（全国统考）2022高考数学一轮复习 单元质检卷八 立体几何（A）（理含解析）北师大版.docx

1、单元质检卷八 立体几何(A)(时间:60 分钟 满分:76 分)一、选择题:本题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020 陕西咸阳模拟)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为()A.3 B.2 C.2 D.22.(2020 安徽黄山模拟)E 是正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱 C1D1上的一点(不与端点重合),BD1平面B1CE,则()A.BD1CEB.AC1BD1C.D1E=2EC1D.D1E=EC13.(2020 山东济宁三模,7)我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一

2、,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当给出了一个已知球的体积 V,求这个球的直径 d 的近似公式,即 d .若取=3.14,试判断下列近似公式中最精确的一个是()A.d B.d C.d D.d 4.已知四棱锥 P-ABCD 的底面四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,若过点 P 作平面 ABCD 的垂线,垂足为四边形 ABCD 的中心,且四棱锥 P-ABCD 的侧棱与底面所成的角为 60,则四棱锥 P-ABCD 的高为()A.2 B.C.D.2 5.(2020 山东济南三模,4)如图,在圆柱 O1O2内有一个球 O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.若O1O2=2,则圆柱 O1O2

3、的表面积为()A.4B.5C.6D.6.(2020 广东珠海模拟)平面 过正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点 A,平面 CB1D1,平面ABCD=m,平面 ABB1A1=n,则 m,n 所成角的正弦值为()A.B.C.D.二、填空题:本题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分.7.(2020 山东莱芜模拟)一个圆台上、下底面的半径分别为 3 cm 和 8 cm,若两底面圆心的连线长为 12 cm,则这个圆台的母线长为 cm.8.某工厂现将一棱长为 的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体零件,则该圆柱体体积的最大值为 .三、解答题:本题共 3 小题,共 36 分.解答应写出文字说明、证明过程

4、或演算步骤.9.(12 分)(2020 河南郑州模拟)如图 1,ABC 中,AB=BC=2,ABC=90,E,F 分别为边 AB,AC 的中点,以 EF 为折痕把AEF 折起,使点 A 到达点 P 的位置(如图 2),且 PB=BE.(1)证明:EF平面 PBE;(2)设 N 为线段 PF 上的动点(包含端点),求直线 BN 与平面 PCF 所成角的正弦值的最大值.10.(12 分)(2020 山东日照一模,理 19)如图,已知四边形 ABCD 为等腰梯形,BDEF 为正方形,平面 BDEF平面 ABCD,ADBC,AD=AB=1,ABC=60.(1)求证:平面 CDE平面 BDEF;(2)点

5、 M 为线段 EF 上一动点,求 BD 与平面 BCM 所成角正弦值的取值范围.11.(12 分)(2020 山东泰安一模,19)在四边形 ABCP 中,AB=BC=,P=,PA=PC=2;如图,将PAC 沿AC 边折起,连接 PB,使 PB=PA,(1)求证:平面 ABC平面 PAC;(2)若 F 为棱 AB 上一点,且 AP 与平面 PCF 所成角的正弦值为 ,求二面角 F-PC-A 的大小.参考答案 单元质检卷八 立体几何(A)1.B 在正方体中还原该四棱锥,如图所示,可知 SD 为该四棱锥的最长棱.由三视图可知正方体的棱长为 2,故 SD=2 故选 B.2.D 如图,设 B1CBC1=

6、O,可得平面 D1BC1平面 B1CE=EO,BD1平面 B1CE,根据线面平行的性质可得 D1BEO,O 为 BC1的中点,E 为 C1D1中点,D1E=EC1,故选 D.3.D 由球体的体积公式得 V=R3=(),得d=1.9108,1.7778,1.9091,1.8182,与 最为接近.故选 D.4.C 如图,高为 PO,根据线面角的定义可知PCO 是侧棱 PC 与底面所成的角,据题设分析知,所求四棱锥P-ABCD 的高 PO=tan60=故选 C.5.C 因为该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,不妨设圆柱底面半径为 r,故 2r=O1O2=2,解得 r=1.故该圆柱的表面积为 2r2+

