（全国120套）2013年中考数学试卷分类汇编 四边形综合.doc

1、四边形综合 1、（2013湘西州）下列说法中，正确的是（）A 同位角相等 B 对角线相等的四边形是平行四边形 C 四条边相等的四边形是菱形 D 矩形的对角线一定互相垂直 考点：菱形的判定；同位角、内错角、同旁内角；平行四边形的判定；矩形的性质3718684 分析：根据平行线的性质判断 A 即可；根据平行四边形的判定判断 B 即可；根据菱形的判定判断 C 即可；根据矩形的性质判断 D 即可 解答：解：A、如果两直线平行，同位角才相等，故本选项错误；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；C、四边相等的四边形是菱形，故本选项正确；D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错

2、误；故选 C 点评：本题考查了平行线的性质，平行四边形、菱形的判定、矩形的性质的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力 2、（2013 陕西）如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 BD 平分 AC，若 BD=8，AC=6，BOC=120，则四边形 ABCD 的面积为 .（结果保留根号）考点：三角形面积的求法及特殊角的应用。解析：BD 平分 AC，所以 OA=OC=3，因为BOC=120，所以DOC=A0B=60，过 C 作 CHBD 于 H，过 A 作 AGBD 于 G，在CHO 中，C0H=60，OC=3，所以 CH=323，同理：AG=323，所以四边形 ABCD

3、 的面积=3123238CBDABDSS。3、(2013 河南省)如图，在等边三角形 ABC 中，6BCcm,射线 AGBC，点 E 从点 A出发沿射线 AG 以1/cm s 的速度运动，同时点 F 从点 B 出发沿射线 BC 以 2/cm s 的速度运动，设运动时间为()t s （1）连接 EF，当 EF 经过 AC 边的中点 D 时，求证：ADECDF 证明：AGBC EADACB D 是 AC 边的中点 ADCD ABDCOHG第 14 题图又ADECDF ADECDF（2）填空：当为 s 时，四边形 ACFE 是菱形；当为 s 时，以,A F C E 为顶点的四边形是直角梯形。【解析】

4、当四边形 ACFE 是菱形时，AEACCFEF 由题意可知：,26AEt CFt，6t 若四边形 ACFE 是直角梯形，此时 EFAG 过C 作CMAG于 M，3AG，可以得到 AECFAM，即(26)3tt，3t，此时，CF与重合，不符合题意，舍去。若四边形若四边形 AFCE 是直角梯形，此时 AFBC，ABC 是等边三角形，F 是 BC 中点，23t，得到32t 经检验，符合题意。【答案】6t 32t 4、（2013 德州）（1）如图 1，已知ABC，以 AB、AC 为边向ABC 外作等边ABD 和等边ACE，连接 BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作

5、图痕迹）；（2）如图 2，已知ABC，以 AB、AC 为边向外作正方形 ABFD 和正方形 ACGE，连接 BE，CD，BE 与 CD 有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 3，要测量池塘两岸相对的两点 B，E 的距离，已经测得ABC=45，CAE=90，AB=BC=100 米，AC=AE，求 BE 的长 考点：四边形综合题 专题：计算题 分析：（1）分别以 A、B 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点 D，连接 AD，BD，同理连接AE，CE，如图所示，由三角形 ABD 与三角形 ACE 都是等边三角形，得到三对边相等，两个角相等，

6、都为 60 度，利用等式的性质得到夹角相等，利用 SAS 得到三角形 ABD与三角形 ACE 全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；（2）BE=CD，理由与（1）同理；（3）根据（1）、（2）的经验，过 A 作等腰直角三角形 ABD，连接 CD，由 AB=AD=100，利用勾股定理求出 BD 的长，由题意得到三角形 DBC 为直角三角形，利用勾股定理求出 CD 的长，即为 BE 的长 解答：解：（1）完成图形，如图所示：证明：ABD 和ACE 都是等边三角形，AD=AB，AC=AE，BAD=CAE=60，BAD+BAC=CAE+BAC，即CAD=EAB，在CAD 和EAB 中，CADEAB

