（全国120套）2013年中考数学试卷分类汇编 解直角三角形（方位角问题）.doc

1、方位角 1、（2013 年潍坊市）一渔船在海岛 A 南偏东 20方向的 B 处遇险，测得海岛 A 与 B 的距离为 20 海里，渔船将险情报告给位于 A 处的救援船后，沿北偏西 80方向向海岛 C 靠近.同时，从 A 处出发的救援船沿南偏西 10方向匀速航行.20 分钟后，救援船在海岛 C 处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）.A.310海里/小时 B.30 海里/小时 C.320海里/小时 D.330海里/小时 答案：D 考点:方向角，直角三角形的判定和勾股定理.点评;理解方向角的含义，证明出三角形 ABC 是直角三角形是解决本题的关键.2、（2013株洲）如图是株洲市的行政区域平面地

2、图，下列关于方位的说法明显错误的是（）A 炎陵位于株洲市区南偏东约 35的方向上 B 醴陵位于攸县的北偏东约 16的方向上 C 株洲县位于茶陵的南偏东约 40的方向上 D 株洲市区位于攸县的北偏西约 21的方向上 考点：坐标确定位置 分析：根据坐标确定位置以及方向角对各选项分析判断后利用排除法求解 解答：解：A、炎陵位于株洲市区南偏东约 35的方向上正确，故本选项错误；B、醴陵位于攸县的北偏东约 16的方向上正确，故本选项错误；C、应为株洲县位于茶陵的北偏西约 40的方向上，故本选项正确；D、株洲市区位于攸县的北偏西约 21的方向上正确，故本选项错误 故选 C 点评：本题考查了利用坐标确定位置

3、，方向角的定义，是基础题，熟记方向角的概念并准确识图是解题的关键 3、（2013 年河北）如图 1，一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 70方向的 M 处，它以每小时 40 海里的速度向正北方向航行，2 小时后到 达位于灯塔 P 的北偏东 40的 N 处，则 N 处与灯塔 P 的 距离为 A40 海里 B60 海里 C70 海里 D80 海里 答案：D 解析：依题意，知MN40280，又M70，N40，所以，MPN70，从而 NPNM80，选 D 4、（2013荆门）A、B 两市相距 150 千米，分别从 A、B 处测得国家级风景区中心 C 处的方位角如图所示，风景区区域是以 C 为圆心，45 千

4、米为半径的圆，tan=1.627，tan=1.373为了开发旅游，有关部门设计修建连接 AB 两市的高速公路问连接 AB 高速公路是否穿过风景区，请说明理由 考点：解直角三角形的应用-方向角问题 分析：首先过 C 作 CDAB 与 D，由题意得：ACD=，BCD=，即可得在 RtACD 中，AD=CDtan，在 RtBCD 中，BD=CDtan，继而可得 CDtan+CDtan=AB，则可求得 CD 的长，即可知连接 AB 高速公路是否穿过风景区 解答：解：AB 不穿过风景区理由如下：如图，过 C 作 CDAB 于点 D，根据题意得：ACD=，BCD=，则在 RtACD 中，AD=CDtan，

5、在 RtBCD 中，BD=CDtan，AD+DB=AB，CDtan+CDtan=AB，CD=（千米）CD=5045，高速公路 AB 不穿过风景区 点评：此题考查了方向角问题此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键 5、（2013湘西州）钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图，一艘海监船以 30 海里/小时的速度向正北方向航行，海监船在 A 处时，测得钓鱼岛 C 在该船的北偏东 30方向上，航行半小时后，该船到达点 B处，发现此时钓鱼岛 C 与该船距离最短（1）请在图中作出该船在点 B 处

6、的位置；（2）求钓鱼岛 C 到 B 处距离（结果保留根号）考点：解直角三角形的应用-方向角问题 分析：（1）根据垂线段最短知 B 点应是过 C 点所作南北方向的垂线的垂足（2）在 RtABC 中，利用三角函数的知识求 BC 即可 解答：解：（1）如图：（2）在 RtABC 中 AB=300.5=15（海里），BC=ABtan30=15=5（海里）答：钓鱼岛 C 到 B 处距离为 5海里 点评：考查了解直角三角形的应用方向角问题，此题为基础题，涉及用手中工具解题，如尺规，计算器等 6、（2013 年广州市）如图 10，在东西方向的海岸线 MN 上有 A、B 两艘船，均收到已触礁搁浅的船 P 的求

