2022-2023学年新教材高中数学 4 函数的奇偶性与简单的幂函数 4.docx

1、4函数的奇偶性与简单的幂函数4.1函数的奇偶性A级必备知识基础练1.(多选题)下列函数是奇函数的有()A.y=x(x-1)x-1B.y=-3xC.y=x-2xD.y=x3-35x2.(2022安徽合肥高一期末)若奇函数f(x)在区间-2,-1上单调递减,则函数f(x)在区间1,2上()A.单调递增,且有最小值f(1)B.单调递增,且有最大值f(1)C.单调递减,且有最小值f(2)D.单调递减,且有最大值f(2)3.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,则f(x)的单调递减区间是.4.定义在R上的偶函数f(x),对任意的x1,x20,+)(x1x2),有f(x1)-f(x2)

2、x1-x20,g(x),x0为奇函数,则f(g(-1)=.6.已知函数f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)=.7.已知奇函数f(x)的定义域为-5,5,且在区间0,5上的图象如图所示.(1)画出在区间-5,0上的图象;(2)写出使f(x)0的x的取值集合.8.已知f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)=x2+3x+2.若当x1,3时,f(x)的最大值为m,最小值为n,求m-n的值.9.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件:f(x)为奇函数;f(x)在定义域上是减函数;f(1-a)+f(1-a2)0.求实数a的取值范围.B级关键能力提升练10.(20

3、21陕西西安长安一中高一月考)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数11.若函数f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,+)上有最大值5,则F(x)在区间(-,0)上()A.有最小值-5B.有最大值-5C.有最小值-1D.有最大值-312.已知定义在R上的函数f(x)在区间(-,-2)上单调递减,若g(x)=f(x-2)是奇函数,且g(2)=0,则不等式xf(x)0的解集

4、是()A.(-,-4-2,+)B.-4,-20,+)C.(-,-22,+)D.(-,-40,+)13.定义在区间(-8,a)上的奇函数f(x)在区间2,7上单调递增,在区间3,6上的最大值为a,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)=.14.如果f(x)是定义域为R的偶函数,且当x0时,f(x)=x2-4x,那么不等式f(x+2)5的解集是.15.已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域均为-3,3,且它们在x0,3上的图象如图所示,则不等式f(x)g(x)0的解集是.16.已知f(x)为定义在R上的偶函数,当x-1时,f(x)=x+b,且f(x)的图象经过点(-2,0)

5、,在y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线.(1)求出函数f(x)的解析式;(2)求出函数f(x)的值域.C级学科素养创新练17.(2021吉林高一月考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时,f(x)=x2-2x.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)求出函数f(x)在R上的解析式;(3)若函数g(x)=f(x)-2ax+2,x1,2,求函数g(x)的最小值.4.1函数的奇偶性1.BCD先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义域为(-,1)(1,+),不关于原点对称,所以排除A;选项B,D中函数定义

6、域均为R,且f(-x)=-f(x),故为奇函数;选项C中函数定义域为(-,0)(0,+),且f(-x)=-f(x),也是奇函数.2.C因为奇函数的图象关于原点对称,所以函数f(x)在y轴两侧单调性相同.因为f(x)在区间-2,-1上单调递减,所以f(x)在区间1,2上单调递减,所以f(x)在区间1,2上有最大值f(1),最小值f(2),故选C.3.0,+)因为函数f(x)是偶函数,所以k-1=0,即k=1,所以f(x)=-x2+3,其单调递减区间为0,+).4.f(3)f(-2)f(1)由已知条件可知f(x)在区间0,+)上单调递减,所以f(3)f(2)f(1).再由偶函数的性质得f(3)f(

7、-2)f(1).5.-81当x0.因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=2(-x)2-7x-4=2x2-7x-4,所以f(x)=-2x2+7x+4.即g(x)=-2x2+7x+4,因此,f(g(-1)=f(-5)=-50-35+4=-81.6.-26令h(x)=x5+ax3+bx,易知h(x)为奇函数.因为f(x)=h(x)-8,h(x)=f(x)+8,所以h(-2)=f(-2)+8=18,所以h(2)=-h(-2)=-18,所以f(2)=h(2)-8=-18-8=-26.7.解(1)因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在-5,5上的图象关于原点对称.由y=f(x)在0,5上