7、（SAS），BE=CD；（2）BE=CD，理由同（1），四边形 ABFD 和 ACGE 均为正方形，AD=AB，AC=AE，BAD=CAE=90，CAD=EAB，在CAD 和EAB 中，CADEAB（SAS），BE=CD；（3）由（1）、（2）的解题经验可知，过 A 作等腰直角三角形 ABD，BAD=90，则 AD=AB=100 米，ABD=45，BD=100米，连接 CD，则由（2）可得 BE=CD，ABC=45，DBC=90，在 RtDBC 中，BC=100 米，BD=100米，根据勾股定理得：CD=100米，则 BE=CD=100米 点评：此题考查了四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形

8、的判定与性质，等边三角形，等腰直角三角形，以及正方形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键 5、（2013绍兴）若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图 1，矩形ABCD 中，BC=2AB，则称 ABCD 为方形 （1）设 a，b 是方形的一组邻边长，写出 a，b 的值（一组即可）（2）在ABC 中，将 AB，AC 分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连结为一边作矩形，使这些矩形的边 B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的对边分别在 B2C2，B3C3，B4C4，BC 上，如图 2 所示 若 BC=25，BC 边上的高为 20，判断以 B1C1为一

9、边的矩形是不是方形？为什么？若以 B3C3为一边的矩形为方形，求 BC 与 BC 边上的高之比 考点：四边形综合题3718684 分析：（1）答案不唯一，根据已知举出即可；（2）求出ABCAB1C1AB2C2AB3C3AB4C4，推出=，=，=，=，求出 B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，MN=GN=GH=HE=4，BQ=B2O=B3Z=B4K=4，根据已知判断即可；设 AM=h，根据ABCAB3C3，得出=，求出 MN=GN=GH=HE=h，分为两种情况：当 B3C3=2 h，时，当 B3C3=h 时，代入求出即可 解答

10、：解：（1）答案不唯一，如 a=2，b=4；（2）以 B1C1为一边的矩形不是方形 理由是：过 A 作 AMBC 于 M，交 B1C1于 E，交 B2C2于 H，交 B3C3于 G，交 B4C4于 N，则AMB4C4，AMB3C3，AMB2C2，AMB1C1，由矩形的性质得：BCB1C1B2C2B3C3B4C4，ABCAB1C1AB2C2AB3C3AB4C4，=，=，=，=，AM=20，BC=25，B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，MN=GN=GH=HE=4，BQ=B2O=B3Z=B4K=4，即 B1C12B1Q，B1Q2

11、B1C1，以 B1C1为一边的矩形不是方形；以 B3C3为一边的矩形为方形，设 AM=h，ABCAB3C3，=，则 AG=h，MN=GN=GH=HE=h，当 B3C3=2 h，时，=；当 B3C3=h 时，=综合上述：BC 与 BC 边上的高之比是 或 点评：本题考查了相似三角形的性质和判定和矩形的性质的应用，注意：相似三角形的对应高的比等于相似比 6、（2013资阳）在一个边长为 a（单位：cm）的正方形 ABCD 中，点 E、M 分别是线段 AC，CD 上的动点，连结 DE 并延长交正方形的边于点 F，过点 M 作 MNDF 于 H，交 AD 于 N（1）如图 1，当点 M 与点 C 重合

12、，求证：DF=MN；（2）如图 2，假设点 M 从点 C 出发，以 1cm/s 的速度沿 CD 向点 D 运动，点 E 同时从点 A 出发，以cm/s 速度沿 AC 向点 C 运动，运动时间为 t（t0）；判断命题“当点 F 是边 AB 中点时，则点 M 是边 CD 的三等分点”的真假，并说明理由 连结 FM、FN，MNF 能否为等腰三角形？若能，请写出 a，t 之间的关系；若不能，请说明理由 考点：四边形综合题 分析：（1）证明ADFDNC，即可得到 DF=MN；（2）首先证明AFECDE，利用比例式求出时间 t=a，进而得到 CM=a=CD，所以该命题为真命题；若MNF 为等腰三角形，则可

