（全国I）2021届高三第二次模拟考试卷 文科数学（三） WORD版含答案.doc

1、2021 届高三第二次模拟考试卷文 科 数 学（三）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合，210Nxx Z，则MN （）A 1

2、B11xx C11xx D1,0,12设(1 2i)1 6ixy ，,x yR，则|i|xy（）A6B5C4D33已知 a，b 为任意实数，则“ab”是“lglgab”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例得到如下扇形统计图：则下面结论中不正确的是（）A新农村建设后，种植收入略有增加B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C新农村建设后，养殖收入不变D新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降5函数0

3、,0()sin,0lnxf xxxxx的部分图象大致为（）ABCD6已知函数24,0()1,0 xxx xf xexx，则函数 5g xff x 的零点个数是（）A3B4C5D67已知函数 lnf xxm与 273g xxx 的图象在1,3 上存在关于 x 轴对称的点，则m 的取值范围是（）A35ln32,ln 24B4ln32,3C 435,ln324D 5 4,4 38 如 图，在 四 棱 锥 PABCD中，PA 平 面 ABCD，底 面 ABCD为 平 行 四 边 形，且33ABACBD，E 为CD 的中点，则下列说法不正确的是（）此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号A BD 平

4、面 PACB平面 PAB 平面 PAEC若 F 为 PB 的中点，则/CF平面 PAED若2PAAB，则直线 PB 与平面 PAC 所成角为 39已知各项均为正数的等比数列 na，6a，53a，7a 成等差数列，若 na中存在两项ma，na，使得14a 为其等比中项，则 14mn的最小值为（）A4B9C 23D 3210已知sincossin cos，则角 所在的区间可能是（）A0,4B ,42C 3,24D 3,411已知点(4,4)A在抛物线24yx上，F 是抛物线的焦点，点 P 为直线1x 上的动点，我们可以通过找对称点的方法求解两条线段之和的最小值，则 PAPF的最小值为（）A8B2

5、13C241D6512点 P 在函数xye的图象上若满足到直线 yxa的距离为 2 的点 P 有且仅有 3 个，则实数 a 的值为（）A2 2B2 3C3D4第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗到了 1850 年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足122.5mm21lglgEE，其中星等为km 的星的亮度为kE（1,2k）已知“心宿二”的星等是1.0

6、0，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的_倍（结果精确到0.01当 x 较小时，2101 2.32.7xxx）14设向量23mab，42nab，32pab，若用m，n 表示 p，则p_15过 1,2P且与2,3A和 4,5B距离相等的直线方程为_16已知函数21,0()2,0 xexf xaxx x，若 1f xax 恒成立，则 a 的取值范围是_三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（12 分）在()()bac bacac；cos()sin()ABAB；tansin2ABC，这三个条件中任选两个，补充在下面问题

7、中，若问题中的三角形存在，求 b 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且2 2a，_，_？注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分18（12 分）对哈尔滨市某高校随机抽取了 100 名大学生的月消费情况进行统计，并根据所得数据画出如下频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点）（1）请根据频率直方图估计该学生月消费的中位数和平均数；（2）根据频率分布直方图，现采用分层抽样的方法，在月消费不少于 3000 元的两组学生中抽取 4人，若从这 4 人中随机选取 2 人，求 2 人不在同一组的概率19（12 分）已

8、知椭圆2222:1xyC ab（0ab）短轴的两个顶点与右焦点2F 的连线构成等边三角形，离心率和长半轴的比值为34（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过椭圆C 的左焦点1F，与C 交于 P，Q 两点，当2PQF的面积最大时，求直线 PQ的方程20（12 分）如图甲，在矩形 ABCD 中，E 是CD 的中点，2AB，2BC，以 AE、BE 为折痕将ADE与BCF折起，使 D，C 重合（仍记为 D），如图乙（1）探索：折叠形成的几何体中直线 DE 的几何性质（写出一条即可，不含 DEDA，DEDB，说明理由）；（2）求翻折后几何体 EABD外接球的体积21（12 分）已知函数22321(

