2021-2022高中数学人教版必修2教案：2-1-2 空间直线与直线之间的位置关系 （系列一） WORD版含答案.doc

1、第二课时 空间中直线与直线之间的位置关系（一）教学目标1知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角公理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。2过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.（二）教学重点、难点重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理.难点：异面直线所成角的计算.（三）教学方法师生的共同讨论与讲授法相结合；教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入问题：在同一平面内，两条直线有几种位置关

2、系？空间的两条直线还有没有其他位置关系？师投影问题，学生讨论回答生1：在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行与相交.生2：空间的两条直线除平行与相交外还有其他位置关系，如教室里的电灯线与墙角线师（肯定）：这种位置关系我们把它称为异面直线，这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系.以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的积极性.探索新知相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点1空间的两条直线位置关系：共面直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.师：根据刚才的分析，空间的两条直线的位置关系有以下三种：相交直线有且仅有一个公共点平行直线在同一平面内，

3、没有公共点.异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点.随堂练习：如图所示P50-16是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有 对.答案：4对，分别是HG与EF，AB与CD，AB与EF，AB与HG.现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类生：按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：一类是平行直线和相交直线，它们是共面直线.一类是异面直线，它们不同在任何一个平面内.师（肯定）所以异面直线的特征可说成“既不平行，也不相交”那么“不同在任何一个平面内”是否可改为“不在一个平面内呢”学生讨论发现不能去掉“任何”师：“不同在任何一个

4、平面内”可以理解为“不存在一个平面，使两异面直线在该平面内”培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直线位置关系的理解（1）公理4，平行于同一条直线的两条直线互相平行（2）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补例2 如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.证明：连接BD，因为EH是ABD的中位线，所以EHBD，且.同理FGBD，且.因为EHFG，且EH = FG，所以 四边形EFGH为平行四边形.师：现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.师：我们把上述规律作

5、为本章的第4个公理.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.师：现在请大家思考公理4是否可以推广，它有什么作用.生：推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行.它可以用来证明两条直线平行.师（肯定）下面我们来看一个例子观察图，在长方体ABCD ABCD中，ADC与ADC，ADC 与ABC的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：从图中可以看出，ADC = ADC，ADC + ABC=180师：一般地，有以下定理：这个定理可以用公理4证明，是公理4的一个推广，我们把它称为等角定理.师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.师：在图中EH、FG有怎样的特点？它们

6、有直接的联系吗？引导学生找出证明思路.培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.通过分析和引导，培养学生解题能力.探索新知3异面直线所成的角（1）异面直线所成角的概念.已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线aa，bb，我们把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).（2）异面直线互相垂直如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a、b，记作ab.例3 如图，已知正方体ABCD ABCD.（1）哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？（2）直线BA和CC的夹角是多少？（3）哪此棱所在的直线与直线AA垂直？解：（1）由异面直

7、线的定义可知，棱AD、DC、CC、DD、DC、BC所在直线分别与直线BA是异面直线.（2）由BBCC可知，BBA为异面直线BA与CC的夹角，BBA= 45.（3）直线AB、BC、CD、DA、AB、BC、CD、DA分别与直线AA垂直.师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分析，得出如下结论.两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；两条异面直线所成的角；因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上；找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条

8、异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；当两条异面直线所成的角是直线时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a和b互相垂直，也记作ab；以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.然后师生共同分析例题加深对平面直线所成角的理解，培养空间想象能图力和转化化归以能力.随堂练习1填空题：（1）如图，AA是长方体的一条棱，长方体中与AA平行的棱共有 条.（2）如果OAOA，OBOB，那么AOB和AOB .答案：（1）3条. 分别是BB，CC，DD；（2）相等或互补.2如图，已知长方体ABCD ABCD中，AB =，AD =，AA

9、 =2.（1）BC和AC所成的角是多少度？（2）AA 和BC 所成的角是多少度？学生独立完成答案：.2（1）因为BCBC，所以BCA是异面直线AC与BC所成的角. 在RtABC中，AB=，BC=，所以BCA = 45.（2）因为AABB，所以BBC是异面直线AA 和BB 所成的角.在RtBBC中，BC = AD =，BB= AA=2，所以BC= 4，BBC= 60.因此，异面直线AA与BC所成的角为60.归纳总结1空间中两条直线的位置关系.2平行公理及等角定理.3异面直线所成的角.学生归纳，教师点评并完善培养学生归纳总结能力，加深学生对知识的掌握，完善学生知识结构.作业2.1 第二课时 习案学

10、生独立完成固化知识提升能力附加例题 例1 “a、b为异面直线”是指：ab =，且ab；a面，b面，且ab =；a面，b面，且=；a面，b面；不存在面，使a面，b面成立.上述结论中，正确的是（ ）A正确B正确C仅正确D仅正确【解析】 等价于a和b既不相交，又不平行，故a、b是异面直线；等价于a、b不同在同一平面内，故a、b是异面直线.故选D例2 如果异面直线a与b所成角为50，P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是30的直线有且仅有 条. abAabOPAB【解析】如图所示，过定点P作a、b的平行线a、b，因a、b成50角，a与b也成50角.过P作APB的平分线，取较小的角有APO =BPO = 25.APAAPO，过P作直线l与a、b成30角的直线有2条.例3 空间四边形ABCD，已知AD =1，BD =，且ADBC，对角线BD =，AC =，求AC和BD所成的角。【解析】取AB、AD、DC、BD中点为E、F、G、M，连EF、FG、GM、ME、EG.则 MG EM ADBC EMMG在R tEMG中，有在RFG中，EF =EF 2 +FG 2 = EG 2EFFG，即ACBDAC和BD所成角为90.【点评】根据异面直线成角的定义，异面直线所成角的求法通常采用平移直线，转化为相交直线所成角，注意角的范围是.