13、能有三种情形，需要分类讨论 解答：（1）证明：DNC+ADF=90，DNC+DCN=90，ADF=DCN 在ADF 与DNC 中，ADFDNC（ASA），DF=MN （2）解：该命题是真命题 理由如下：当点 F 是边 AB 中点时，则 AF=AB=CD ABCD，AFECDE，AE=EC，则 AE=AC=a，t=a 则 CM=1t=a=CD，点 M 为边 CD 的三等分点 能理由如下：易证 AFECDE，即，得 AF=易证MNDDFA，即，得 ND=t ND=CM=t，AN=DM=at 若MNF 为等腰三角形，则可能有三种情形：（I）若 FN=MN，则由 AN=DM 知FANNDM，AF=DM

14、，即=t，得 t=0，不合题意 此种情形不存在；（II）若 FN=FM，由 MNDF 知，HN=HM，DN=DM=MC，t=a，此时点 F 与点 B 重合；（III）若 FM=MN，显然此时点 F 在 BC 边上，如下图所示：易得MFCNMD，FC=DM=at；又由NDMDCF，即，FC=at，t=a，此时点 F 与点 C 重合 综上所述，当 t=a 或 t=a 时，MNF 能够成为等腰三角形 点评：本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）运用分类讨

15、论的数学思想，避免漏解 7、（2013宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形如菱形就是和谐四边形（1）如图 1，在梯形 ABCD 中，ADBC，BAD=120，C=75，BD 平分ABC求证：BD是梯形 ABCD 的和谐线；（2）如图 2，在 1216 的网格图上（每个小正方形的边长为 1）有一个扇形 BAC，点 ABC均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点 D，使得以 A、B、C、D 为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；（3）四边形 ABCD 中，AB=AD=BC，BAD=

16、90，AC 是四边形 ABCD 的和谐线，求BCD 的度数 考点：四边形综合题 分析：（1）要证明 BD 是四边形 ABCD 的和谐线，只需要证明ABD 和BDC 是等腰三角形就可以；（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要 D 在上任意一点构成的四边形 ABDC 就是和谐四边形；连接 BC，在BAC 外作一个以 AC 为腰的等腰三角形 ACD，构成的四边形 ABCD 就是和谐四边形，（3）由 AC 是四边形 ABCD 的和谐线，可以得出ACD 是等腰三角形，从图 4，图 5，图 6 三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和 30的直角三角形性质就可以求出BCD 的度数 解答：解

17、：（1）ADBC，ABC+BAD=180，ADB=DBC BAD=120，ABC=60 BD 平分ABC，ABD=DBC=30，ABD=ADB，ADB 是等腰三角形 在BCD 中，C=75，DBC=30，BDC=C=75，BCD 为等腰三角形，BD 是梯形 ABCD 的和谐线；（2）由题意作图为：图 2，图 3 （3）AC 是四边形 ABCD 的和谐线，ACD 是等腰三角形 AB=AD=BC，如图 4，当 AD=AC 时，AB=AC=BC，ACD=ADC ABC 是正三角形，BAC=BCA=60 BAD=90，CAD=30，ACD=ADC=75，BCD=60+75=135 如图 5，当 AD=

18、CD 时，AB=AD=BC=CD BAD=90，四边形 ABCD 是正方形，BCD=90 如图 6，当 AC=CD 时，过点 C 作 CEAD 于 E，过点 B 作 BFCE 于 F，AC=CDCEAD，AE=AD，ACE=DCE BAD=AEF=BFE=90，四边形 ABFE 是矩形 BF=AE AB=AD=BC，BF=BC，BCF=30 AB=BC，ACB=BAC ABCE，BAC=ACE，ACB=ACE=BCF=15，BCD=153=45 点评：本题是一道四边形的综合试题，考查了和谐四边形的性质的运用，和谐四边形的判定，等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，30的直角三角形的性质的