7、2rO1O2=2+4=6.故选 C.6.A 根据平面与平面平行的性质,将 m,n 所成的角转化为平面 CB1D1与平面 ABCD 的交线及平面CB1D1与平面 ABB1A1的交线所成的角.设平面 CB1D1平面 ABCD=m1.平面 平面 CB1D1,m1m.又平面 ABCD平面 A1B1C1D1,且平面 CB1D1平面 A1B1C1D1=B1D1,B1D1m1.B1D1m.平面 ABB1A1平面 DCC1D1,且平面 CB1D1平面 DCC1D1=CD1,同理可得 CD1n.因此直线 m 与 n 所成的角即直线 B1D1与 CD1所成的角.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,CB1D1是

8、正三角形,故直线 B1D1与 CD1所成角为 60,其正弦值为 故选 A.7.13 如图,过点 A 作 ACOB 交 OB 于点 C.在 RtACB 中,AC=12cm,BC=8-3=5(cm).所以 AB=13(cm).8.圆柱体体积最大时,圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心 O,圆柱的上底面与棱锥侧面的交点 N 在侧面的中线 AM 上.正四面体棱长为,BM=,OM=,BO=1,AO=,设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则 0r 由三角形相似得 -,即 h=-2 r,圆柱的体积 V=r2h=r2(1-2r),r2(1-2r)-3=,当且仅当 r=1-2r 即 r=时取等号.圆柱的最大体积为

9、故答案为 9.(1)证明因为 E,F 分别为边 AB,AC 的中点,所以 EFBC.因为ABC=90,所以 EFBE,EFPE,又BEPE=E,所以 EF平面 PBE.(2)解取 BE 的中点 O,连接 PO,因为 PB=BE=PE,所以 POBE.由(1)知 EF平面 PBE,EF平面 BCFE,所以平面 PBE平面 BCFE.又 PO平面 PBE,平面 PBE平面 BCFE=BE,所以 PO平面 BCFE.过点 O 作 OMBC 交 CF 于点 M,分别以 OB,OM,OP 所在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,则 B ,0,0,P 0,0,C ,2,0,F-,

10、1,0,=,2,-,=-,1,-,由 N 为线段 PF 上一动点,得 =(01),则可得 N-,(1-),=-,(1-).设平面 PCF 的法向量为 m=(x,y,z),则 ,即 -,-,取 y=1,则 x=-1,z=,所以 m=(-1,1,)为平面 PCF 的一个法向量.设直线BN 与平面 PCF 所成的角为,则 sin=|cos|=-(-)当且仅当=时取等号,所以直线 BN 与平面 PCF 所成角的正弦值的最大值为 10.(1)证明在等腰梯形 ABCD 中,ADBC,AD=AB=1,ABC=60,BAD=CDA=120,ADB=30,CDB=90.即 BDCD,BD=-,BC=2.平面 B

11、DEF平面 ABCD,平面 BDEF平面ABCD=BD,CD平面 ABCD,CD平面 BDEF.CD平面 CDE,平面 CDE平面 BDEF.(2)解由(1)知,分别以直线 DB,DC,DE 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设 EM=m(0m ),则 B(,0,0),C(0,1,0),D(0,0,0),M(m,0,),=(-,1,0),=(m-,0,),=(,0,0),设平面 BMC 的法向量为 n=(x,y,z),即-,(-),令 x=,则 y=3,z=-m,平面 BMC 的一个法向量为 n=(,3,-m).设 BD 与平面 BCM 所成角为,sin=|cos|=(-),当 m

12、=0 时取最小值 ,当 m=时取最大值 故BD 与平面 BCM 所成角正弦值的取值范围为 ,11.证明(1)在PAC 中,PA=PC=2,APC=,PAC 为正三角形,且 AC=2,在ABC 中,AB=BC=,ABC 为等腰直角三角形,且 ABBC.取 AC 的中点 O,连接 OB,OP,则 OBAC,OPAC,OB=1,OP=,PB=PA=2,PB2=OB2+OP2,OPOB,OPAC=O,AC,OP平面 PAC,OB平面 PAC.OB平面 ABC,平面 ABC平面 PAC.(2)以 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz,则 A(0,-1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,),=(1,1,0),=(0,1,),=(0,-1,),=(0,-2,0),设 =m =(m,m,0)(0m1),则 =(m,m-2,0).设平面 PFC 的一个法向量为n=(x,y,z).则 ,则 (-),-,令 y=,解得 -,n=(-,)AP 与平面 PFC 所成角的正弦值为 ,|(-),整理得 3m2+4m-4=0,解得 m=或 m=-2(舍去),n=(2 ,1),又 为平面 PAC 的一个法向量,cos=,=,即二面角 F-PC-A 的大小为