2021_2022学年新教材高中数学课时素养评价七第一章空间向量与立体几何1.2.2空间中的平面与空间向量含解析新人教B版选择性必修第一册202106042125.doc

1、七空间中的平面与空间向量(15分钟30分)1已知平面的法向量为(2，4，2)，平面的法向量为(1，2，k)，若，则k()A2 B1 C1 D2【解析】选C.设平面的法向量a(2，4，2)，平面的法向量b(1，2，k).因为，所以ab，所以存在实数使得ab.所以，得k1.【补偿训练】已知平面和平面的法向量分别为a(1，1，2)，b(x，2，3)，且，则x()A4 B2 C2 D4【解析】选A.因为，所以ab.所以abx260，解得x4.2已知平面的法向量为n(1，1，1)，直线AB与平面相交但不垂直，则向量的坐标可以是()A(2，2，2) B(1，3，2)C(2，1，1) D(1，2，3)【解析

2、】选D.因为(2，2，2)2(1，1，1)，即选项A中的向量与n平行，从而线面垂直，因为|x|3x(1)210，211(1)(1)10，所以选项B、C中的向量与n垂直，从而线面平行或线在面内，而选项D中的向量与n不平行，也不垂直，所以的坐标可以是(1，2，3).3如图所示，在三棱锥PABC中，PABC，PBAC，点G是P在平面ABC内的射影，则G是ABC的()A内心 B外心 C垂心 D重心【解析】选C.连接AG，BG，则AG，BG分别为AP，BP在平面ABC内的射影因为PABC，所以由三垂线定理的逆定理知AGBC，同理，BGAC，所以G是ABC的垂心4已知线段AB的两端点坐标为A(9，3，4)

3、，B(9，2，1)，则线段AB与哪个坐标平面平行_【解析】(0，5，3)，因为yOz面方程为x0，yOz面答案：yOz平面5已知PA平面ABCD，PAAB3，平面ABCD为正方形试建立适当的平面直角坐标系，分别求下列平面的法向量：(1)平面ABCD；(2)平面PAB；(3)平面PBC；(4)平面PCD.【解析】如图所示，建立空间直角坐标系则(1)平面ABCD的法向量为(0，0，1)；(2)平面PAB的法向量为(0，1，0)；(3)由B(3，0，0)，C(3，3，0)，P(0，0，3)，所以(3，0，3)，(3，3，3)，设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则，所以取n(1，0，1)，即平面

4、PBC的法向量为(1，0，1)；(4)由(3)同理可得：平面PCD的法向量为(0，1，1). (30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1已知两不重合的平面与平面ABC，若平面的法向量为n1(2，3，1)，(1，0，2)，(1，1，1)，则()A平面平面ABCB平面平面ABCC平面、平面ABC相交但不垂直D以上均有可能【解析】选A.由题意，计算n121(3)01(2)0，得n1；计算n121(3)1110，得n1；所以n1平面ABC，所以平面的法向量与平面ABC的法向量共线，则平面平面ABC.2设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件n0的点M构成的图形是()A圆 B直线C

5、平面 D线段【解析】选C.M构成的图形经过点A，且是以n为法向量的平面3已知直线l的方向向量为s(1，2，x)，平面的法向量n(2，y，2)，若l，则xy的最大值为()A1 B C D【解析】选B.由题意可得sn，所以sn22y2x0，可得xy1.当x，y同负，一正一负或一个为0，一个为1时，均不满足题意，令x，y0，则12，可得xy，当且仅当xy时取等号4已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A BC D【解析】选D.(1，1，0)，(1，0，1).设平面ABC的一个法向量为n(x，y，z).则所以令x1，则y1，z1，所以n(1，1，1

6、)，单位法向量为(，)或(，).二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5已知v为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面，的法向量(，不重合)，那么下列选项中，正确的是()An1n2 Bn1n2Cvn1l Dvn1l【解析】选AB.v为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面，的法向量(，不重合)，则n1n2，n1n2，vn1l，vn1l或l.因此AB正确6已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1).下列结论正确的有()AAPABBAPADC是平面ABCD的一个法向量D【解析】选ABC.对于A，2