19、运用解答如图 6 这种情况容易忽略，解答时合理运用分类讨论思想是关键 8、(2013 年武汉)已知四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD 边上的点，DE 与 CF 交于点 G （1）如图，若四边形 ABCD 是矩形，且 DECF，求证CDADCFDE；（2）如图，若四边形 ABCD 是平行四边形，试探究：当B 与EGC 满足什么关系时，使得CDADCFDE 成立？并证明你的结论；（3）如图，若 BA=BC=6，DA=DC=8，BAD90，DECF，请直接写出 CFDE 的值 EFGABCD第24题图第24题图ABCDFGE第24题图ABCDFGE解析：（1）证明：四边形 ABCD 是

20、矩形，AADC90，DECF，ADEDCF，ADEDCF，DCADCFDE （2）当B+EGC180时，DCADCFDE 成立，证明如下：在 AD 的延长线上取点 M，使 CMCF，则CMFCFM ABCD，ACDM，B+EGC180，AEDFCB，CMFAED ADEDCM，DCADCMDE，即DCADCFDE （3）2425CFDE 9、（2013 杭州压轴题）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，对称中心为点 P，点 F 为 BC 边上一个动点，点 E 在 AB 边上，且满足条件EPF=45，图中两块阴影部分图形关于直线 AC成轴对称，设它们的面积和为 S1（1）求证：APE=CFP

21、；（2）设四边形 CMPF 的面积为 S2，CF=x，求 y 关于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值范围，并求出 y 的最大值；当图中两块阴影部分图形关于点 P 成中心对称时，求 y 的值 考点：四边形综合题 分析：（1）利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论；（2）本问关键是求出 y 与 x 之间的函数解析式 首先分别用 x 表示出 S1与 S2，然后计算出 y 与 x 的函数解析式这是一个二次函数，求出其最大值；注意中心对称、轴对称的几何性质 解答：（1）证明：EPF=45，APE+FPC=18045=135；而在PFC 中，由于 PF 为正方形 ABCD 的对角线，则PCF

22、=45，则CFP+FPC=18045=135，APE=CFP MEGFDCBA第24题图（2）解：APE=CFP，且FCP=PAE=45，APECPF，则 而在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，则 AC=AB=，又P 为对称中心，则 AP=CP=，AE=如图，过点 P 作 PHAB 于点 H，PGBC 于点 G，P 为 AC 中点，则 PHBC，且 PH=BC=2，同理 PG=2 SAPE=2=，阴影部分关于直线 AC 轴对称，APE 与APN 也关于直线 AC 对称，则 S 四边形 AEPN=2SAPE=；而 S2=2SPFC=2=2x，S1=S 正方形 ABCDS 四边形 AEPNS2

23、=162x，y=+1 E 在 AB 上运动，F 在 BC 上运动，且EPF=45，2x4 令=a，则 y=8a2+8a1，当 a=，即 x=2 时，y 取得最大值 而 x=2 在 x 的取值范围内，代入 x=2，则 y 最大=421=1 y 关于 x 的函数解析式为：y=+1（2x4），y 的最大值为 1 图中两块阴影部分图形关于点 P 成中心对称，而此两块图形也关于直线 AC 成轴对称，则阴影部分图形自身关于直线 BD 对称，则 EB=BF，即 AE=FC，=x，解得 x=，代入 x=，得 y=2 点评：本题是代数几何综合题，考查了正方形的性质、相似三角形、二次函数的解析式与最值、几何变换（轴对称与中心对称）、图形面积的计算等知识点，涉及的考点较多，有一定的难度本题重点与难点在于求出 y 与 x 的函数解析式，在计算几何图形面积时涉及大量的计算，需要细心计算避免出错