 G

85、CMN=BDE，CNM=BED=90，MCNDBE，=，MN=2CN 设 CN=a，则 MN=2a CDE=45，CNF，MGF 均为等腰直角三角形，NF=CN=a，CF=a，MF=MNNF=a，MG=FG=a，CG=FG+FC=a，M（a，3+a）代入抛物线 y=（x3）（x+1），解得 a=5，M（5，12）；（）当点 M 在对称轴左侧时 CMN=BDE45，MCN45，而抛物线左侧任意一点 K，都有KCN45，点 M 不存在 综上可知，点 M 坐标为（，）或（5，12）点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，运用待定系数法求一次函数

86、、二次函数的解析式，勾股定理，等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度（2）中第问进行分类讨论及运用数形结合的思想是解题的关键 22、（2013嘉兴压轴题）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=（xm）2m2+m 的顶点为 A，与 y 轴的交点为 B，连结 AB，ACAB，交 y 轴于点 C，延长 CA 到点 D，使 AD=AC，连结 BD作 AEx 轴，DEy 轴（1）当 m=2 时，求点 B 的坐标；（2）求 DE 的长？（3）设点 D 的坐标为（x，y），求 y 关于 x 的函数关系式？过点 D 作 AB 的平行线，与第（3）题确定的函数图象的另一个交点为

87、 P，当 m 为何值时，以，A，B，D，P 为顶点的四边形是平行四边形？考点：二次函数综合题 专题：数形结合 分析：（1）将 m=2 代入原式，得到二次函数的顶点式，据此即可求出 B 点的坐标；（2）延长 EA，交 y 轴于点 F，证出AFCAED，进而证出ABFDAE，利用相似三角形的性质，求出 DE=4；（3）根据点 A 和点 B 的坐标，得到 x=2m，y=m2+m+4，将 m=代入 y=m2+m+4，即可求出二次函数的表达式；作 PQDE 于点 Q，则DPQBAF，然后分（如图 1）和（图 2）两种情况解答 解答：解：（1）当 m=2 时，y=（x2）2+1，把 x=0 代入 y=（x

88、2）2+1，得：y=2，点 B 的坐标为（0，2）（2）延长 EA，交 y 轴于点 F，AD=AC，AFC=AED=90，CAF=DAE，AFCAED，AF=AE，点 A（m，m2+m），点 B（0，m），AF=AE=|m|，BF=m（m2+m）=m2，ABF=90BAF=DAE，AFB=DEA=90，ABFDAE，=，即：=，DE=4 （3）点 A 的坐标为（m，m2+m），点 D 的坐标为（2m，m2+m+4），x=2m，y=m2+m+4，y=+4，所求函数的解析式为：y=x2+x+4，作 PQDE 于点 Q，则DPQBAF，（）当四边形 ABDP 为平行四边形时（如图 1），点 P 的横

89、坐标为 3m，点 P 的纵坐标为：（m2+m+4）（m2）=m2+m+4，把 P（3m，m2+m+4）的坐标代入 y=x2+x+4 得：m2+m+4=（3m）2+（3m）+4，解得：m=0（此时 A，B，D，P 在同一直线上，舍去）或 m=8（）当四边形 ABDP 为平行四边形时（如图 2），点 P 的横坐标为 m，点 P 的纵坐标为：（m2+m+4）+（m2）=m+4，把 P（m，m+4）的坐标代入 y=x2+x+4 得：m+4=m2+m+4，解得：m=0（此时 A，B，D，P 在同一直线上，舍去）或 m=8，综上所述：m 的值为 8 或8 点评：本题是二次函数综合题，涉及四边形的知识，同时

90、也是存在性问题，解答时要注意数形结合及分类讨论 23、（2013巴中压轴题）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为 O，A 点坐标为（4，0），B 点坐标为（1，0），以 AB 的中点 P 为圆心，AB 为直径作P 的正半轴交于点 C（1）求经过 A、B、C 三点的抛物线所对应的函数解析式；（2）设 M 为（1）中抛物线的顶点，求直线 MC 对应的函数解析式；（3）试说明直线 MC 与P 的位置关系，并证明你的结论 考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；勾股定理的逆定理；切线的判定 专题：计算题 分析：（1）求出

91、半径，根据勾股定理求出 C 的坐标，设经过 A、B、C 三点抛物线解析式是y=a（x4）（x+1），把 C（0，2）代入求出 a 即可；（2）求出 M 的坐标，设直线 MC 对应函数表达式是 y=kx+b，把 C（0，2），M（，）代入得到方程组，求出方程组的解即可；（3）根据点的坐标和勾股定理分别求出 PC、DC、PD 的平方，根据勾股定理的逆定理得出PCD=90，即可求出答案 解答：解：（1）A（4，0），B（1，0），AB=5，半径是 PC=PB=PA=，OP=1=，在CPO 中，由勾股定理得：OC=2，C（0，2），设经过 A、B、C 三点抛物线解析式是 y=a（x4）（x+1），把

92、C（0，2）代入得：2=a（04）（0+1），a=，y=（x4）（x+1）=x2+x+2，答：经过 A、B、C 三点抛物线解析式是 y=x2+x+2 （2）y=x2+x+2=+，M（，），设直线 MC 对应函数表达式是 y=kx+b，把 C（0，2），M（，）代入得：，解得：k=，b=2，y=x+2，y=x+2 答：直线 MC 对应函数表达式是 y=x+2 （3）MC 与P 的位置关系是相切 证明：设直线 MC 交 x 轴于 D，当 y=0 时，0=x+2，x=，OD=，D（，0），在COD 中，由勾股定理得：CD2=22+=，PC2=，PD2=，CD2+PC2=PD2，PCD=90，PCDC

93、，PC 为半径，MC 与P 的位置关系是相切 本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程组，二次函数的最值，切线的判定等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键 24、（2013烟台压轴题）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是边长为 2 的正方形，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A，B，与 x 轴分别交于点 E，F，且点 E 的坐标为（23，0），以 0C 为直径作半圆，圆心为 D（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线 BE 是D 的切线；（3）若直线 BE 与抛物线的对称轴交点为 P

94、，M 是线段 CB 上的一个动点（点 M 与点 B，C 不重合），过点 M 作 MNBE 交 x 轴与点 N，连结 PM，PN，设 CM 的长为 t，PMN 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围S 是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由 考点：二次函数综合题 分析：（1）根据题意易得点 A、B 的坐标，然后把点 A、B、E 的坐标分别代入二次函数解析式，列出关于 a、b、c 的方程组，利用三元一次方程组来求得系数的值；（2）如图，过点 D 作 DGBE 于点 G，构建相似三角形EGDECB，根据它的对应边成比例得到=，由此求得 DG=1（

95、圆的半径是 1），则易证得结论；（3）利用待定系数法可求得直线 BE 的方程则易求 P 点坐标然后由相似三角形MNCBEC 的对应边成比例，线段间的和差关系得到 CN=t，DN=t1所以 S=SPND+S 梯形 PDCMSMNC=+t（0t2）由抛物线的性质可以求得 S 的最值 解答：解：（1）由题意，得 A（0，2），B（2，2），E 的坐标为（23，0），则，解得，该二次函数的解析式为：y=98x2+94x+2；（2）如图，过点 D 作 DGBE 于点 G 由题意，得 ED=+1=，EC=2+=，BC=2，BE=BEC=DEG，EGD=ECB=90，EGDECB，=，DG=1 D 的半径是

