（全国I卷）2021届高三数学第二次模拟考试题（一）文.doc

1、（全国 I 卷）2021 届高三数学第二次模拟考试题（一）文 注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合，20,Bx x xxZ，则

2、 AB （）A0,2,3,4 B0,2 C3,4 D0,1,2 2复数4i1+3i的虚部为（）A1 B 1 C i Di 3已知2log 7a，3log 8b，0.20.3c，则 a，b，c 的大小关系为（）Aabc Bcba Cbca Dcab 4命题:|19pxxx，2360 xax，若 p 是真命题，则实数 a 的取值范围为（）A37a B13a C12a D13a 5已知函数 2 sin 4fxx 2图象的一个对称中心为 3,0，为了得到函数 2cos 4g xx的图象，只需将函数 f x 的图象（）A向左平移 1 个单位长度 B向左平移 4个单位长度 C向右平移 1 个单位长度 D向

3、右平移 4个单位长度 6已知函数 22cossinxxxxf xee，则函数 f x 的大致图象是（）A B C D 7我国天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（）A小寒比大寒的晷长长一尺 B春分和秋分两个节气的晷长相同 C小雪的晷长为一丈五寸 D立春的晷长比立秋的晷长长 8中国古代几何中的勾股容圆，是阐述直角三角形中内切圆

4、问题此类问题最早见于九章算术“勾股”章，该章第16题为：“今有勾八步，股十五步，间勾中容圆，径几何？”意思是“直角三角形的两条直角边分别为8 和15，则其内切圆直径是多少？”若向上述直角三角形内随机抛掷100颗米粒（大小忽略不计，取 3），落在三角形内切圆内的米粒数大约为（）A55 B50 C45 D40 9已知抛物线2:20C xpy p的焦点为圆2212xy的圆心，又经过抛物线 C 的焦点且倾斜角为 60的直线交抛物线 C 于 A、B 两点，则 AB （）A12 B14 C16 D18 10已知向量ae，1e，对任意t R 恒有taeae，则（）Aae Baae Ceae Daeae 11

5、已知四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 是矩形，侧面 PAD 是正三角形，且侧面 PAD 底面ABCD，2AB，若四棱锥 PABCD外接球的体积为 8 23，则该四棱锥的表面积为（）A4 3 B6 3 C8 3 D10 3 12已知函数 221ln202x aa xf xeexaxa，若 f x 有 2 个零点，则a 的取值范围是（）A0,e B20,e C,e D2,e 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13正实数 x，y 满足：21xy，则当 21xy取最小值时，x _ 14已知圆222)1)5:(Cxy及点(0,2)A，点 P、Q 分别是直线20 xy和圆 C 上的

6、动点，则|PAPQ的最小值为_ 15设函数 212221xxf xx，若对 x R，不等式24f mxf x成立，则实数m 的取值范围是_ 16在ABC中，a，b，c，分别为角 A，B，C 的对边，且cos3sintancBbCaC若ABC的内切圆面积为4，则ABC面积 S 的最小值_ 三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（12 分）已知数列 na的前n 项和为nS，若2nSnkn(*k N)，且nS 的最大值为 25（1）求k 的值及通项公式na；（2）求数列112 nan的前n 项和nT 18（12 分）在某地区的教育成果展示会上，其

7、下辖的一个数育教学改革走在该地区前列的县级民族中学近几年升入“双一流”大学的学生人数(单位：个)有如下统计表：年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码 x 1 2 3 4 5 6 学生人数 y(个)66 67 70 71 72 74（1）根据表中数据，建立 y 关于 x 的线性回归方程ybxa；（2）根据线性回归方程预测 2021 年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数(结果保留整数)附：对于一组数据 1122,nnx yxyxy，其回归直线方程ybxa的斜率和截距的最小二乘估计分别为121niiiniixxyybxx，aybx；(参考数据：61628iii

8、x yxy)19（12 分）如图，在直三棱柱111ABCA BC中，底面 ABC 是等边三角形，D是 AC 的中点（1）证明：1AB平面1BC D；（2）若12AAAB，求点1B 到平面1BC D 的距离 20（12 分）已知椭圆2222:10 xyCabab的两焦点为11,0F，2 1,0F，点 P 在椭圆C 上，且12PF F的面积最大值为 3 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点M 为椭圆C 的右顶点，若不平行于坐标轴的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 均不是椭圆C 的右顶点），且满足 AMBM，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标 21（12 分）已知函数()1xf