7、救信号，已知船 P 在船 A 的北偏东 58方向，船 P 在船 B 的北偏西 35方向，AP 的距离为 30 海里.（1）求船 P 到海岸线 MN 的距离（精确到 0.1 海里）；（2）若船 A、船 B 分别以 20 海里/小时、15 海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船 P 处.分析：（1）过点 P 作 PEAB 于点 E，在 RtAPE 中解出 PE 即可；（2）在 RtBPF 中，求出 BP，分别计算出两艘船需要的时间，即可作出判断 解：（1）过点 P 作 PEAB 于点 E，由题意得，PAE=32，AP=30 海里，在 RtAPE 中，PE=APsi

8、nPAE=APsin3215.9 海里；（2）在 RtPBE 中，PE=15.9 海里，PBE=55，则 BP=19.4，A 船需要的时间为：=1.5 小时，B 船需要的时间为：=1.3 小时，故 B 船先到达 点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解方位角的定义，能利用三角函数值计算有关线段，难度一般 7、(2013 年广东湛江)如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C 处测得钓鱼岛 A 在渔政船的北 偏西30 的方向上，随后渔政船以 80 海里小时的速度向北偏东30 的方向航行，半小时后到达 B 处，此时又测得钓鱼岛 A 在渔政船 的北偏西60 的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛 A 的

9、距离 AB （结果保留小数点后一位，31.732）解：延长 EB 至 F，则030CBF，00000180180603090ABCEBFCBF ，在 Rt ABC 中，060ACB，180402BC，tan,ABACBBC tan434 1.7326.9ABBCACB 答：此时渔政船距钓鱼岛 A 的距离 AB 约为：6.9 海里 8、（2013荆门）A、B 两市相距 150 千米，分别从 A、B 处测得国家级风景区中心 C 处的方位角如图所示，风景区区域是以 C 为圆心，45 千米为半径的圆，tan=1.627，tan=1.373为了开发旅游，有关部门设计修建连接 AB 两市的高速公路问连接

10、AB 高速公路是否穿过风景区，请说明理由 考点：解直角三角形的应用-方向角问题 分析：首先过 C 作 CDAB 与 D，由题意得：ACD=，BCD=，即可得在 RtACD 中，AD=CDtan，在 RtBCD 中，BD=CDtan，继而可得 CDtan+CDtan=AB，则可求得 CD 的长，即可知连接 AB 高速公路是否穿过风景区 解答：解：AB 不穿过风景区理由如下：如图，过 C 作 CDAB 于点 D，根据题意得：ACD=，BCD=，则在 RtACD 中，AD=CDtan，在 RtBCD 中，BD=CDtan，AD+DB=AB，CDtan+CDtan=AB，CD=（千米）CD=5045，

11、高速公路 AB 不穿过风景区 点评：此题考查了方向角问题此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键 9、（2013苏州）如图，在一笔直的海岸线 l 上有 AB 两个观测站，A 在 B 的正东方向，AB=2（单位：km）有一艘小船在点 P 处，从 A 测得小船在北偏西 60的方向，从 B 测得小船在北偏东 45的方向（1）求点 P 到海岸线 l 的距离；（2）小船从点 P 处沿射线 AP 的方向航行一段时间后，到点 C 处，此时，从 B 测得小船在北偏西 15的方向求点 C 与点 B 之间的距离（上述两小题的结果都保留根号）考点：解直角三角形的应用

12、-方向角问题 分析：（1）过点 P 作 PDAB 于点 D，设 PD=xkm，先解 RtPBD，用含 x 的代数式表示 BD，再解 RtPAD，用含 x 的代数式表示 AD，然后根据 BD+AD=AB，列出关于 x 的方程，解方程即可；（2）过点 B 作 BFAC 于点 F，先解 RtABF，得出 BF=AB=1km，再解 RtBCF，得出 BC=BF=km 解答：解：（1）如图，过点 P 作 PDAB 于点 D设 PD=xkm 在 RtPBD 中，BDP=90，PBD=9045=45，BD=PD=xkm 在 RtPAD 中，ADP=90，PAD=9060=30，AD=PD=xkm BD+AD

13、=AB，x+x=2，x=1，点 P 到海岸线 l 的距离为（1）km；（2）如图，过点 B 作 BFAC 于点 F 在 RtABF 中，AFB=90，BAF=30，BF=AB=1km 在ABC 中，C=180BACABC=45 在 RtBCF 中，BFC=90，C=45，BC=BF=km，点 C 与点 B 之间的距离为km 点评：本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，难度适中通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键 10、（2013莱芜）如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛 A、B 上的观测点进行观测，从 A 岛测得渔船在南偏东 37方向 C 处，B 岛在