96、 1，且 DGBE，BE 是D 的切线；（3）由题意，得 E（23，0），B（2，2）设直线 BE 为 y=kx+h（k0）则，解得，直线 BE 为：y=34x+12 直线 BE 与抛物线的对称轴交点为 P，对称轴直线为 x=1，点 P 的纵坐标 y=54，即 P（1，54）MNBE，MNC=BEC C=C=90，MNCBEC，=，=2t，则 CN=43t，DN=t1，SPND=12DNPD=5568t SMNC=12CNCM=23t2 S 梯形 PDCM=（12PD+CM）CD=5182 t S=SPND+S 梯形 PDCMSMNC=+t（0t2）抛物线 S=+t（0t2）的开口方向向下，S

97、 存在最大值当 t=1 时，S 最大=23 点评：本题考查了二次函数综合题，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质以及二次函数最值的求法注意配方法在（3）题中的应用 25、（2013 菏泽压轴题）如图，三角形 ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形，点 A、C 分别是一次函数 y=x+3 的图象与 y 轴的交点，点 B 在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点 D 使四边形 ABCD 能构成平行四边形（1）试求 b，c 的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点 P 从 A 到 D，同时动点 Q 从 C 到 A 都以每秒 1 个单位的速度运动，问：当 P

98、运动到何处时，有 PQAC？当 P 运动到何处时，四边形 PDCQ 的面积最小？此时四边形 PDCQ 的面积是多少？考点：二次函数综合题 分析：（1）根据一次函数解析式求出点 A点 C 坐标，再由ABC 是等腰三角形可求出点 B坐标，根据平行四边形的性性质求出点 D 坐标，利用待定系数法可求出 b、c 的值，继而得出二次函数表达式（2）设点 P 运动了 t 秒时，PQAC，此时 AP=t，CQ=t，AQ=5t，再由APQCAO，利用对应边成比例可求出 t 的值，继而确定点 P 的位置；只需使APQ 的面积最大，就能满足四边形 PDCQ 的面积最小，设APQ 底边 AP 上的高为h，作 QHAD

99、 于点 H，由AQHCAO，利用对应边成比例得出 h 的表达式，继而表示出APQ的面积表达式，利用配方法求出最大值，即可得出四边形 PDCQ 的最小值，也可确定点 P 的位置 解答：解：（1）由 y=x+3，令 x=0，得 y=3，所以点 A（0，3）；令 y=0，得 x=4，所以点 C（4，0），ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形，B 点坐标为（4，0），又四边形 ABCD 是平行四边形，D 点坐标为（8，3），将点 B（4，0）、点 D（8，3）代入二次函数 y=x2+bx+c，可得，解得：，故该二次函数解析式为：y=x2x3（2）设点 P 运动了 t 秒时，PQAC，此时 AP=t，

100、CQ=t，AQ=5t，PQAC，APQCAO，=，即=，解得：t=即当点 P 运动到距离 A 点个单位长度处，有 PQAC S 四边形 PDCQ+SAPQ=SACD，且 SACD=83=12，当APQ 的面积最大时，四边形 PDCQ 的面积最小，当动点 P 运动 t 秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5t，设APQ 底边 AP 上的高为 h，作 QHAD 于点 H，由AQHCAO 可得：=，解得：h=（5t），SAPQ=t（5t）=（t2+5t）=（t）2+，当 t=时，SAPQ达到最大值，此时 S 四边形 PDCQ=12=，故当点 P 运动到距离点 A 个单位处时，四边形 PDCQ 面积最小，

101、最小值为 点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是找到满足题意时的相似三角形，利用对应边成比例的知识得出有关线段的长度或表达式，难度较大 26、（2013包头压轴题）已知抛物线 y=x23x 的顶点为点 D，并与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴相交于点 C（1）求点 A、B、C、D 的坐标；（2）在 y 轴的正半轴上是否存在点 P，使以点 P、O、A 为顶点的三角形与AOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）取点 E（，0）和点 F（0，），直线 l

102、经过 E、F 两点，点 G 是线段 BD 的中点 点 G 是否在直线 l 上，请说明理由；在抛物线上是否存在点 M，使点 M 关于直线 l 的对称点在 x 轴上？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 考点：二次函数综合题3718684 专题：代数几何综合题 分析：（1）令 y=0，解关于 x 的一元二次方程求出 A、B 的坐标，令 x=0 求出点 C 的坐标，再根据顶点坐标公式计算即可求出顶点 D 的坐标；（2）根据点 A、C 的坐标求出 OA、OC 的长，再分 OA 和 OA 是对应边，OA 和 OC 是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出 OP 的长，从而得解；（

103、3）设直线 l 的解析式为 y=kx+b（k0），利用待定系数法求一次函数解析式求出直线 l 的解析式，再利用中点公式求出点 G 的坐标，然后根据直线上点的坐标特征验证即可；设抛物线的对称轴与 x 轴交点为 H，求出 OE、OF、HD、HB 的长，然后求出OEF 和HDB 相似，根据相似三角形对应角相等求出OFE=HBD，然后求出 EGBD，从而得到直线 l 是线段 BD 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质点 D 关于直线 l 的对称点就是 B，从而判断出点 M 就是直线 DE 与抛物线的交点，再设直线 DE 的解析式为 ymx+n，利用待定系数法求一次函数解析求出直线 DE 的解析式，然

104、后与抛物线解析式联立求解即可得到符合条件的点 M 解答：解：（1）令 y=0，则 x23x=0，整理得，4x212x7=0，解得 x1=，x2=，所以，A（，0），B（，0），令 x=0，则 y=，所以，C（0，），=，=4，顶点 D（，4）；（2）在 y 轴正半轴上存在符合条件的点 P，设点 P 的坐标为（0，y），A（，0），C（0，），OA=，OC=，OP=y，若 OA 和 OA 是对应边，则AOPAOC，=，y=OC=，此时点 P（0，），若 OA 和 OC 是对应边，则POAAOC，=，即=，解得 y=，此时点 P（0，），所以，符合条件的点 P 有两个，P（0，）或（0，）；（3）

105、设直线 l 的解析式为 y=kx+b（k0），直线 l 经过点 E（，0）和点 F（0，），解得，所以，直线 l 的解析式为 y=x，B（，0），D（，4），（+）=，0+（4）=2，线段 BD 的中点 G 的坐标为（，2），当 x=时，y=2，所以，点 G 在直线 l 上；在抛物线上存在符合条件的点 M 设抛物线的对称轴与 x 轴交点为 H，则点 H 的坐标为（，0），E（，0）、F（0，），B（，0）、D（，4），OE=，OF=，HD=4，HB=2，=，OEF=HDB，OEFHDB，OFE=HBD，OEF+OFE=90，OEF+HBD=90，EGB=180（OEF+HBD）=18090=9

106、0，直线 l 是线段 BD 的垂直平分线，点 D 关于直线 l 的对称点就是点 B，点 M 就是直线 DE 与抛物线的交点，设直线 DE 的解析式为 y=mx+n，D（，4），（，0），解得，所以，直线 DE 的解析式为 y=x2，联立，解得，符合条件的点 M 有两个，是（，4）或（，）点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点的求解，求顶点坐标，待定系数法求一次函数解析式，点在直线上的验证，相似三角形的判定与性质，联立两函数解析式求交点坐标的方法，综合性较强，难度较大，（2）要根据对应边的不同分情况讨论，（3）求出直线 l 是线段 BD 的垂直平分线是解题的关键 27、（2

