2021_2022学年新教材高中数学课时素养评价二十八第三章空间向量与立体几何4.1直线的方向向量与平面的法向量含解析北师大版选择性必修第一册202106042104.doc

1、二十八直线的方向向量与平面的法向量(15分钟30分)1已知线段AB的两端点坐标为A(9，3，4)，B(9，2，1)，则线段AB与坐标平面()AxOy平行 BxOz平行CyOz平行 DyOz相交【解析】选C.因为(9，2，1)(9，3，4)(0，5，3)，所以AB平面yOz.2设直线l的方向向量为a，平面的法向量为b，若ab0，则()Al BlCl Dl或l【解析】选D.因为ab0，所以l或l.3在直三棱柱ABCA1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC的法向量的是_.(填序号)；AA1；B1B；【解析】因为AA1平面ABC，B1B平面ABC，所以与可以作为平面ABC的法向量答案：4已知直线l的

2、方向向量为(2，m，1)，平面的法向量为，且l，则m_.【解析】因为l，所以l的方向向量与的法向量垂直所以(2，m，1)2m20.解得m8.答案：85如图所示，在四棱锥SABCD中，底面是直角梯形，ABC90，SA底面ABCD，且SAABBC1，AD，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量【解析】如图，以A为原点，以，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，D，C(1，1，0)，S(0，0，1)，则，.易知向量是平面SAB的一个法向量设n(x，y，z)为平面SDC的法向量，则即取x2，则y1，z1，所以平面SDC的一个法向量为(2，1，1).

3、(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是()A平行 B垂直C相交但不垂直 D无法确定【解析】选A.因为(2，2，2)，(1，1，1)，所以2，所以.即ABCD.2已知点A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(1，0，1)，(2，1，1)，点P的坐标为(x，0，z)，若PAAB，PAAC，则x()A B C D1【解析】选A.由题意得，(x，1，z)，(1，1，1)，(2，0，1)，因为PAAB，PAAC，所以0，0，所以解得所以x.3如图，PA平面ABCD，四边

4、形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BFPE时，AFFD的值为()A12 B11C31 D21【解析】选B.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为1，PAa，则B(1，0，0)，E，P(0，0，a).设点F的坐标为(0，y，0)，则(1，y，0)，.因为BFPE，所以0，解得y，即点F的坐标为，所以F为AD的中点，所以AFFD11.4已知(2，2，1)，(4，5，3)，则平面ABC的一个单位法向量可表示为()A(1，2，2) BC D【解析】选C.设平面ABC的一个法向量为a(x，y，z)，则有所以令z1，得y1，x，所以a，故平面ABC的一个单位法向量为.二、多选题

5、(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5若n(2，3，1)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面法向量的是()An1(2，3，1) Bn2(200，300，100)Cn3(2，3，) Dn4(2，3，0)【解析】选ABC.因为n1n，n2100n，n3n，所以n1n，n2n，n3n，即n1，n2，n3都能作为平面的法向量6已知平面内有一点A(2，1，2)，的一个法向量为n(3，1，2)，则下列点P中，在平面内的是()AP(3，2，1)BPCPDP【解析】选AB.要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量n是否垂直，即n是否为0.对于选项A，(1

6、，1，1)，则n(1，1，1)(3，1，2)0，故点P在平面内；对于选项B，则n(3，1，2)0，故点P在平面内；对于选项C，则n(3，1，2)60，故点P不在平面内；对于选项D，则n(3，1，2)120，故点P不在平面内三、填空题(每小题5分，共10分)7已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1).给出下列结论：APAB；APAD；是平面ABCD的一个法向量其中正确的是_(填序号).【解析】2(1)(1)2(4)(1)2240，则，即ABAP；4(1)2200，则，即APAD.又ABADA，所以AP平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量

7、答案：8(2021丽水高二检测)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D的位置关系是_，若D1EEC，则AE_.【解析】在长方体ABCDA1B1C1D1中，以D为原点，以，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，又ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动，则D(0，0，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，2，0)，设E(1，m，0)，0m2，则(1，m，1)，(1，0，1)，所以1010，所以直线D1E与A1D垂直因为(1，m，1)，(1，2m，0)，D1EEC，所以1m(2m)00

8、，解得m1，所以AE1.答案：垂直1四、解答题(每小题10分，共20分)9已知ABC的边AB和AC的方向向量分别为m(1，2，2)，n(2，1，2).(1)求AB边和AC边上的高所在直线的方向向量；(2)求平面ABC的一个法向量【解析】(1)设AB边和AC边上的高所在直线的方向向量分别为u(x，y，z)，v(a，b，c)；则um0，vn0，可得x2y2z0，2ab2c0，取u(4，1，1)，v(1，4，1).(2)设垂直AB边和AC边的直线的方向向量为l(x1，y1，z1)，所以lm0，ln0，所以，取l(6，2，5).10如图所示，在三棱锥PABC中，ABAC，点D为BC的中点，PO平面AB

9、C，垂足O落在线段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM3，试证明平面AMC平面BMC.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(0，3，0)，B(4，2，0)，C(4，2，0)，P(0，0，4)，(1)(0，3，4)，(8，0，0)，所以(0，3，4)(8，0，0)0，所以，即APBC.(2)由(1)知|AP|5，又|AM|3，且点M在线段AP上，所以.又因为(4，5，0)，所以，则(0，3，4)0，所以，即APBM.又根据(1)的结论知APBC，BMBCB，所以AP平面BMC，于是AM平面BMC.又因为AM平

10、面AMC，故平面AMC平面BMC.1在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BPA1E，BQA1E.(1)若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是_；(2)的最小值为_.【解析】(1)以D为空间直角坐标系的原点，以DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴，如图所示，A1(1，0，1)，E，B(1，1，0)，因为P，Q均在平面A1B1C1D1内，所以设P(a，b，1)，Q(m，n，1)，(a1，b1，1)，(m1，n1，1)，因为BPA1E，BQA1E，所以解得所以(nb，nb，0)，(1，1，0)，所以(nb)，即

11、PQ与BD的位置关系是平行(2)由(1)可知ba，(a1，b，0)，.当a时有最小值，最小值为.答案：(1)平行(2)2如图，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且AD2，AB1，PA平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点判断并说明PA上是否存在点G，使得EG平面PFD.【解析】存在因为PA平面ABCD，BAD90，AB1，AD2，如图，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，F(1，1，0)，D(0，2，0).不妨令P(0，0，t)，所以(1，1，t)，(1，1，0)，设平面PFD的一个法向量为n(x，y，z)，由得令z1，解得xy，所以n.设点G的坐标为(0，0，m)，又E，则.要使EG平面PFD，只需n0，即0m10，即m0，解得mt，从而满足AGAP的点G即为所求