9、)22ln(0)2f xxaaxaax a（1）当1a 时，求函数图象在点 1,1f处的切线方程；（2）若1a，当函数 f x 有且只有一个极值0fx时，0002ln(2)f xg xaax，求 0g x的最大值请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线1C 的参数方程为11xttytt （t 为参数）以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为228 cos160(0)rr（1）若3r，设双曲线1C 的一条渐近线与2C 相交于,A B 两点，求

10、AB；（2）若1r ，分别在1C 与2C 上任取点 P 和Q，求 PQ 的最小值23（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】已知函数()2|2|f xxx（1）求不等式()4f x 的解集；（2）记()f x 的最小值为 M，a，b，c 为正实数且3abcM，求证：2226bcaabc 文 科 数 学 答 案第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1【答案】B【解析】因为1|22|112xMxxx，2|10 1,0,1Nxx Z，所以|11MNxx，故选 B2【答案】B【解析】因为(1 2i)1 6ixy ，所以261xxy ，

11、解得34xy，所以33i|34i|345xy ，故选 B3【答案】B【解析】若lglgab，则0ab，显然 ab，反之不一定成立，如3a ，2b 时，满足 ab，但是lga 与lgb 无意义，所以“ab”是“lglgab”的必要不充分条件，故选 B4【答案】C【解析】因为该地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，不妨设建设前的经济收入为m，则建设后的经济收入为2m A 选 项，从 扇 形 统 计 图 中 可 以 看 到，新 农 村 建 设 后，种 植 收 入 比 建 设 前 增 加237%60%14%mmm，故 A 正确；B 选项，新农村建设后，其他收入比建设前增加25%4%6%4

12、%mmmm，即增加了一倍以上，故 B 正确；C 选项，养殖收入的比重在新农村建设前与建设后相同，但建设后总收入为之前的 2 倍，所以建设后的养殖收入也是建设前的 2 倍，故 C 错误；D 选项，新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重由建设前的60%降为37%，故 D正确，故选 C5【答案】D【解析】0 x 时，sin()sin()()lnlnxxxxfxf xxx ，(0)0f，所以()f x 是奇函数，排除 A，B；1sin06662，ln06，故06f ，排除 C，故选 D6【答案】D【解析】因为24,0()1,0 xxx xf xexx，所以224,0()1,0 xxxfxexx，令

13、()0fx，解得2x ，所以 f x 在,2 上单调递减；令()0fx，解得 20 x 或0 x，所以 f x 在2,0和0,上单调递增，函数图象如下所示：当0 x 时，令 0f x，得0 x 或4x ，又0 x时，f x ；x 时，f x ，110fe ，所以00,1x使得00f x，要使 50g xff x，即 50f x 或 54f x 或 05f xx，即 5f x 或 1f x 或 05f xx，由函数图象易知5y，1y ，05yx与 yf x都有两个交点，故 5f x 或 1f x 或 05f xx各有两个零点，故函数 5g xff x 有 6 个零点，故选 D7【答案】A【解析】

14、由题意得函数 lnf xxm与 273R xxx的图象在1,3 上存在公共点，即方程27ln03xmxx在1,3 上有解，即方程27ln3mxxx在1,3 上有解令 27ln3h xxxx1,3x，则 31 2317233xxh xxxx，所以当1,3x时，h x，h x 随 x 的变化情况如下表：x131,2323,323 h x0 h x43极大值ln3 2由上表可知 413h，43ln323h，又335ln224h，所以当1,3x时，35ln32,ln 24h x，故m 的取值范围是35ln32,ln 24，故选 A8【答案】D【解析】选项 A设底面平行四边形 ABCD 的对角线相交于点

15、O，则O 为,BD AC 的中点，由33ABACBD，在BCO中，22222131463OBOABDBDBD，2213ABBD，所以222OBOAAB，所以 BDAP，又 PA平面 ABCD，BD 平面 ABCD，所以 BDAP，又 APACA，所以 BD 平面 PAC，故选项 A 正确；选项 B由上有 BDAC，可知底面平行四边形 ABCD 为菱形，由 ABAC，则 ADAC，又 E 为CD 的中点，所以 AECD，即 AEAB，又 PA平面 ABCD，AE 平面 ABCD，所以 AEAP，又 APABA，所以 AE平面 PAC，又 AE 平面 PAE，所以平面 PAB 平面 PAE，故选项