9、 xeax （1）当1a 时，求()f x 的极值；（2）若2()f xx在0,)上恒成立，求实数a 的取值范围 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系 xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线1C 的参数方程为sincos2xy（为参数），直线2C 的极坐标方程为6 （1）将1C 的参数方程化为普通方程，2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求与直线2C 平行且与曲线1C 相切的直线l 的直角坐标方程 23（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】已知函数()|31

10、|2|3|f xxx（1）若关于 x 的方程|31|2|3|xxa有两个不同的实数根，求 a 的取值范围；（2）如果不等式()f xbx的解集非空，求b 的取值范围 文 科 数 学 答 案 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1【答案】A【解析】由集合150,Ax xxxZ，得0,1,2,3,4A，20,|0Bx x xxx xZ或2,xxZ，所以0,2,3,4AB，故选 A 2【答案】A【解析】4i 13i4i3i413i，所以虚部为 1，故选 A 3【答案】B【解析】因为2logyx在0,上单调递增，因为478，所以2

11、222log 4log 7log 83，所以23a，因为3logyx在0,上单调递增，389，所以3331log 3log 8log 92，所以12b，因为0.3xy 在R 上单调递减，0.20，所以0.2000.30.31，即01c，所以cba，故选 B 4【答案】C【解析】命题:|19pxxx，使2360 xax为真命题，即|19xxx，使2360 xax成立，即36axx能成立，设36()f xxx，则3636()212f xxxxx，当且仅当36xx，即6x 时，取等号，即min()12f x，12a，故a 的取值范围是12a，故选 C 5【答案】A【解析】因为函数 f x 图象的一个

12、对称中心为3,0，所以 34k，k Z，所以34k，k Z，又2，所以4，所以 2sin 44f xx，因为 2cos2sin2sin144244g xxxx，所以为了得到 2cos 4g xx的图象，只需将函数 f x 的图象向左平移 1 个单位长度，故选 A 6【答案】B【解析】函数 22cossinxxxxf xee的定义域为R，且 fxf x，所以函数 f x 为偶函数，其图象关于 y 轴对称，排除选项 A，D；因为 1012f，所以排除选项 C，故选 B 7【答案】C【解析】由题意可知，夏至到冬至的晷长构成等差数列 na，其中115a 寸，13135a 寸，公差为d 寸，则13515

13、 12d，解得10d（寸）；同理可知，由冬至到夏至的晷长构成等差数列 nb，首项1135b，末项1315b，公差10d （单位都为寸），故小寒与大寒相邻，小寒比大寒的晷长长 10 寸，即一尺，选项 A 正确；春分的晷长为7b，7161356075bbd，秋分的晷长为7a，716156075aad，故春分和秋分两个节气的晷长相同，所以 B 正确；小雪的晷长为11a，1111015 100115aad，115 寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，C 错误；立春的晷长，立秋的晷长分别为4b，4a，413153045aad，413135 30105bbd，44ba，故立春的晷长比立秋的晷长长

14、，故 D 正确，故选 C 8【答案】C【解析】直角三角形的斜边长为2281517，设三角形内切圆的半径为r，面积为S，利用等面积法可知118 158 15 1722Sr，解得3r，向该直角三角形内随机抛掷100颗米粒，设落在三角形内切圆内的米粒数大约为 x，则利用几何概型可知2 311008 152x，解得2 31004518 152x 颗，所以落在三角形内切圆内的米粒数大约为 45，故选 C 9【答案】C【解析】由题可得抛物线焦点为0,1，则12p ，即2p，则抛物线方程为24xy，直线 AB 的倾斜角为 60，则斜率为 3，故直线 AB 的方程为31yx，联立直线与抛物线2431xyyx，

15、可得24 340 xx，设11,A x y，22,B xy，则124 3xx，124x x ，则21 34 34416AB ，故选 C 10【答案】C【解析】对任意t R 恒有taeae，22taeae，即2222222tt aa eeaa ee，即22210tt a ea e对任意t R 恒成立，则2224 21410 a ea ea e，1 a e，故a 和e 不垂直，故 A 错误；ae，1e，22()10 aaeaa ea，故 B 错误；2()1 10 eaea ee，()eae，故 C 正确；222()()10 aeaeaea，故 D 错误，故选 C 11【答案】B【解析】设四棱锥 P