107、013株洲压轴题）已知抛物线 C1的顶点为 P（1，0），且过点（0，）将抛物线 C1向下平移 h 个单位（h0）得到抛物线 C2一条平行于 x 轴的直线与两条抛物线交于 A、B、C、D 四点（如图），且点 A、C 关于 y 轴对称，直线 AB 与 x 轴的距离是 m2（m0）（1）求抛物线 C1的解析式的一般形式；（2）当 m=2 时，求 h 的值；（3）若抛物线 C1的对称轴与直线 AB 交于点 E，与抛物线 C2交于点 F求证：tanEDFtanECP=考点：二次函数综合题 专题：代数几何综合题 分析：（1）设抛物线 C1的顶点式形式 y=a（x1）2，（a0），然后把点（0，）代入求出

108、a 的值，再化为一般形式即可；（2）先根据 m 的值求出直线 AB 与 x 轴的距离，从而得到点 B、C 的纵坐标，然后利用抛物线解析式求出点 C 的横坐标，再根据关于 y 轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求出点 A 的坐标，然后根据平移的性质设出抛物线 C2的解析式，再把点 A的坐标代入求出 h 的值即可；（3）先把直线 AB 与 x 轴的距离是 m2代入抛物线 C1的解析式求出 C 的坐标，从而求出 CE，再表示出点 A 的坐标，根据抛物线的对称性表示出 ED，根据平移的性质设出抛物线 C2的解析式，把点 A 的坐标代入求出 h 的值，然后表示出 EF，最后根据锐角的正切值等于对边

109、比邻边列式整理即可得证 解答：（1）解：设抛物线 C1的顶点式形式 y=a（x1）2，（a0），抛物线过点（0，），a（01）2=，解得 a=，抛物线 C1的解析式为 y=（x1）2，一般形式为 y=x2 x+；（2）解：当 m=2 时，m2=4，BCx 轴，点 B、C 的纵坐标为 4，（x1）2=4，解得 x1=5，x2=3，点 B（3，4），C（5，4），点 A、C 关于 y 轴对称，点 A 的坐标为（5，4），设抛物线 C2的解析式为 y=（x1）2h，则（51）2h=4，解得 h=5；（3）证明：直线 AB 与 x 轴的距离是 m2，点 B、C 的纵坐标为 m2，（x1）2=m2，解得

110、 x1=1+2m，x2=12m，点 C 的坐标为（1+2m，m2），又抛物线 C1的对称轴为直线 x=1，CE=1+2m1=2m，点 A、C 关于 y 轴对称，点 A 的坐标为（12m，m2），AE=ED=1（12m）=2+2m，设抛物线 C2的解析式为 y=（x1）2h，则（12m1）2h=m2，解得 h=2m+1，EF=h+m2=m2+2m+1，tanEDFtanECP=，tanEDFtanECP=点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与结合变换，关于 y 轴对称的点的坐标特征，抛物线上点的坐标特征，锐角的正切的定义，（3）用 m 表示出相应的线段

111、是解题的关键，也是本题的难点 28、（2013娄底）已知：一元二次方程 x2+kx+k=0（1）求证：不论 k 为何实数时，此方程总有两个实数根；（2）设 k0，当二次函数 y=x2+kx+k的图象与 x 轴的两个交点 A、B 间的距离为 4 时，求此二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为 C，过 y 轴上一点 M（0，m）作 y 轴的垂线 l，当 m 为何值时，直线 l 与ABC 的外接圆有公共点？考点：二次函数综合题 分析：（1）根据一元二次方程的根的判别式=b24ac 的符号来判定已知方程的根的情况；（2）利用根与系数的关系（|xAxB|=4）列出关于 k 的方程，通

112、过解方程来求 k 的值；（3）根据直线与圆的位置的位置关系确定 m 的取值范围 解答：（1）证明：=k24（k）=k22k+1=（k1）20，关于 x 的一元二次方程 x2+kx+k=0，不论 k 为何实数时，此方程总有两个实数根；（2）令 y=0，则 x2+kx+k=0 xA+xB=2k，xAxB=2k1，|xAxB|=2|k1|=4，即|k1|=2，解得 k=3（不合题意，舍去），或 k=1 此二次函数的解析式是 y=x2x；（3）由（2）知，抛物线的解析式是 y=x2x 易求 A（1，0），B（3，0），C（1，2），AB=4，AC=2，BC=2 显然 AC2+BC2=AB2，得ABC

113、是等腰直角三角形AB 为斜边，外接圆的直径为 AB=4，2m2 点评：本题综合考查了二次函数综合题，其中涉及到的知识点有：抛物线与 x 轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式以及直线与圆的关系，范围较广，难度较大 29、（2013张家界压轴题）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象过点 C（0，1），顶点为 Q（2，3），点 D 在 x 轴正半轴上，且 OD=OC（1）求直线 CD 的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转 45所得直线与抛物线相交于另一点 E，求证：CEQCDO；（4）在（3）的条件下，若点 P 是线段 QE 上的动点，点 F

114、是线段 OD 上的动点，问：在 P点和 F 点移动过程中，PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由 考点：二次函数综合题3718684 分析：（1）利用待定系数法求出直线解析式；（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（3）关键是证明CEQ 与CDO 均为等腰直角三角形；（4）如答图所示，作点 C 关于直线 QE 的对称点 C，作点 C 关于 x 轴的对称点 C，连接 CC，交 OD 于点 F，交 QE 于点 P，则PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF 的周长等于线段 CC的长度 利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时PC

115、F 的周长最小 如答图所示，利用勾股定理求出线段 CC的长度，即PCF 周长的最小值 解答：解：（1）C（0，1），OD=OC，D 点坐标为（1，0）设直线 CD 的解析式为 y=kx+b（k0），将 C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：b=1，k=1，直线 CD 的解析式为：y=x+1 （2）设抛物线的解析式为 y=a（x2）2+3，将 C（0，1）代入得：1=a（2）2+3，解得 a=y=（x2）2+3=x2+2x+1 （3）证明：由题意可知，ECD=45，OC=OD，且 OCOD，OCD 为等腰直角三角形，ODC=45，ECD=ODC，CEx 轴，则点 C、E 关于对称轴（直线 x

116、=2）对称，点 E 的坐标为（4，1）如答图所示，设对称轴（直线 x=2）与 CE 交于点 F，则 F（2，1），ME=CM=QM=2，QME 与QMC 均为等腰直角三角形，QEC=QCE=45 又OCD 为等腰直角三角形，ODC=OCD=45，QEC=QCE=ODC=OCD=45，CEQCDO （4）存在 如答图所示，作点 C 关于直线 QE 的对称点 C，作点 C 关于 x 轴的对称点 C，连接 CC，交 OD 于点 F，交 QE 于点 P，则PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF 的周长等于线段 CC的长度（证明如下：不妨在线段 OD 上取异于点 F 的任一点

