2021_2022学年新教材高中数学第三章空间向量与立体几何3.4.1直线的方向向量与平面的法向量课后素养落实含解析北师大版选择性必修第一册20210618253.doc

1、课后素养落实(二十五)直线的方向向量与平面的法向量(建议用时：40分钟)一、选择题1已知非零向量a，b，c分别为平面，的法向量，且ab，bc，则与的位置关系是()A垂直B平行C相交D重合A由已知得ac，故选A2若(1，2，3)，(1，3，4)，则以下向量中，能成为平面OAB的法向量的是()A(1，7，5)B(1，7，5)C(1，7，5) D(1，7，5)C经检验，只有向量(1，7，5)分别与、垂直，故选C3已知平面内有一个点M(1，1，2)，平面的一个法向量是n(2，1，2)，则下列点P中，在平面内的是()AP(2，3，3) BP(2，0，1)CP(4，4，0) DP(3，3， 4)A由题意知

2、：点P在平面内nn0，经检验选项A符合题意4已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A(1，1，1) B(1，1，1)C(1，1，1)D(1，1，1) C设n(x，y，z)为平面ABC的法向量，则化简得 xyz5已知直线l的一个方向向量m(2，1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(1，2，z)两点，则yz等于()A0B1CD3AA(0，y，3)和B(1，2，z)，(1，2y，z3)，直线l的一个方向向量为m(2，1，3)，故设km12k，2yk，z33k解得k，yzyz0二、填空题6若n是坐标平面xOy的一个法向量，则n的坐标可以表示为

3、_答案，其中z07如图所示，正四棱锥SABCD中，O为底面中心，则平面SBD的法向量与的夹角等于_45正四棱锥底面为正方形，BDAC，SOAC，又BDSOO，AC平面SBD为平面SBD的一个法向量，458下列命题：直线l的方向向量为a(1，1，2)，直线m的方向向量b，则l与m垂直；直线l的方向向量a(0，1，1)，平面的法向量n(1，1，1)，则l；平面，的法向量分别为n1(0，1，3)，n2(1，0，2)，则；平面经过三点A(1，0，1)，B(0，1，0)，C(1，2，0)，向量n(1，u，t)是平面的法向量，则ut1其中为真命题的是_(把你认为正确命题的序号都填上)对于，a(1，1，2)

4、，b，ab121120，ab，直线l与m垂直，正确；对于，a(0，1，1)，n(1，1，1)，an011(1)(1)(1)0，an，l或l，错误；对于，n1(0，1，3)，n2(1，0，2)，n1与n2不共线，不成立，错误；对于，点A(1，0，1)，B(0，1，0)，C(1，2，0)，(1，1，1)，(1，1，0)向量n(1，u，t)是平面的法向量，即 则ut1，正确综上，真命题的序号是三、解答题9如图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为正方形且PDAD，E、F分别是PC、PB的中点(1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量；(2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量解(1)

5、取AD的中点M，连接MF，连接EF，E、F分别是PC、PB的中点，EFBC，又BCAD，EFAD，则由EFDM知四边形DEFM是平行四边形，MFDE，就是直线DE的一个方向向量(2)PD平面ABCD，PDBC，又BCCD，PDCDD，BC平面PCD，DE平面PCD，DEBC，又PDCD，E为PC中点，DEPC，从而DE平面PBC，是平面PBC的一个法向量，由(1)可知，就是平面PBC的一个法向量10如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点，ABAP1，AD，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量解因为PA平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以

6、AB，AD，AP两两垂直如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，0)，E，B(1，0，0)，C(1，0)，于是，(1，0)设n(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即 所以 令y1，则xz所以平面ACE的一个法向量为n(，1，)11若直线l的方向向量为a(1，0，2)，平面的法向量为n(2，0，4)，则()AlBlClDl与斜交Ba(1，0，2)，n(2，0，4)，n2a，即an，l12直线l的方向向量为a，是平行于平面内两个不共线向量，下列关系中能推出l的是()AaBakCaD以上均不能DA、B、C均表示l或l13(多选题)在直三棱柱ABCA1B1C1中，以

7、下向量可以作为平面ABC法向量的是()ABCDBCAA1平面ABC，B1B平面ABC，与可以作为平面ABC的法向量14(一题两空)如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周)若AMMP，则点P形成的轨迹长度为_，点S与P距离的最小值是_由题意可知，建立空间直角坐标系，如图所示则A(0，1，0)，B(0，1，0)，S(0，0，)，M，设P(x，y，0)，则，由0得y，点P的轨迹方程为y根据圆的弦长公式，可得点P形成的轨迹长度为2由SP知，当x0时，点S与P距离的最小，其最小值为15四棱锥PABCD中，底面ABCD是一个平行四边形， (

8、2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1)(1)求证：PA底面ABCD；(2)求四棱锥PABCD的体积；(3)对于向量a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，c(x3，y3，z3)，定义一种运算：(ab)cx1y2z3x2y3z1x3y1z2x1y3z2x2y1z3x3y2z1，试计算()的绝对值的值；说明其与四棱锥PABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算()的绝对值的几何意义解(1)证明：2240，APAB又4400，APADAB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，AP底面ABCD(2)设与的夹角为，则cos ，V|sin |16(3)|()|43248|48，它是四棱锥PABCD体积的3倍猜测：|()|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积