16、ABCD外接球的球心为O，过O 作底面 ABCD 的垂线，垂足为M，因为四边形 ABCD 是长方形，所以 M 为底面中心，即对角线 ACBD、的交点，过O 作三角形 APD的垂线，垂足为 N，所以 N 是正三角形 APD外心，设外接球半径为r，外接球的体积为38 2433r，所以2r，即2OA，过 N 作 NEAD，则 E 是 AD 的中点，连接 EM，所以112EMAB，EMAD，因为平面 APD 平面 ABCD，平面 APD平面 ABCDAD，所以 NE 平面 ABCD，所以/NE OM，所以 EM 平面 APD，所以/EM ON，所以四边形 MENO 是平行四边形，即OMNE，设2ADx

17、，则2221AMAEEMx，11333323NEPEADx，所以33OMNEx，由勾股定理得222OAOMAM，即221213 xx，解得32x，所以3AD，213 3sin6024PADSAD，因为/CDABOM，所以 AB 平面 APD，CD 平面 APD，所以 PAAB，PDCD，132PABPCDSSABAP，因为227PBPCPAAB，3BC，作 PHBC于 H，所以 H 为 BC 的中点，所以221357242PHPBBC，所以15 324PBCSPHBC，2 3ABCDS矩形，所以6 3PADPABPCDABCDSSSSS表矩形，故选 B 12【答案】C【解析】0f x 可转化为

18、2212ln2x aa xexaxe 设 2x aa xg xee，由基本不等式得2220 x aa xx aa xeeee，当且仅当 xa时，g x 取到最小值 0 设 221ln02h xxax a，则 222aaxh xxxx ，当0 xa时，0h x，h x 单调递增；当 xa时，0h x，h x 单调递减，所以当 xa时，h x 取到最大值221ln2 aaa 若 f x 有 2 个零点，则 g x 与 h x 有两个交点，此时221ln02 aaa，解得ae，故选 C 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13【答案】13【解析】0 x，0y，21xy，212122

19、22255252 49yxyxxyxyxyxyxy，当且仅当 22yxxy，即13xy时，等号成立 故答案为 13 14【答案】2 5 【解析】如图所示：设点 A关于直线:20l xy的对称点为,A x y，则2202221xyyx，解得42xy ，则4,2A，因为PAPA，所以PAPQ的最小值为22422 152 5A Cr ，故答案为2 5 15【答案】4,4【解析】函数 212221xxf xx 的定义域为R，221122222211xxxxfxf xxx ，所以，函数 f x 为偶函数，当0 x 时，2122312321121xxxf xxx，由于函数122xy 为减函数，2231yx

20、 在0,上为减函数，所以，函数 212221xxf xx 在0,上单调递减，由24f mxf x可得 24fmxf x，可得24mxx，所以，240 xmx对任意的 xR 恒成立，设0tx，则240tm t对任意的0t 恒成立，由于二次函数24ytm t的对称轴为直线02mt，2160m，解得 44m，因此，实数m 的取值范围是4,4，故答案为4,4 16【答案】12 3 【解析】因为cos3sintancBbCaC，所以3 sinsincoscossinBCBCA，即3cossinBCA，所以 3cossinAA，即 tan3A，3A，由题意知ABC内切圆的半径为2，如图，内切圆的圆心为 I

21、，,M N 为切点，则4AI，2 3AMAN，从而4 3abc，由余弦定理得2224 3bcbcbc，整理得3488 316 3bcbcbc，解得48bc或163bc（舍去），从而113sin4812 3222SbcA，即ABC面积 S 的最小值为12 3，故答案为12 3 三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17【答案】（1）10k，211nan(*nN)；（2）43499 3nnnT【解析】（1）由题可得2224nkkSn，*k Z，所以当k 为偶数时，2max2254nkkSS，解得10k；当 k 为奇数时，21max21254nkkS

22、S，此时k 无整数解，综上可得：10k，210nSnn 1n 时，119aS 当2n 时，221101101211nnnnnnnnaSS ，当1n 时也成立 综上可得211nan，所以10k，211nan(*nN)（2）112224nannnnn，1212444nnnT 231112144444nnnnnT 两式相减得21311144444nnnnT，111113114414433 4414nnnnnnnT，则14199 43 4nnnnT，则43499 3nnnT 18【答案】（1）1.664.4yx；（2）75【解析】（1）由题意，1 234563.56x ，66677071 727470