16、 B 正确；选项 C如图取 AP 的中点 H，连接 FH，EH，由 H 为 AP 的中点，F 为 PB 的中点，则 HFAB且12HFAB，又 ABCD，且 ABCD，E 为CD 的中点，所以 HFCE且 HFCE，所以四边形CFHE 为平行四边形，则 FCEH，又 EH 平面 PAE，CF 平面 PAE，所以/CF平面 PAE，故选项 C 正确；选项 D连接 PO，由选项 A 的证明过程可知 BD 平面 PAC，所以直线 PB 在平面 PAC 上的射影为 PO，所以BPO为直线 PB 与平面 PAC 所成的角，由2PAAB，则2 2PB，由 ABAC，则1AO，所以3OB，在直角BPO中，3

17、6sin42 2BOBPOBP，所以3BPO，故选项 D 不正确，故选 D9【答案】D【解析】因为6a，53a，7a 成等差数列，所以5672 3aaa，又 na为各项均为正数的等比数列，设首项为1a，公比为 q，所以4561116a qa qa q，所以260qq，解得2q=或3q （舍去），又14a 为ma，na 的等比中项，所以21(4)mnaaa，所以211224211111162222mnm naaaaa，所以24mn，即6mn，所以 1411414143()14526662mmmnmnmnnmnmnn，当且仅当 4mnnm，即2m，4n 时，等号成立，所以 14mn的最小值为 32

18、，故选 D10【答案】B【解析】由sincossin cos，得2 2sinsin24，对于 A，当40,时，,044，sin04，而0,22，sin20，两个式子不可能相等，故错误；对 于B，当,4 2时，0,44，2sin0,42，2 2sin0,24，,22，sin20,1，存在 使得2 2sinsin24，故正确；对于C，3,24时，442,，2sin,142，2 2sin2,2 24，而3,22，sin21,0 ，不可能相等，所以错误；对于 D，当3,4时，3,424，2sin,142，2 2sin2,2 24，而3,222，sin21,0 ，不可能相等，所以错误，故选 B11【答案

19、】D【解析】由题意知，抛物线24yx的焦点(1,0)F，直线1x 是抛物线24yx的准线，点(4,4)A在抛物线24yx上，点 P 为直线1x 上的动点，设(1,0)F关于直线1x 的对称点(3,0)F，作图如下，利用对称性质知：PFPF，则 PAPFPAPFAF，即点 P 在 P 位置时，PAPF的值最小，等于 AF，利用两点之间距离知22(3 465)4AF ，则 PAPF的最小值为65，故选 D12【答案】C【解析】过函数xye的图象上点00,P xy作切线，使得此切线与直线 yxa平行，xye，于是01xe，则00 x，01y，0,1P，于是当点 P 到直线 yxa的距离为 2 时，则

20、满足到直线 yxa的距离为 2 的点 P有且仅有 3 个，121 1ad，解得1a 或3a，又当1a 时，函数xye的图象与直线1yx 相切，从而只有两个点到直线距离为2，所以不满足；故3a，故选 C第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13【答案】1.26【解析】由题意，两颗星的星等与亮度满足：12212.5 lglgmmEE，令“心宿二”的星等11.00m，“天津四“的星等21.25m，则21122.5 lglg1.25 1.000.25mmEE，所以120.25lglg0.12.5EE，即12lg0.1EE，所以0.1212101 2.3 0.1 2.7 0.11.257E

21、E ，则”心宿二“的亮度大约是”天津四“的1.26倍，故答案为1.2614【答案】71348mn【解析】设(23)(42)(24)(32)xyxyxyxy pmnababab，又32pab，由平面向量基本定理得243322xyxy，解得74138xy ，71348 pmn 故答案为71348mn15【答案】460 xy或3270 xy【解析】直线 AB 的斜率为3 5424ABk，线段 AB 的中点坐标为3,1若所求直线与直线 AB 平行时，则所求直线的方程为241yx，即 460 xy；若所求直线过 AB 的中点时，则所求直线的斜率为 2 131 32 ，故所求直线方程为3212yx，即32