14、南偏东 66方向，从 B 岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的距离是 72 海里，A 岛上维修船的速度为每小时 20 海里，B 岛上维修船的速度为每小时 28.8 海里，为及时赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？（参考数据：cos370.8，sin370.6，sin660.9，cos660.4）考点：解直角三角形的应用-方向角问题 分析：作 ADBC 的延长线于点 D，先解 RtADB，求出 AD，BD，再解 RtADC，求出 AC，CD，则 BC=BDCD然后分别求出 A 岛、B 岛上维修船需要的时间，则派遣用时较少的岛上的维修船 解答：解：作 ADBC 的延长线于点 D 在 R

15、tADB 中，AD=ABcosBAD=72cos66=720.4=28.8（海里），BD=ABsinBAD=72sin66=720.9=64.8（海里）在 RtADC 中，（海里），CD=ACsinCAD=36sin37=360.6=21.6（海里）BC=BDCD=64.821.6=43.2（海里）A 岛上维修船需要时间（小时）B 岛上维修船需要时间（小时）tAtB，调度中心应该派遣 B 岛上的维修船 点评：本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，难度适中，通过作辅助线，构造直角三角形，进而解直角三角形求出 BD 与 CD 的值是解题的关键 11、（2013 泰安）如图，某海监船向正西方向航行

16、，在 A 处望见一艘正在作业渔船 D 在南偏西 45方向，海监船航行到 B 处时望见渔船 D 在南偏东 45方向，又航行了半小时到达 C处，望见渔船 D 在南偏东 60方向，若海监船的速度为 50 海里/小时，则 A，B 之间的距离为 （取，结果精确到 0.1 海里）考点：解直角三角形的应用-方向角问题 专题：应用题 分析：过点 D 作 DEAB 于点 E，设 DE=x，在 RtCDE 中表示出 CE，在 RtBDE 中表示出 BE，再由 CB=25 海里，可得出关于 x 的方程，解出后即可计算 AB 的长度 解答：解：DBA=DAB=45，DAB 是等腰直角三角形，过点 D 作 DEAB 于

17、点 E，则 DE=AB，设 DE=x，则 AB=2x，在 RtCDE 中，DCE=30，则 CE=DE=x，在 RtBDE 中，DAE=45，则 DE=BE=x，由题意得，CB=CEBE=xx=25，解得：x=，故 AB=25（+1）=67.5 海里 故答案为：67.5 点评：本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度，难度一般 12、（2013烟台）如图，一艘海上巡逻船在 A 地巡航，这时接到 B 地海上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西 60方向的 C 地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援此时 C 地位于北偏西 30方向上，A 地位于

18、 B 地北偏西 75方向上，A、B 两地之间的距离为 12 海里求A、C 两地之间的距离（参考数据：1.41，1.73，2.45，结果精确到 0.1）考点：解直角三角形的应用-方向角问题 分析：过点 B 作 BDCA 交 CA 延长线于点 D，根据题意可得ACB 和ABC 的度数，然后根据三角形外角定理求出DAB 的度数，已知 AB=12 海里，可求出 BD、AD 的长度，在 RtCBD中，解直角三角形求出 CD 的长度，继而可求出 A、C 之间的距离 解答：解：过点 B 作 BDCA 交 CA 延长线于点 D，由题意得，ACB=6030=30，ABC=7560=15，DAB=DBA=45，在

19、 RtABD 中，AB=12，DAB=45，BD=AD=ABcos45=6，在 RtCBD 中，CD=6，AC=666.2（海里）答：A、C 两地之间的距离为 6.2 海里 点评：本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度，难度一般 13、（2013遂宁）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船 A、B，B 船在 A 船的正东方向，且两船保持 20 海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在 A 的东北方向，B 的北

20、偏东 15方向有一我国渔政执法船 C，求此时船 C 与船 B 的距离是多少（结果保留根号）考点：解直角三角形的应用-方向角问题 分析：首先过点 B 作 BDAC 于 D，由题意可知，BAC=45，ABC=90+15=105，则可求得ACD 的度数，然后利用三角函数的知识求解即可求得答案 解答：解：过点 B 作 BDAC 于 D 由题意可知，BAC=45，ABC=90+15=105，ACB=180BACABC=30，在 RtABD 中，BD=ABsinBAD=20=10（海里），在 RtBCD 中，BC=20（海里）答：此时船 C 与船 B 的距离是 20海里 点评：此题考查了方向角问题此题难度