117、 F，在线段 QE 上取异于点 P 的任一点 P，连接 FC，FP，PC 由轴对称的性质可知，PCF的周长=FC+FP+PC；而 FC+FP+PC是点 C，C之间的折线段，由两点之间线段最短可知：FC+FP+PCCC，即PCF的周长大于PCE 的周长）如答图所示，连接 CE，C，C关于直线 QE 对称，QCE 为等腰直角三角形，QCE 为等腰直角三角形，CEC为等腰直角三角形，点 C的坐标为（4，5）；C，C关于 x 轴对称，点 C的坐标为（1，0）过点 C作 CNy 轴于点 N，则 NC=4，NC=4+1+1=6，在 RtCNC中，由勾股定理得：CC=综上所述，在 P 点和 F 点移动过程中

118、，PCF 的周长存在最小值，最小值为 点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、勾股定理、轴对称的性质等重要知识点，涉及考点较多，有一点的难度本题难点在于第（4）问，如何充分利用轴对称的性质确定PCF 周长最小时的几何图形，是解答本题的关键 30、（2013衡阳）如图，已知抛物线经过 A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是 x=1（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）动点 Q 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度在线段 OA 上运动，同时动点 M 从 M从 O 点出发以每秒 3 个单位长度的速度在线段 OB 上运动，过点 Q 作

119、x 轴的垂线交线段 AB于点 N，交抛物线于点 P，设运动的时间为 t 秒 当 t 为何值时，四边形 OMPQ 为矩形；AON 能否为等腰三角形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由 考点：二次函数综合题 分析：（1）利用顶点式、待定系数法求出抛物线的解析式；（2）当四边形 OMPQ 为矩形时，满足条件 OM=PQ，据此列一元二次方程求解；AON 为等腰三角形时，可能存在三种情形，需要分类讨论，逐一计算 解答：解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+k，点 A（1，0），B（0，3）在抛物线上，解得：a=1，k=4，抛物线的解析式为：y=（x+1）2+4 （2）四边形

120、OMPQ 为矩形，OM=PQ，即 3t=（t+1）2+4，整理得：t2+5t3=0，解得 t=，由于 t=0，故舍去，当 t=秒时，四边形 OMPQ 为矩形；RtAOB 中，OA=1，OB=3，tanA=3 若AON 为等腰三角形，有三种情况：（I）若 ON=AN，如答图 1 所示：过点 N 作 NDOA 于点 D，则 D 为 OA 中点，OD=OA=，t=；（II）若 ON=OA，如答图 2 所示：过点 N 作 NDOA 于点 D，设 AD=x，则 ND=ADtanA=3x，OD=OAAD=1x，在 RtNOD 中，由勾股定理得：OD2+ND2=ON2，即（1x）2+（3x）2=12，解得

121、x1=，x2=0（舍去），x=，OD=1x=，t=；（III）若 OA=AN，如答图 3 所示：过点 N 作 NDOA 于点 D，设 AD=x，则 ND=ADtanA=3x，在 RtAND 中，由勾股定理得：ND2+AD2=AN2，即（x）2+（3x）2=12，解得 x1=，x2=（舍去），OD=1x=1，t=1 综上所述，当 t 为 秒、秒，（1）秒时，AON 为等腰三角形 点评：本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、勾股定理、解直角三角形、矩形性质、等腰三角形的性质等知识点，综合性比较强，有一定的难度第（2）问为运动型与存在型的综合性问题，注意要弄清动点的运动过程，进

122、行分类讨论计算 31、（2013郴州压轴题）如图，在直角梯形 AOCB 中，ABOC，AOC=90，AB=1，AO=2，OC=3，以 O 为原点，OC、OA 所在直线为轴建立坐标系抛物线顶点为 A，且经过点 C点 P在线段 AO 上由 A 向点 O 运动，点 O 在线段 OC 上由 C 向点 O 运动，QDOC 交 BC 于点 D，OD所在直线与抛物线在第一象限交于点 E（1）求抛物线的解析式；（2）点 E是 E 关于 y 轴的对称点，点 Q 运动到何处时，四边形 OEAE是菱形？（3）点 P、Q 分别以每秒 2 个单位和 3 个单位的速度同时出发，运动的时间为 t 秒，当 t为何值时，PBO

123、D？考点：二次函数综合题3718684 分析：（1）根据顶点式将 A，C 代入解析式求出 a 的值，进而得出二次函数解析式；（2）利用菱形的性质得出 AO 与 EE互相垂直平分，利用 E 点纵坐标得出 x 的值，进而得出 BC，EO 直线解析式，再利用两直线交点坐标求法得出 Q 点坐标，即可得出答案；（3）首先得出APBQDO，进而得出=，求出 m 的值，进而得出答案 解答：解：（1）A（0，2）为抛物线的顶点，设 y=ax2+2，点 C（3，0），在抛物线上，9a+2=0，解得：a=，抛物线为；y=x2+2；（2）如果四边形 OEAE是菱形，则 AO 与 EE互相垂直平分，EE经过 AO 的

124、中点，点 E 纵坐标为 1，代入抛物线解析式得：1=x2+2，解得：x=，点 E 在第一象限，点 E 为（，1），设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，把 B（1，2），C（3，0），代入得：，解得：，BC 的解析式为：y=x+3，将 E 点代入 y=ax，可得出 EO 的解析式为：y=x，由，得：，Q 点坐标为：（，0），当 Q 点坐标为（，0）时，四边形 OEAE是菱形；（3）法一：设 t 为 m 秒时，PBDO，又 QDy 轴，则有APB=AOE=ODQ，又BAP=DQO，则有APBQDO，=，由题意得：AB=1，AP=2m，QO=33m，又点 D 在直线 y=x+3 上，DQ=3m，

125、因此：=，解得：m=，经检验：m=是原分式方程的解，当 t=秒时，PBOD 法二：作 BHOC 于 H，则 BH=AO=2，OH=AB=1，HC=OCOH=2，BH=HC，BCH=CBH=45，易知 DQ=CQ，设 t 为 m 秒时 PBOE，则ABPQOD，=，易知 AP=2m，DQ=CQ=3m，QO=33m，=，解得 m=，经检验 m=是方程的解，当 t 为 秒时，PBOD 点评：此题主要考查了菱形的判定与性质以及顶点式求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质等知识，根据数形结合得出APBQDO 是解题关键 32、（2013常德）如图，已知二次函数的图象过点 A（0，3），B（，），对称

126、轴为直线 x=，点 P 是抛物线上的一动点，过点 P 分别作 PMx 轴于点 M，PNy 轴于点 N，在四边形 PMON 上分别截取 PC=MP，MD=OM，OE=ON，NF=NP（1）求此二次函数的解析式；（2）求证：以 C、D、E、F 为顶点的四边形 CDEF 是平行四边形；（3）在抛物线上是否存在这样的点 P，使四边形 CDEF 为矩形？若存在，请求出所有符合条件的 P 点坐标；若不存在，请说明理由 考点：二次函数综合题3718684 分析：（1）利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式；（2）证明PCFOED，得 CF=DE；证明CDMFEN，得 CD=EF这样四边形 CDEF两组对边

127、分别对应相等，所以四边形 CDEF 是平行四边形；（3）根据已知条件，利用相似三角形PCFMDC，可以证明矩形 PMON 是正方形这样点 P 就是抛物线 y=x2+x3 与坐标象限角平分线 y=x 或 y=x 的交点，联立解析式解方程组，分别求出点 P 的坐标符合题意的点 P 有四个，在四个坐标象限内各一个 解答：（1）解：设抛物线的解析式为：y=a（x+）2+k，点 A（0，3），B（，）在抛物线上，解得：a=1，k=抛物线的解析式为：y=（x+）2=x2+x3 （2）证明：如右图，连接 CD、DE、EF、FC PMx 轴于点 M，PNy 轴于点 N，四边形 PMON 为矩形，PM=ON，P