8、的图象,可知它在-5,0上的图象,如图所示.(2)由图象知,使函数值f(x)0的x的取值集合为(-2,0)(2,5).8.解当x0时,-x0,则f(-x)=x2-3x+2,故f(x)=-f(-x)=3x-x2-2.当x1,32时,f(x)单调递增;当x32,3时,f(x)单调递减.因此当x1,3时,f(x)max=f32=14,f(x)min=f(3)=-2.m=14,n=-2,从而m-n=94.9.解f(x)为奇函数,f(1-a2)=-f(a2-1),f(1-a)+f(1-a2)0f(1-a)-f(1-a2)f(1-a)a2-1,-11-a1,-1a2-11,解得0a1,故实数a的取值范围为

9、(0,1).10.Cf(x)是奇函数,g(x)是偶函数,f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).对于A,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),故f(x)g(x)是奇函数,故A错误;对于B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),故|f(x)|g(x)是偶函数,故B错误;对于C,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,故f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确;对于D,|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,故|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.故选C.11.C函数f(x)和g(x)都是奇函数,F(x)-2=af(x)+bg(x)为奇

10、函数.又F(x)在区间(0,+)上有最大值5,F(x)-2在区间(0,+)上有最大值3,F(x)-2在区间(-,0)上有最小值-3,F(x)在区间(-,0)上有最小值-1.12.Ag(x)=f(x-2)的图象是将函数f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的,又g(x)=f(x-2)的图象关于原点对称,所以函数f(x)的图象关于点(-2,0)对称,大致图象如图所示,且f(0)=g(2)=0,f(-4)=g(-2)=-g(2)=0,f(-2)=g(0)=0,结合函数的图象,由xf(x)0可知x0,f(x)0或x0,f(x)0.结合图象可知x0或-2x0或x-4.故不等式xf(x)0的解集是(-,-

11、4-2,+),故选A.13.-15根据题意,f(x)是定义在区间(-8,a)上的奇函数,则a=8.又由f(x)在区间2,7上单调递增,且在区间3,6上的最大值为a=8,最小值为-1,则f(6)=a=8,f(3)=-1.函数f(x)是奇函数,则f(-6)=-8,f(-3)=1.则2f(-6)+f(-3)=2(-8)+1=-15.14.(-7,3)因为f(x)为偶函数,所以f(|x+2|)=f(x+2),则f(x+2)5可化为f(|x+2|)5,则|x+2|2-4|x+2|5,即(|x+2|+1)(|x+2|-5)0,所以|x+2|5,解得-7x3,所以不等式f(x+2)的解集是(-7,3).15

12、.x|-2x-1,或0x1,或2x3不等式f(x)g(x)0可化为f(x)g(x)0时,其解集为(0,1)(2,3).y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,f(x)g(x)是奇函数,当x0时,f(x)g(x)0的解集为(-2,-1).综上,不等式f(x)g(x)0的解集是x|-2x-1,或0x1,或2x3.16.解(1)f(x)的图象经过点(-2,0),0=-2+b,即b=2.当x-1时,f(x)=x+2.f(x)为偶函数,当x1时,f(x)=f(-x)=-x+2.当-1x1时,依题意设f(x)=ax2+2(a0),则1=a(-1)2+2,a=-1.当-1x1时,f(x)=-x2+2.综

13、上,f(x)=x+2,x-1,-x2+2,-1x1,-x+2,x1.(2)当x-1时,f(x)=x+2(-,1;当-1x1时,f(x)=-x2+2(1,2;当x1时,f(x)=-x+2(-,1.综上所述,f(x)的值域为(-,2.17.解(1)由题意知当x0时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,此时函数f(x)的单调递增区间为(1,+),单调递减区间为(0,1).又函数f(x)为偶函数,所以当x0时,其单调递增区间为(-1,0),所以函数f(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+).(2)设x0,所以f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,由已知f(x)=f(-x),所以当x0时,f(x)=x2+2x,所以f(x)=x2-2x(x0),x2+2x(x0).(3)由(2)可得g(x)=x2-(2a+2)x+2,x1,2,对称轴为直线x=a+1.当a+11,即a2,即a1时,函数g(x)在区间1,2上单调递减,故函数g(x)的最小值为g(2)=2-4a.综上,函数g(x)的最小值为g(x)min=1-2a,a1.