22、70 xy，综上所述，所求直线方程为460 xy或3270 xy，故答案为460 xy或3270 xy16【答案】42 3,e【解析】若 1f xax，则211,021,0 xeaxxaxxaxx，当0 x 时，显然成立；当0 x 时，则2,01 2,0 xeaxxa xxx x ，又因为当0 x 时，20 xx，所以只需满足2,021,0 xeaxxxaxxx 即可，令 xeg xx（0 x），则 21xxegxx，则0,1x时，0gx，所以 g x 在0,1x上递减；当1,x 时，0gx，则 g x 在1,上递增，所以 min1g xge，所以ae，令 221xh xxx（0 x），则 2

23、22222221 1 2221xxxxxxh xxxxx，令 0h x，得132x（舍去）或132x，则当132,x 时，0h x；当13,02x 时，0h x，所以函数 h x 在12,3上递增，在13,02 上递减，所以 2max13342 32131322h xh ，故42 3a，综上所述：42 3ae，故答案为 42 3,e 三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17【答案】答案见解析【解析】选择条件和因为()()bac bacac，所以222acbac，由余弦定理，得2221cos22acbBac因为0B，所以3B 因为cos()si

24、n()ABAB，所以cossin33AA，所以coscossinsinsincoscossin3333AAAA，所以sincosAA因为0A，所以4A 在ABC中，由正弦定理 sinsinabAB，得 2 2sinsin43b，所以2 2 sin 32 3sin4b 选择条件和因为()()bac bacac，所以222acbac由余弦定理，得2221cos22acbBac因为0B，所以3B 因为 tansin2ABC，且sincos22tantan22cossin22CCABCCC，所以cos 2sin2sincos22sin 2CCCCC 因为0C，所以cos02C，所以21sin 22C

25、因为0C，所以sin02C，所以2sin 22C，可得2C 所以在ABCRt中，tan2 63ba选择条件和因为cos()sin()ABAB，所以coscossinsinsincoscossinABABABAB，所以(sincos)(sincos)0AABB所以sincosAA或sincosBB 因为0A，0B，所以4A 或34B 又因为 tansin2ABC，且sincos22tantan22cossin22CCABCCC，所以cos 2sin2sincos22sin 2CCCCC 因为0C，所以cos02C，所以21sin 22C 因为0C，所以sin02C，所以2sin 22C，可得2C

26、 在ABC中，ABC，所以4A，2C，4B 所以ABC为等腰直角三角形，所以2 2ba18【答案】（1）中位数 72503，平均数 2450；（2）概率为 12【解析】（1）由直方图，设中位数为 x，且20002500 x，(0.00040.0001)5000.0006(2000)(0.0001 0.00030.0005)500 x0.0006(2500)x，可得0.00060.951.950.0006xx，即72503x 由图知：(12500.000117500.000422500.000627500.000532500.0003x 3750 0.0001)5002450（2）由题意知：抽取

27、 4 人中在3000,3500)、3500,4000)分别抽了 3 人、1 人，4 人中随机选取 2 人有24C6种，而 2 人不在同一组有1113C C3种，2 人不在同一组的概率为111324C C1C219【答案】（1）2214xy；（2）230 xy【解析】（1）离心率和长半轴的比值为34，234ca，短轴的两个顶点与右焦点2F 的连线构成等边三角形，2ab，又222abc，由可解得2a，1b ，3c，椭圆C 的标准方程为2214xy（2）由题意可知：13,0F，直线l 倾斜角不为零，可设:3l xmy，由22314xmyxy，得2242 310mymy，设 11,P x y，22,Q

28、 xy，则1222 34myym，12214y ym，21 21 22121212121342PQFQF FPF FSSSF Fyyyyy y2222422124134 348164mmmmmm，令21tm，则1,t ，2214 34 39696PQFtStttt，9926tttt（当且仅当9tt，即3t 时取等号），2max14 322 3PQFS，此时213m ，解得2m ，直线 PQ 的方程为23xy，即230 xy20【答案】（1）见解析；（2）5 56【解析】（1）性质 1：DE 平面 ABD证明如下：翻折前，DEDA，DEBC，翻折后仍然有 DEDA，DEDB，且 DA DB D，