128、N=OM PC=MP，OE=ON，PC=OE；MD=OM，NF=NP，MD=NF，PF=OD 在PCF 与OED 中，PCFOED（SAS），CF=DE 同理可证：CDMFEN，CD=EF CF=DE，CD=EF，四边形 CDEF 是平行四边形 （3）解：假设存在这样的点 P，使四边形 CDEF 为矩形 设矩形 PMON 的边长 PM=ON=m，PN=OM=n，则 PC=m，MC=m，MD=n，PF=n 若四边形 CDEF 为矩形，则DCF=90，易证PCFMDC，即，化简得：m2=n2，m=n，即矩形 PMON 为正方形 点 P 为抛物线 y=x2+x3 与坐标象限角平分线 y=x 或 y=

129、x 的交点 联立，解得，P1（，），P2（，）；联立，解得，P3（3，3），P4（1，1）抛物线上存在点 P，使四边形 CDEF 为矩形这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐标分别为：P1（，），P2（，），P3（3，3），P4（1，1）点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、相似三角形、解方程、矩形、正方形等知识点，所涉及的考点较多，但难度均匀，是一道好题第（2）问的要点是全等三角形的证明，第（3）问的要点是判定四边形 PMON必须是正方形，然后列方程组求解 33、（2013孝感压轴题）如图 1，已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边

130、 BC 上，若AEF=90，且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F（1）图 1 中若点 E 是边 BC 的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明 AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；（2）如图 2，若点 E 在线段 BC 上滑动（不与点 B，C 重合）AE=EF 是否总成立？请给出证明；在如图 2 的直角坐标系中，当点 E 滑动到某处时，点 F 恰好落在抛物线 y=x2+x+1 上，求此时点 F 的坐标 考点：二次函数综合题 专题：综合题 分析：（1）取 AB 的中点 G，连接 EG，利用 SSS 能得到AGE 与ECF 全等；（2）在 AB 上

131、截取 AM=EC，证得AMEECF 即可证得 AE=EF；过点 F 作 FHx 轴于 H，根据 FH=BE=CH 设 BH=a，则 FH=a1，然后表示出点 F 的坐标，根据点 F 恰好落在抛物线 y=x2+x+1 上得到有关 a 的方程求得 a 值即可求得点 F的坐标；解答：（1）解：如图 1，取 AB 的中点 G，连接 EG AGE 与ECF 全等 （2）若点 E 在线段 BC 上滑动时 AE=EF 总成立 证明：如图 2，在 AB 上截取 AM=EC AB=BC，BM=BE，MBE 是等腰直角三角形，AME=18045=135，又CF 平分正方形的外角，ECF=135，AME=ECF 而

132、BAE+AEB=CEF+AEB=90，BAE=CEF，AMEECF AE=EF 过点 F 作 FHx 轴于 H，由知，FH=BE=CH，设 BH=a，则 FH=a1，点 F 的坐标为 F（a，a1）点 F 恰好落在抛物线 y=x2+x+1 上，a1=a2+a+1，a2=2，（负值不合题意，舍去），点 F 的坐标为 点评：本题考查了二次函数的综合知识，题目中涉及到了全等的知识，还渗透了方程思想，是一道好题 34、（2013咸宁压轴题）如图，已知直线 y=x+1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，将AOB绕点 O 顺时针旋转 90后得到COD（1）点 C 的坐标是（0，3）线段 AD 的

133、长等于 4；（2）点 M 在 CD 上，且 CM=OM，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 G，M，求抛物线的解析式；（3）如果点 E 在 y 轴上，且位于点 C 的下方，点 F 在直线 AC 上，那么在（2）中的抛物线上是否存在点 P，使得以 C，E，F，P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长 l；若不存在，请说明理由 考点：二次函数综合题 分析：（1）首先求出图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B 的坐标，进而得出 C 点坐标以及线段 AD 的长；（2）首先得出点 M 是 CD 的中点，即可得出 M 点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；（3）分别根据当点 F

134、在点 C 的左边时以及当点 F 在点 C 的右边时，分析四边形 CFPE为菱形得出即可 解答：（1）点 C 的坐标是（0,3），线段 AD 的长等于 4；3 分（说明：前一个空为 1 分，后一个空为 2 分）（2）OMCM,COMOCM.90MODCOMODMOCM,MODODM,CMMDOM,点 M 是CD 的中点，4 分点 M 的坐标为)23,21(.5 分（说明：由 CMOM 得到点 M 在 OC 在垂直平分线上，所以点 M 的纵坐标为 23，再求出直线 CD 的解析式，进而求出点 M 的坐标也可.）抛物线cbxxy2经过点 C，M，2321413cbc，解得：327cb.6 分抛物线c

135、bxxy2的解析式为：3272xxy.7 分（3）抛物线上存在点 P，使得以 C，E，F，P 为顶点的四边形是菱形.8 分情形 1：如图 1，当点 F 在点C 的左边时，四边形CFEP 为菱形.PCEFCE,由题意可知，OCOA 45PCEACO,90FCP,菱形CFEP 为正方形.过点 P 作CEPH,垂足为 H,则 RtCHP 为等腰直角三角形.PHCHCP22.9 分设点 P 为（x，3272xx），则OH3272xx,xPH，OHOCCHPH,3-(3272xx)=x，解得：25x 2252252CHCP，OyxACEPF图 1 H菱形CFEP 的周长为：2104225.10 分情形

136、2：如图 2，当点 F 在点C 的右边时，四边形 CFPE 为菱形.PFCF，CE FP.直线 AC 过点 A（-3,0），点C（0,3），直线 AC 的解析式为：3 xy.过点C 作PFCM，垂足为 M,则 Rt CMF 为 等 腰 直 角 三 角形,FMCM.延长 FP 交 x 轴于点 N,则PNx 轴,PNFNFP.11 分设点 P 为（x，3272xx），则点 F 为（x，3x），xFC2，)3(xFPxxxx29)327(22，xxx2922，解得：229 x，22292xFC，菱形CFEP 的周长为：（2229）82184.综上所述，这样的菱形存在，它的周长为210或8218.12

137、 分 点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及菱形的判定与性质等知识，根据已知进行分类讨论得出是解题关键 35、（2013十堰压轴题）已知抛物线 y=x22x+c 与 x 轴交于 AB 两点，与 y 轴交于 C 点，抛物线的顶点为 D 点，点 A 的坐标为（1，0）（1）求 D 点的坐标；（2）如图 1，连接 AC，BD 并延长交于点 E，求E 的度数；（3）如图 2，已知点 P（4，0），点 Q 在 x 轴下方的抛物线上，直线 PQ 交线段 AC 于点 M，当PMA=E 时，求点 Q 的坐标 OyxACEPF图 2 MN 考点：二次函数综合题3718684 分析：（1）将点 A 的坐标代入到