7、(1)(1)2(4)(1)0，所以，即APAB，A正确；对于B，(1)422(1)00，所以，即APAD，B正确；对于C，由，且，得出是平面ABCD的一个法向量，C正确；对于D，由是平面ABCD的法向量，得出，则D错误三、填空题(每小题5分，共10分)7已知A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(1，0，1)，(2，1，1)，点P的坐标是(x，0，y)，若PA平面ABC，则点P的坐标是_【解析】根据题意，可得(1，1，1)，(2，0，1)，(x，1，y)，因为PA平面ABC，所以且，可得，解之得x1，y2，可得P的坐标是(1，0，2).答案：(1，0，2)8在空间四边形PABC中，PA平面AB

8、C，ACBC，若A在PB，PC上的射影分别为E，F.则EF与PB的位置关系是_【解析】因为PA平面ABC，所以PABC.又因为ACBC，PAACA，所以BC平面PAC.而AF平面PAC，所以BCAF.又因为F是点A在PC上的射影，所以AFPC，又BCPCC，所以AF平面PBC.所以AE在平面PBC内的射影为EF.又因为E为A在PB上的射影，所以AEPB.由三垂线定理的逆定理知EFPB.答案：EFPB四、解答题(每小题10分，共20分)9如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，ABACAA1，D为BC的中点(1)证明：A1B平面ADC1；(2)证明：平面ADC1平面BB1C1C.【证明】

9、(1)因为在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，所以以A1为原点，C1A1为x轴，A1B1为y轴，A1A为z轴，建立空间直角坐标系，设ABACAA12，则A1(0，0，0)，B(0，2，2)，A(0，0，2)，C(2，0，2)，D(1，1，2)，C1(2，0，0)，(0，2，2)，(1，1，0)，(2，0，2)，设平面ADC1的法向量n(x，y，z)，则，取x1得n(1，1，1)，因为n0220，且A1B平面ADC1，所以A1B平面ADC1.(2)因为(1，1，0)，(1，1，2)，设平面BB1C1C的法向量m(a，b，c)，则取a1，得m(1，1，0)，又平面ADC1的法向量n(1，1，

10、1)，nm1100，所以平面ADC1平面BB1C1C.10如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD为等腰梯形，ABDC，ACBD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO2，PO，PBPD.设点M在棱PC上，问M点在什么位置时，PC平面BMD.【解析】因为PO平面ABCD，所以POBD，又PBPD，BO2，PO，由平面几何知识得：ODOC1，BOAO2，以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为O(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，)，设M(x0，0，z0)，由于P

11、，M，C三点共线，得，又(x0，0，z0)，(1，0，)，由对应系数成比例有z0x0，则M(x0，0，x0)，(x0，2，x0)，连接BM，DM，因为PC平面BMD，所以，所以(1，0，)(x0，2，x0)0，得x0，所以z0，所以M，故2，则M点是靠近C点的三等分点1如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面A1B1C1，BAC90，ABACAA11，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是()A当点Q为线段B1P的中点时，DQ平面A1BDB当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ平面A1BDC在线段B1P的延长线上，存在一点Q

12、，使得DQ平面A1BDD不存在DQ与平面A1BD垂直【解析】选D.以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由已知得A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1，0)，B(1，0，1)，D，P(0，2，0)，(1，0，1)，(1，2，0)，.设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则取z2，则x2，y1，所以平面A1BD的一个法向量为n(2，1，2).假设DQ平面A1BD，且(1，2，0)(，2，0)，则，因为也是平面A1BD的法向量，所以n(2，1，2)与共线，于是有成立，但此方程关于无解故不存在DQ与平面A1BD垂直2如图，在矩形

13、ABCD中，AB，BCa，又PA平面ABCD，PA4.(1)若在边BC上存在点Q，且使得PQQD，求a的取值范围；(2)当BC边上存在唯一点Q，使PQQD时，求异面直线AQ与PD所成角的余弦值【解析】(1)分别以AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则B(0，0)，C(a，0)，D(a，0，0)，P(0，0，4)，设Q(t，0)，可得(t，4)，(ta，0)，因为PQDQ，所以t(ta)30，即t2at30，因此，a2120，又因为a0，解之得a2；(2)因为边BC上存在唯一的点Q，使得PQQD，所以由(1)得a2，t可得Q(，0)，(，0)，(2，0，4)，所以cos ，因此异面直线AQ与PD所成角的余弦值为.