21、适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键 14、（2013资阳）钓鱼岛历来是中国领土，以它为圆心在周围 12 海里范围内均属于禁区，不允许它国船只进入，如图，今有一中国海监船在位于钓鱼岛 A 正南方距岛 60 海里的 B 处海域巡逻，值班人员发现在钓鱼岛的正西方向 52 海里的 C 处有一艘日本渔船，正以 9 节的速度沿正东方向驶向钓鱼岛，中方立即向日本渔船发出警告，并沿北偏西 30的方向以 12节的速度前往拦截，期间多次发出警告，2 小时候海监船到达 D 处，与此同时日本渔船到达E 处，此时海监船再次发出严重警告（1）当日本渔船受到严重警告信号后，必

22、须沿北偏东转向多少度航行，才能恰好避免进入钓鱼岛 12 海里禁区？（2）当日本渔船不听严重警告信号，仍按原速度，原方向继续前进，那么海监船必须尽快到达距岛 12 海里，且位于线段 AC 上的 F 处强制拦截渔船，问海监船能否比日本渔船先到达F 处？（注：中国海监船的最大航速为 18 节，1 节=1 海里/小时；参考数据：sin26.30.44，sin20.50.35，sin18.10.31，1.4，1.7）考点：解直角三角形的应用-方向角问题 分析：（1）过点 E 作圆 A 的切线 EN，求出AEN 的度数即可得出答案；（2）分别求出渔船、海监船到达点 F 的时间，然后比较可作出判断 解答：解

23、：（1）过点 E 作圆 A 的切线 EN，连接 AN，则 ANEN，由题意得，CE=92=18 海里，则 AE=ACCE=5218=34 海里，sinAEN=0.35，AEN=20.5，NEM=69.5，即必须沿北偏东至少转向 69.5航行，才能恰好避免进入钓鱼岛 12 海里禁区 （2）过点 D 作 DHAB 于点 H，由题意得，BD=212=24 海里，在 RtDBH 中，DH=BD=12 海里，BH=12海里，AF=12 海里，DH=AF，DFAF，此时海监船以最大航速行驶，海监船到达点 F 的时间为：=2.2 小时；渔船到达点 F 的时间为：=2.4 小时，2.22.4，海监船比日本渔船

24、先到达 F 处 点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，本题依托时事问题出题，立意新颖，是一道很好的题目 15、（2013自贡）在东西方向的海岸线 l 上有一长为 1km 的码头 MN（如图），在码头西端 M的正西 19.5km 处有一观察站 A某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西 30，且与 A 相距 40km 的 B 处；经过 1 小时 20 分钟，又测得该轮船位于 A 的北偏东 60，且与 A相距km 的 C 处（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头 MN 靠岸？请说明理由 考点：解

25、直角三角形的应用-方向角问题 分析：（1）根据1=30，2=60，可知ABC 为直角三角形根据勾股定理解答（2）延长 BC 交 l 于 T，比较 AT 与 AM、AN 的大小即可得出结论 解答：解：（1）1=30，2=60，ABC 为直角三角形 AB=40km，AC=km，BC=16（km）1 小时 20 分钟=80 分钟，1 小时=60 分钟，60=12（千米/小时）（2）作线段 BRx 轴于 R，作线段 CSx 轴于 S，延长 BC 交 l 于 T 2=60，4=9060=30 AC=8（km），CS=8sin30=4（km）AS=8cos30=8=12（km）又1=30，3=9030=6

26、0 AB=40km，BR=40sin60=20（km）AR=40cos60=40=20（km）易得，STCRTB，所以=，解得：ST=8（km）所以 AT=12+8=20（km）又因为 AM=19.5km，MN 长为 1km，AN=20.5km，19.5AT20.5 故轮船能够正好行至码头 MN 靠岸 点评：此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键 16、(2013 年黄石)高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音。如图，点 A 是某市一高考考点，在位于 A 考点南偏西 15方向距离 125 米的C 点处有一消防队。在听力

27、考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于C 点北偏东 75方向的 F 点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火。已知消防车的警报声传播半径为 100 米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶。试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由.（3 取 1.732）解析：解：过点 A 作 AHCF交CF 于 H 点，由图可知 000751560ACH （3 分）031.732sin 60125125108.25()22AHACm （3 分）100AH 米 不需要改道行驶 17、（2013 四川南充，21，8 分）如图，公路 AB 为东西走向，在点 A 北偏东 36.5方向上，距离 5