138、抛物线的解析式求得 c 值，然后配方后即可确定顶点 D 的坐标；（2）连接 CD、CB，过点 D 作 DFy 轴于点 F，首先求得点 C 的坐标，然后证得DCBAOC 得到CBD=OCA，根据ACB=CBD+E=OCA+OCB，得到E=OCB=45；（3）设直线 PQ 交 y 轴于 N 点，交 BD 于 H 点，作 DGx 轴于 G 点，增大DGBPON后利用相似三角形的性质求得 ON 的长，从而求得点 N 的坐标，进而求得直线 PQ 的解析式，设 Q（m，n），根据点 Q 在 y=x22x3 上，得到 m2=m22m3，求得 m、n 的值后即可求得点 Q 的坐标 解答：解：（1）把 x=1，

139、y=0 代入 y=x22x+c 得：1+2+c=0 c=3 y=x22x3=y=（x1）24 顶点坐标为（1，4）；（2）如图 1，连接 CD、CB，过点 D 作 DFy 轴于点 F，由 x22x3=0 得 x=1 或 x=3 B（3，0）当 x=0 时，y=x22x3=3 C（0，3）OB=OC=3 BOC=90，OCB=45，BC=3 又DF=CF=1，CFD=90，FCD=45，CD=，BCD=180OCBFCD=90 BCD=COA 又 DCBAOC，CBD=OCA 又ACB=CBD+E=OCA+OCB E=OCB=45，（3）如图 2，设直线 PQ 交 y 轴于 N 点，交 BD 于

140、 H 点，作 DGx 轴于 G 点 PMA=45，EMH=45，MHE=90，PHB=90，DBG+OPN=90 又ONP+OPN=90，DBG=ONP 又DGB=PON=90，DGB=PON=90，DGBPON 即：=ON=2，N（0，2）设直线 PQ 的解析式为 y=kx+b 则 解得：y=x2 设 Q（m，n）且 n0，n=m2 又Q（m，n）在 y=x22x3 上，n=m22m3 m2=m22m3 解得：m=2 或 m=n=3 或 n=点 Q 的坐标为（2，3）或（，）点评：本题考查了二次函数的综合知识，难度较大，题目中渗透了许多的知识点，特别是二次函数与相似三角形的结合，更是一个难点

141、，同时也是中考中的常考题型之一 36、（2013恩施州压轴题）如图所示，直线 l：y=3x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B把AOB 沿 y 轴翻折，点 A 落到点 C，抛物线过点 B、C 和 D（3，0）（1）求直线 BD 和抛物线的解析式（2）若 BD 与抛物线的对称轴交于点 M，点 N 在坐标轴上，以点 N、B、D 为顶点的三角形与MCD 相似，求所有满足条件的点 N 的坐标（3）在抛物线上是否存在点 P，使 SPBD=6？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 考点：二次函数综合题 分析：（1）由待定系数法求出直线 BD 和抛物线的解析式；（2）首先确定MCD 为

142、等腰直角三角形，因为BND 与MCD 相似，所以BND 也是等腰直角三角形如答图 1 所示，符合条件的点 N 有 3 个；（3）如答图 2、答图 3 所示，解题关键是求出PBD 面积的表达式，然后根据 SPBD=6的已知条件，列出一元二次方程求解 解答：解：（1）直线 l：y=3x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，A（1，0），B（0，3）；把AOB 沿 y 轴翻折，点 A 落到点 C，C（1，0）设直线 BD 的解析式为：y=kx+b，点 B（0，3），D（3，0）在直线 BD 上，解得 k=1，b=3，直线 BD 的解析式为：y=x+3 设抛物线的解析式为：y=a（x1）（

143、x3），点 B（0，3）在抛物线上，3=a（1）（3），解得：a=1，抛物线的解析式为：y=（x1）（x3）=x24x+3 （2）抛物线的解析式为：y=x24x+3=（x2）21，抛物线的对称轴为直线 x=2，顶点坐标为（2，1）直线 BD：y=x+3 与抛物线的对称轴交于点 M，令 x=2，得 y=1，M（2，1）设对称轴与 x 轴交点为点 F，则 CF=FD=MN=1，MCD 为等腰直角三角形 以点 N、B、D 为顶点的三角形与MCD 相似，BND 为等腰直角三角形 如答图 1 所示：（I）若 BD 为斜边，则易知此时直角顶点为原点 O，N1（0，0）；（II）若 BD 为直角边，B 为直

144、角顶点，则点 N 在 x 轴负半轴上，OB=OD=ON2=3，N2（3，0）；（III）若 BD 为直角边，D 为直角顶点，则点 N 在 y 轴负半轴上，OB=OD=ON3=3，N3（0，3）满足条件的点 N 坐标为：（0，0），（3，0）或（0，3）（3）假设存在点 P，使 SPBD=6，设点 P 坐标为（m，n）（I）当点 P 位于直线 BD 上方时，如答图 2 所示：过点 P 作 PEx 轴于点 E，则 PE=n，DE=m3 SPBD=S 梯形 PEOBSBODSPDE=（3+n）m 33（m3）n=6，化简得：m+n=7，P（m，n）在抛物线上，n=m24m+3，代入式整理得：m23m

145、4=0，解得：m1=4，m2=1，n1=3，n2=8，P1（4，3），P2（1，8）；（II）当点 P 位于直线 BD 下方时，如答图 3 所示：过点 P 作 PEy 轴于点 E，则 PE=m，OE=n，BE=3n SPBD=S 梯形 PEOD+SBODSPBE=（3+m）（n）+33（3n）m=6，化简得：m+n=1，P（m，n）在抛物线上，n=m24m+3，代入式整理得：m23m+4=0，=70，此方程无解 故此时点 P 不存在 综上所述，在抛物线上存在点 P，使 SPBD=6，点 P 的坐标为（4，3）或（1，8）点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三

146、角形的判定与性质、图形面积计算、解一元二次方程等知识点，考查了数形结合、分类讨论的数学思想第（2）（3）问均需进行分类讨论，避免漏解 37、（2013鄂州压轴题）在平面直角坐标系中，已知 M1（3，2），N1（5，1），线段 M1N1平移至线段 MN 处（注：M1与 M，N1与 N 分别为对应点）（1）若 M（2，5），请直接写出 N 点坐标（2）在（1）问的条件下，点 N 在抛物线上，求该抛物线对应的函数解析式（3）在（2）问条件下，若抛物线顶点为 B，与 y 轴交于点 A，点 E 为线段 AB 中点，点 C（0，m）是 y 轴负半轴上一动点，线段 EC 与线段 BO 相交于 F，且 OC：

147、OF=2：，求 m 的值（4）在（3）问条件下，动点 P 从 B 点出发，沿 x 轴正方向匀速运动，点 P 运动到什么位置时（即 BP 长为多少），将ABP 沿边 PE 折叠，APE 与PBE 重叠部分的面积恰好为此时的ABP 面积的，求此时 BP 的长度 考点：二次函数综合题3718684 专题：综合题 分析：（1）首先根据点 M 的移动方向和单位得到点 N 的平移方向和单位，然后按照平移方向和单位进行移动即可；（2）将点 N 的坐标代入函数的解析式即可求得 k 值；（3）配方后确定点 B、A、E 的坐标，根据 CO：OF=2：用 m 表示出线段 CO、FO 和BF 的长，利用 SBEC=S