29、则 DE 平面 ABD性质 2：DEAB证明如下：与性质 1 证明方法相同，得到 DE 平面 ABD又因 AB 平面 ABD，则 DEAB性质 3：DE 与平面 ABD内任一直线都垂直证明如下：与性质 1 证明方法相同，得到 DE 平面 ABD，从而 DE 与平面 ABD内任一直线都垂直性质 4：直线 DE 与平面 ABE 所成角等于 4证明如下：如图，取 AB 的中点 F，连接 DF，EF，由 DADB，得 DFAB，与性质 2 证明相同，得 DEAB，DEDF，再因 DEDFD，则 AB 平面 DEF，进而平面 DEF 平面 ABE 作 DHEF于点 H，则 DH 平面 ABE，DEF就是

30、直线 DE 与平面 ABE 所成的角，1DE ，2EF，12cos22DEDEFEF，4DEF（2）解法一：2ADBD，2AB，则ABD是等腰直角三角形，如图，取 AB 的中点 F，则 F 是ABD的外心设几何体 EABD外接球的球心是O，则OF 平面 ABD作 OMDE于 点 M，则 M 是 DE 的 中 点，OFDM 是 矩 形，12OFDM，112DFAB，几何体 EABD的外接球半径2215142ROFFD，则外接球的体积345 536OVR解法二：证明 DA，DB，DE 两两垂直后，几何体 EABD外接球就是以 DA，DB，DE相邻的棱的长方体的外接球，2222222 15RDADB

31、DE ，解得52R，则外接球的体积345 536OVR21【答案】（1）32y ；（2）3【解析】（1）当1a 时，函数21()2ln2f xxxx，可得1()2fxxx，则(1)0f，1312ln122f ，即切线的斜率为0k，切点3(1,)2，所以函数图象在点 1,1f处的切线方程为32y （2）当1a 时，函数 f x 的定义域为(0,)，可得32222()(2)()(2)aaxaxafxxaaxx，令()0fx，即2()(2)0 xaxa，解得2xa或2xa，因为函数 f x 有且只有一个极值0fx，所以 f x 只存在一个 x 值使得 0fx，因为函数 f x 的定义域为(0,)，当

32、0a 时，20 xa，所以函数 f x 的极值点为2xa，此时20a，解得2a，当20 xa时，242232243232211(2)(2)ln2(2)ln22f aaaaaaaaaaaaaa ，所以 43232222023212(2)ln()22ln2ln(2)2aaaaaaf ag xg aaaaaaa44232321 ln2ln1 2ln2ln2(2)24aaaaaaaaaa 221112424aaaa ，因为2a，所以1102a，令1ta，则222111111242442ttttaa ，又由102t，可得当14t 时，max2211(1)1311424()244tt ，所以0max()3

33、g x ，所以 0g x的最大值为 3 22【答案】（1）2；（2）2 3 1【解 析】（1）若3r，曲 线2C 的 直 角 坐 标 方 程 为 2249xy，双 曲 线2214Cyx，一条渐近线方程为0 xy，圆心4,0 到直线的距离40=2 22d，2|9812AB ，则2AB 另解：可知双曲线221:4Cyx，一条渐近线方程为0 xy其极坐标方程为4R，由28 cos704，得24 270，故124 2，127 2121212|42AB（2）若1r ，曲线2C 的直角坐标方程为22(4)1xy，圆心4,0，半径1R 设双曲线1C 上任取点 00,P xy，则222222000000444

34、2820PCxyxxxx，当02x 时，2 min2 3PC，min2 min|2 3 1PQPCR 23【答案】（1）2|23xx；（2）证明见解析【解析】（1）依题意得32,2()2,0223,0 xxf xxxxx，2324xxx，020224xxx，0202343xxx ，综上可得()4f x 的解集是2|23xx（2）由32,2()2,0223,0 xxf xxxxx 可知，()f x 在,0上递减，在0,上递增，()f x 的最小值为(0)2f，即2M，所以6abc，由22baba，22cbcb，22acac，相加可得2222bcaabcabcabc ，即222612bcaabc，2226bcaabc，当且仅当2abc时取等号