28、千米处是村庄 M；在点 A 北偏东 53.5方向上，距离 10 千米处是村庄 N（参考数据：sin36.50.6，cos36.50.8，tan36.50.75）.（1）求 M，N 两村之间的距离；（2）要在公路 AB 旁修建一个土特产收购站 P，使得 M，N 两村到 P 站的距离之和最短，求这个最短距离。C北A1575F北 解析：(1)如图,过点 M 作 CDAB,NEAB.1 在 RtACM 中，CAM=36.5，AM=5，sin36.5 5CM 0.6，CM3，AC4.2 在 RtANE 中,NAE=9053.5=36.5，AN=10，sin36.5 10NE 0.6 NE6，AE8.3

29、在 RtMND 中,MD5，ND2.MN2252 29 (km)4 (2)作点 N 关于 AB 的对称点 G，连接 MG 交 AB 于点 P.点 P 即为站点.5 PMPNPMPGMG.6 在 RtMDG 中,MG22510 125 5 5(km)7 最短距离为5 5 km 8 P北ANMBCDAAGE北ANMB18、（2013新疆）如图所示，一条自西向东的观光大道 l 上有 A、B 两个景点，A、B 相距 2km，在 A 处测得另一景点 C 位于点 A 的北偏东 60方向，在 B 处测得景点 C 位于景点 B 的北偏东 45方向，求景点 C 到观光大道 l 的距离（结果精确到 0.1km）考

30、点：解直角三角形的应用-方向角问题 分析：过点 C 作 CDl 于点 D，设 CD=xkm先解直角ACD，得出 AD=CD=xkm，再解直角BCD，得出 BD=CD=xkm，然后根据 ADBD=AB，列出关于 x 的方程，解方程即可 解答：解：如图，过点 C 作 CDl 于点 D，设 CD=xkm 在ACD 中，ADC=90，CAD=30，AD=CD=xkm 在BCD 中，BDC=90，CBD=45，BD=CD=xkm ADBD=AB，xx=2，x=+12.7（km）故景点 C 到观光大道 l 的距离约为 2.7km 点评：本题考查三角形知识的实际运用，难度适中，通过作辅助线构造直角三角形是解

31、题的关键 19、（2013 济宁）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土（如图 1），A、B、C 分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点（如图 2），点 C 在点 A 的北偏东 47方向，点 B 在点 A 的南偏东 79方向，且 A、B 两点的距离约为 5.5km；同时，点 B 在点 C 的南偏西 36方向若一艘中国渔船以 30km/h 的速度从点 A 驶向点 C 捕鱼，需要多长时间到达（结果保留小数点后两位）？（参考数据：sin540.81，cos540.59，tan471.07，tan360.73，tan110.19）考点：解直角三角形的应用-方向角问题 分析：过点 B 作 BDAC 交 AC 于点

32、 D，根据方向角分别求出DAB 和DCB 的度数，然后在RtABD 和 RtBCD 中，分别解直角三角形求出 AD、CD 的长度，然后根据时间=路程速度即可求出需要的时间 解答：解：过点 B 作 BDAC 交 AC 于点 D，由题意得，DAB=1804779=54，DCB=4736=11，在 RtABD 中，AB=5.5，DAB=54，=cos54，=sin54，AD=5.50.59=3.245，BD=4.445，在 RtBCD 中，BD=4.445，DCB=11，=tan11，CD=23.394，AC=AD+CD=3.245+23.39426.64（km），则时间 t=26.64300.90

33、（h）答：需要 0.90h 到达 点评：本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形，20、（2013 达州）钓鱼岛自古以来就是中国领土。中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测。如图，E、F 为钓鱼岛东西两端。某日，中国一艘海监船从 A 点向正北方向巡航，其航线距离钓鱼岛最近距离 CF=20 3 公里，在 A 点测得钓鱼岛最西端 F 在最东端 E 的东北方向（C、F、E 在同一直线上）。求钓鱼岛东西两端的距离。（21.41，31.73，结果精确到 0.1）解析：由题知，在 RtACF 中，ACF=90,A=30，CF=20 3 公里.cot30=320AC.解得，AC=60（公里）.(2 分)又E 在 B 的东北方向，且ACF=90 E=CBE=45，CE=CB.(4 分)又CB=AC-AB=60-22=38(公里)，CE=38 公里.(5 分)EF=CE-CF=38-20 3 3.4（公里）(6 分)答：钓鱼岛东西两端的距离约为 3.4 公里.(7 分)