148、EBF+SBFC=得到有关 m 的方程求得 m 的值即可；（4）分当BPEAPE 时、当BPE=APE 时、当BPEAPE 时三种情况分类讨论即可 解答：解：（1）由于图形平移过程中，对应点的平移规律相同，由点 M 到点 M可知，点的横坐标减 5，纵坐标加 3，故点 N的坐标为（55，1+3），即（0，2）N（0，2）；（2）N（0，2）在抛物线 y=x2+x+k 上 k=2 抛物线的解析式为 y=x2+x+2 （3）y=x2+x+2=（x+2）2 B（2，0）、A（0，2）、E（，1）CO：OF=2：CO=m，FO=m，BF=2+m SBEC=SEBF+SBFC=（2+m）（m+1）=整理得

149、：m2+m=0 m=1 或 0 m0 m=1 （4）在 RtABO 中，tanABO=ABO=30，AB=2AO=4 当BPEAPE 时，连接 A1B 则对折后如图 2，A1为对折后 A 的所落点，EHP 是重叠部分 E 为 AB 中点，SAEP=SBEP=SABP SEHP=SABP=SEHP=SBHP=SABP A1H=HP，EH=HB=1 四边形 A1BPE 为平行四边形 BP=A1E=AE=2 即 BP=2 当BPE=APE 时，重叠部分面积为ABP 面积的一半，不符合题意；当BPEAPE 时 则对折后如图 3，A1为对折后 A 的所落点EHP 是重叠部分 E 为 AB 中点，SAEP

150、=SBEP=SABP SEHP=SABPSEBH=SEHP=SABP BH=HP，EH=HA1=1 又BE=EA=2 EHAP，AP=2 在APB 中，ABP=30，AB=4，AP=2 APB=90，BP=，综合知：BP=2 或；点评：此题主要考查了点的平移、二次函数解析式的确定，图形折叠问题及图形面积等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大 38、（2013遵义压轴题）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（4，），且与 y 轴交于点 C（0，2），与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边）（1）求抛物线的解析式及 A，B 两点的坐标；（2）在

151、（1）中抛物线的对称轴 l 上是否存在一点 P，使 AP+CP 的值最小？若存在，求 AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；（3）在以 AB 为直径的M 相切于点 E，CE 交 x 轴于点 D，求直线 CE 的解析式 考点：二次函数综合题3718684 专题：综合题 分析：（1）利用顶点式求得二次函数的解析式后令其等于 0 后求得 x 的值即为与 x 轴交点坐标的横坐标；（2）线段 BC 的长即为 AP+CP 的最小值；（3）连接 ME，根据 CE 是M 的切线得到 MECE，CEM=90，从而证得CODMED，设 OD=x，在 RTCOD 中，利用勾股定理求得 x 的值即可求得点 D 的

152、坐标，然后利用待定系数法确定线段 CE 的解析式即可 解答：解：（1）由题意，设抛物线的解析式为 y=a（x4）2（a0）抛物线经过（0，2）a（04）2=2 解得：a=y=（x4）2 即：y=x2 x+2 当 y=0 时，x2 x+2=0 解得：x=2 或 x=6 A（2，0），B（6，0）；（2）存在，如图 2，由（1）知：抛物线的对称轴 l 为 x=4，因为 A、B 两点关于 l 对称，连接 CB 交 l 于点 P，则 AP=BP，所以 AP+CP=BC 的值最小 B（6，0），C（0，2）OB=6，OC=2 BC=2，AP+CP=BC=2 AP+CP 的最小值为 2；（3）如图 3，连

153、接 ME CE 是M 的切线 MECE，CEM=90 由题意，得 OC=ME=2，ODC=MDE 在COD 与MED 中 CODMED（AAS），OD=DE，DC=DM 设 OD=x 则 CD=DM=OMOD=4x 则 RTCOD 中，OD2+OC2=CD2，x2+22=（4x）2 x=D（，0）设直线 CE 的解析式为 y=kx+b 直线 CE 过 C（0，2），D（，0）两点，则 解得：直线 CE 的解析式为 y=+2；点评：本题考查了二次函数的综合知识，特别是用顶点式求二次函数的解析式，更是中考中的常考内容，本题难度偏大 39、（2013黔西南州压轴题）如图，已知抛物线经过 A（2，0）

154、，B（3，3）及原点 O，顶点为 C（1）求抛物线的函数解析式（2）设点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且以 AO 为边的四边形 AODE 是平行四边形，求点 D 的坐标（3）P 是抛物线上第一象限内的动点，过点 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 P，M，A 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 考点：二次函数综合题 专题：综合题 分析：（1）由于抛物线经过 A（2，0），B（3，3）及原点 O，待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可以求出点 D 的坐标；（3）分两种情况讨论

155、，AMPBOC，PMABOC，根据相似三角形对应边的比相等可以求出点 P 的坐标 解答：解：（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c（a0），将点 A（2，0），B（3，3），O（0，0），代入可得：，解得：故函数解析式为：y=x2+2x （2）当 AO 为平行四边形的边时，DEAO，DE=AO，由 A（2，0）知：DE=AO=2，若 D 在对称轴直线 x=1 左侧，则 D 横坐标为3，代入抛物线解析式得 D1（3，3），若 D 在对称轴直线 x=1 右侧，则 D 横坐标为 1，代入抛物线解析式得 D2（1，3）综上可得点 D 的坐标为：（3，3）或（1，3）（3）存在 如图：B（3，3

156、），C（1，1），根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，BO2+CO2=BC2，BOC 是直角三角形，假设存在点 P，使以 P，M，A 为顶点的 三角形与BOC 相似，设 P（x，y），由题意知 x0，y0，且 y=x2+2x，若AMPBOC，则=，即 x+2=3（x2+2x），得：x1=13，x2=2（舍去）当 x=13时，y=59，即 P（13，59），若PMABOC，则=，即：x2+2x=3（x+2），得：x1=3，x2=2（舍去）当 x=3 时，y=15，即 P（3，15）故符合条件的点 P 有两个，分别是 P（13，59）或（3，15）点评：本题考查的是二次函数的综

157、合题，首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后利用平行四边形的性质和相似三角形的性质确定点 D 和点 P 的坐标，注意分类讨论思想的运用，难度较大 40、（13 年北京 8 分 25）对于平面直角坐标系 x O y 中的点 P 和C，给出如下定义：若C上存在两个点 A，B，使得APB=60，则称 P 为C 的关联点。已知点 D（21，21），E（0，-2），F（32，0）（1）当O 的半径为 1 时，在点 D，E，F 中，O 的关联点是_；过点 F 作直线交 y 轴正半轴于点 G，使GFO=30，若直线上的点 P（m，n）是O 的关联点，求m 的取值范围；（2）若线段 EF 上的所有点都是某个

158、圆的关联点，求这个圆的半径r 的取值范围。解析：【解析】(1)ED、；由题意可知，若 P 点要刚好是圆C 的关联点；需要点 P 到圆C 的两条切线 PA和 PB 之间所夹 的角度为60；由图1可知60APB，则30CPB，连接 BC，则rBCCPBBCPC22sin；若 P 点为圆C 的关联点；则需点 P 到圆心的距离d 满足rd20；由上述证明可知，考虑临界位置的 P 点，如图 2；点 P 到原点的距离212OP；过O 作 x 轴的垂线OH，垂足为 H；3232tanOGOFOGF；60OGF；360sinOGOH；23sinOPOHOPH；60OPH；易得点1P 与点G 重合，过2P 作x