23、6y，7222222212.51.50.50.51.52.517.5iixx ，171277281.617.5iiiiixxx yxyb，70 1.6 3.564.4aybx$，y 关于 x 的线性回归方程为1.664.4yx（2）由（1）可知，当年份为 2021 年时，年份代码7x，此时1.6 764.475.6y ，保留整数为75人，所以 2021 年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数为75人 19【答案】（1）证明见解析；（2）4 1717【解析】（1）设11BCBCE，连接 DE，由直棱柱的性质可知四边形11BCC B 是矩形，则 E 为1BC 的中点，因为 D是 AC 的中点，所

24、以1/DE AB，因为1AB 平面1BC D，DE 平面1BC D，所以1/AB平面1BC D （2）连接1AC，由（1）知1/AB平面1BC D，所以点1B 到平面1BC D 的距离等于点 A到平面1BC D 的距离，因为底面 ABC 是等边三角形，D是 AC 的中点，所以 BDAC，因为2AB，所以1AD ，则3BD，从而ABD的面积为 131322，故三棱锥1CABD的体积为 132 34323，由直棱柱的性质可知平面 ABC 平面11ACC A，则 BD 平面11ACC A，因为1C D 平面11ACC A，所以1BDC D，又221117C DCCCD，所以1BC D的面积为 151

25、31722，设点 A到平面1BC D 的距离为h，则 1512 3323h，解得4 1717h，故点1B 到平面1BC D 的距离为 4 1717 20【答案】（1）22143xy；（2）证明见解析，定点坐标为 2,07【解析】（1）由椭圆的对称性可知：当点 P 落在椭圆的短轴的两个端点时，12PF F的面积最大，此时 1232b，解得3b，由222abc，得23 14a ，椭圆C 的标准方程为22143xy （2）设 11,A x y，22,B xy，直线l 的方程为 ykxm，联立22143ykxmxy，得222348430kxmkxm，则22226416 3430m kkm，即22340

26、km，122834mkxxk ，21224334mx xk 222212121 21223434mky ykxmkxmk x xmk xxmk 椭圆的右顶点为2,0M，AMBM，0MA MB，1212220 xxy y，即121212240y yx xxx，22222234431640343434mkmmkkkk，整理可得2271640mkmk，解得12mk，227km ，（1m，2m 均满足22340km）当2mk 时，l 的方程为2yk x，直线l 过右顶点2,0，与已知矛盾；当227km 时，l 的方程为27yk x，过定点 2,07，直线l 过定点，定点坐标为 2,07 21【答案】（

27、1）极小值 0，无极大值；（2）(,2e【解析】（1）当1a 时，()1xf xex，所以()1xfxe 当0 x 时，()0fx；当0 x 时，()0fx，所以()f x 在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增，所以当0 x 时，函数()f x 有极小值(0)0f，无极大值（2）因为2()f xx在0,)上恒成立，所以210 xexax 在0,)上恒成立 当0 x 时，00恒成立，此时aR；当0 x 时，1()xeaxxx在(0,)上恒成立 令1()()xeg xxxx，则2222(1)1(1)(1)()()xxexxxexg xxxx 由（1）知0 x 时，()0f x，即(1)0 x

28、ex 当01x 时，()0g x；当1x 时，()0g x，所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，所以当1x 时，min()2g xe，所以2ae，综上可知，实数a 的取值范围是(,2e 22【答案】（1）211 2:yxC，2:330,0Cxyx；（2）325324yx 【解析】（1）因为曲线1C 的参数方程为sincos2xy（为参数），所以2sin1 2sinxy，消去，得21 2yx 因为直线2C 的极坐标方程为6 ，所以sin3tantan6cos3，即33yx ，所以330,0 xyx（2）设切线方程为33yx b=-+，由2331 2yxbyx ，得232

29、103xxb，所以238103b ，解得2524b，所以切线方程是325324yx 23【答案】（1）16|3a a；（2）5b b 或83b【解析】（1）57,31()31235,33157,3xxf xxxxxxx，当3x 时，函数()f x 单调递增，并且()8f x；当 133x时，函数()f x 单调递增，并且16()3f x；当13x 时，函数()f x 单调递减，并且16()3f x，综上：当13x 时，函数()f x 单调递增，当13x 时，函数()f x 单调递减，且16()3f x 作出()f x 的图象如图所示：要使关于 x 的方程|31|2|3|xxa有两个不同的根，则 a 的取值范围16|3a a（2）因为(3)8f，记点(3,8)M，坐标原点为(0,0)O，则直线OM 的斜率为83k 当直线 ybx与57yx 平行时，无交点，所以当5b 或83b 时，该直线与函数()|31|2|3|f xxx的图象相交 因为不等式()f xbx的解集非空，所以b 的取值范围是5b b 或83b