159、MP2轴于点 M；易得302OMP；330cos2OPOM；从而若点 P 为圆O 的关联点，则 P 点必在线段21PP上；30m；(2)若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段 EF 的中点；考虑临界情况，如图 3；即恰好FE、点为圆 K 的关联时，则2212EFKNKF；此时1r；故若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r 的取值范围为1r.【点评】“新定义”问题最关键的是要能够把“新定义”转化为自己熟悉的知识，通过第(2)问开 头部分的解析，可以看出本题的“关联点”本质就是到圆心的距离小于或等于2 倍半 径的点.图1CBAP

160、xyMP2G(P1)图2HOFxy图3NKEF了解了这一点，在结合平面直角坐标系和圆的知识去解答就事半功倍了.考点：代几综合（“新定义”、特殊直角三角形的性质、圆、特殊角三角形函数、数形结合）41、(2013 年深圳市)如图 6-1，过点 A（0，4）的圆的圆心坐标为 C（2，0），B 是第一象限圆弧上的一点，且 BCAC，抛物线cbxxy221经过 C、B 两点，与 x 轴的另一交点为 D。（1）点 B 的坐标为（，），抛物线的表达式为 （2）如图 6-2，求证：BD/AC（3）如图 6-3，点 Q 为线段 BC 上一点，且 AQ=5，直线 AQ 交C 于点 P，求 AP 的长。解析：42、

161、（2013钦州压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线 y=x2+2x 与 x轴相交于 O、B，顶点为 A，连接 OA（1）求点 A 的坐标和AOB 的度数；（2）若将抛物线 y=x2+2x 向右平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位，得到抛物线 m，其顶点为点 C连接 OC 和 AC，把AOC 沿 OA 翻折得到四边形 ACOC试判断其形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，判断点 C是否在抛物线 y=x2+2x 上，请说明理由；（4）若点 P 为 x 轴上的一个动点，试探究在抛物线 m 上是否存在点 Q，使以点 O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，且 OC 为该四

162、边形的一条边？若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 考点：二次函数综合题3718684 专题：探究型 分析：（1）由 y=x2+2x 得，y=（x2）22，故可得出抛物线的顶点 A 的坐标，令 x2+2x=0得出点 B 的坐标过点 A 作 ADx 轴，垂足为 D，由ADO=90可知点 D 的坐标，故可得出 OD=AD，由此即可得出结论；（2）由题意可知抛物线 m 的二次项系数为，由此可得抛物线 m 的解析式过点 C 作CEx 轴，垂足为 E；过点 A 作 AFCE，垂足为 F，与 y 轴交与点 H，根据勾股定理可求出 OC 的长，同理可得 AC 的长，OC=AC，由翻折不变性

163、的性质可知，OC=AC=OC=AC，由此即可得出结论；（3）过点C作CGx轴，垂足为G，由于OC和OC关于OA对称，AOB=AOH=45，故可得出COH=COG，再根据 CEOH 可知OCE=COG，根据全等三角形的判定定理可知CEOCGO，故可得出点 C的坐标把 x=4 代入抛物线 y=x2+2x进行检验即可得出结论；（4）由于点 P 为 x 轴上的一个动点，点 Q 在抛物线 m 上，故设 Q（a，（a2）24），由于 OC 为该四边形的一条边，故 OP 为对角线，由于点 P 在 x 轴上，根据中点坐标的定义即可得出 a 的值，故可得出结论 解答：解：（1）由 y=x2+2x 得，y=（x2

164、）22，抛物线的顶点 A 的坐标为（2，2），令 x2+2x=0，解得 x1=0，x2=4，点 B 的坐标为（4，0），过点 A 作 ADx 轴，垂足为 D，ADO=90，点 A 的坐标为（2，2），点 D 的坐标为（2，0），OD=AD=2，AOB=45；（2）四边形 ACOC为菱形 由题意可知抛物线 m 的二次项系数为，且过顶点 C 的坐标是（2，4），抛物线的解析式为：y=（x2）24，即 y=x22x2，过点 C 作 CEx 轴，垂足为 E；过点 A 作 AFCE，垂足为 F，与 y 轴交与点 H，OE=2，CE=4，AF=4，CF=CEEF=2，OC=2，同理，AC=2，OC=AC，

165、由反折不变性的性质可知，OC=AC=OC=AC，故四边形 ACOC为菱形 （3）如图 1，点 C不在抛物线 y=x2+2x 上 理由如下：过点 C作 CGx 轴，垂足为 G，OC 和 OC关于 OA 对称，AOB=AOH=45，COH=COG，CEOH，OCE=COG，又CEO=CGO=90，OC=OC，CEOCGO，OG=4，CG=2，点 C的坐标为（4，2），把 x=4 代入抛物线 y=x2+2x 得 y=0，点 C不在抛物线 y=x2+2x 上；（4）存在符合条件的点 Q 点 P 为 x 轴上的一个动点，点 Q 在抛物线 m 上，设 Q（a，（a2）24），OC 为该四边形的一条边，OP

166、 为对角线，=0，解得 x1=6，x2=4，P（6，4）或（2，4）（舍去），点 Q 的坐标为（6，4）点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到抛物线的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，难度适中 43、（2013 安顺压轴题）如图，已知抛物线与 x 轴交于 A（1，0），B（3，0）两点，与 y轴交于点 C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为 D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点 P，使得PDC 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点 M 是抛物线上一点，以 B，C，D，M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点 M

167、 的坐标 考点：二次函数综合题 专题：压轴题 分析：（1）由于 A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点均在坐标轴上，故设一般式解答和设交点式（两点式）解答均可（2）分以 CD 为底和以 CD 为腰两种情况讨论运用两点间距离公式建立起 P 点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解（3）根据抛物线上点的坐标特点，利用勾股定理求出相关边长，再利用勾股定理的逆定理判断出直角梯形中的直角，便可解答 解答：解：（1）抛物线与 y 轴交于点 C（0，3），设抛物线解析式为 y=ax2+bx+3（a0），根据题意，得，解得，抛物线的解析式为 y=x2+2x+3（2）存在 由 y=x2+2x

168、+3 得，D 点坐标为（1，4），对称轴为 x=1 若以 CD 为底边，则 PD=PC，设 P 点坐标为（x，y），根据两点间距离公式，得 x2+（3y）2=（x1）2+（4y）2，即 y=4x 又 P 点（x，y）在抛物线上，4x=x2+2x+3，即 x23x+1=0，解得 x1=，x2=1，应舍去，x=，y=4x=，即点 P 坐标为 若以 CD 为一腰，点 P 在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点 P 与点 C 关于直线 x=1 对称，此时点 P 坐标为（2，3）符合条件的点 P 坐标为或（2，3）（3）由 B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理，得 CB=，CD=

169、，BD=，CB2+CD2=BD2=20，BCD=90，设对称轴交 x 轴于点 E，过 C 作 CMDE，交抛物线于点 M，垂足为 F，在 RtDCF 中，CF=DF=1，CDF=45，由抛物线对称性可知，CDM=245=90，点坐标 M 为（2，3），DMBC，四边形 BCDM 为直角梯形，由BCD=90及题意可知，以 BC 为一底时，顶点 M 在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况；以 CD 为一底或以 BD 为一底，且顶点 M 在抛物线上的直角梯形均不存在 综上所述，符合条件的点 M 的坐标为（2，3）点评：此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、等腰梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性