2021_2022版高中数学第三章不等式3.3.2.2简单线性规划的应用素养评价检测含解析新人教A版必修520210317283.doc

1、简单线性规划的应用(20分钟35分)1.已知M,N是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点,则|MN|的最大值是()A.B.C.3D.【解析】选B.作出不等式组表示的平面区域,得到如图的四边形ABCD,其中A(1,1),B(5,1),C,D(1,2),因为M,N是区域内的两个不同的点,所以移动点M,N,可得当M,N分别与对角线BD的两个端点重合时,距离最远,因此|MN|的最大值是|BD|=.2.已知O是坐标原点,点A(-1,1),若点M(x,y)为平面区域上的一个动点,则的取值范围是()A.-2,0B.-2,0)C.0,2D.(0,2【解析】选B.不等式组等价为作出不等式组对应的平面区域如图

2、:设z=,因为A(-1,1),M(x,y),所以z=x-y,即y=x-z,平移直线y=x-z,由图象可知当y=x-z,经过点D(0,2)时,直线截距最大,此时z最小为z=0-2=-2.当直线y=x-z,经过点B(1,1)时,直线截距最小,此时z最大为z=1-1=0.故-2z0.3.某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A/吨3212B/吨128A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元【解析】选D.根据题意,设每天生产甲x吨,乙

3、y吨,则目标函数为z=3x+4y,作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,作出直线3x+4y=0并平移,易知当直线经过点A(2,3)时,z取得最大值且zmax=32+43=18,故该企业每天可获得最大利润为18万元.4.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如表.每亩年产量每亩年种植成本每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为.【解析】设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x亩,y亩,则总利润z=40

4、.55x+60.3y-1.2x-0.9y=x+0.9y.此时x,y满足条件画出可行域如图,得最优解为A(30,20).答案:30,205.一农民有基本农田2亩,根据往年经验,若种水稻,则每季每亩产量为400公斤;若种花生,则每季每亩产量为100公斤,但水稻成本较高,每季每亩240元,而花生只需80元,且花生每公斤卖5元,稻米每公斤卖3元,现该农民手头有400元,那么能获得的最大收益为元.【解析】设该农民种x亩水稻,y亩花生时能获得利润z元,则即z=960x+420y,作出可行域如图阴影部分所示,将目标函数变形为y=-x+,作出直线y=-x,在可行域内平移直线y=-x,可知当直线过点B时,z有最

5、大值,由解得B,故当x=1.5,y=0.5时,zmax=1 650元,故该农民种1.5亩水稻,0.5亩花生时,能获得最大利润,最大利润为1 650元.答案:1 6506.学校计划制作一些铁皮箱子,需要小号铁皮100块,大号铁皮45块.已知市场出售A、B两种不同规格的铁皮,经过测算,A种规格的铁皮可同时裁得大号铁皮3块,小号铁皮10块;B种规格的铁皮可同时裁得大号铁皮6块,小号铁皮12块.已知A种规格铁皮每张195元,B种规格铁皮每张260元.分别用x,y表示购买A、B两种不同规格的铁皮的张数.(1)用x,y列出满足条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)根据制作需求,A、B两种不同规格的

6、铁皮各买多少张花费资金最少?并求出最少资金数.【解析】(1)由题意可得x,y满足的数学关系式为则对应的平面区域如图所示(取整点):(2)设花费资金为z元,则目标函数为z=195x+260y,得y=-x+,平移直线y=-x+,可知当直线经过可行域中的M点(当M为整点)或靠近M的整点时,截距最小,此时z最小.由,得,此时可行域里的整点取(3,6)时z有最小值,最小值z=1953+2606=2 145,即购买A,B两种铁皮分别为3张,6张时,花费资金最少,为2 145元.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知M(-4,0),N (0,4),点P(x,y)的坐标x,y满足,则的最

7、小值为()A.B.C.-D.-【解析】选C.由点P(x,y)的坐标x,y满足作出可行域如图,则=(x+2)2+(y-2)2-8的几何意义为P(x,y)到点A(-2,2)的距离的平方再减8,由d=,可得(x+2)2+(y-2)2-8的最小值为-8=-.2.某企业生产甲、乙两种产品.已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨,那么该企业可获得最大利润是()A.12万元B.20万元C.25万元D.27万元【解析】选D.设该企业在一个

8、生产周期内生产甲产品x吨,乙产品y吨,获得利润z万元,则依题意,有目标函数z=5x+3y,画出不等式组表示的平面区域及直线l0:5x+3y=0,易知当平移l0经过点(3,4)时,z取得最大值为53+34=27.3.设点M是表示的区域1内任一点,点N是区域1关于直线l:y=x的对称区域2内的任一点,则|MN|的最大值为()A.B.2C.4D.5【解析】选D.作出不等式组对应的平面区域1,(阴影部分在第二象限)因为平面区域2与1关于直线y=x对称,所以要使MN的距离最大,则只需点M到直线y=x的距离最大即可,由图象可知当点M位于的交点(-4,1)时,满足题意,此时M到直线x-y=0的距离d=,所以

9、MN的最大值为2d=5.4.设不等式组表示的平面区域为,则()A.原点O在内B.的面积是1C.内的点到y轴的距离有最大值D.若点P(x0,y0),则x0+y00【解析】选D.不等式组表示的可行域如图:显然O不在可行域内部.的面积不是1;内的点到y轴的距离没有最大值;点P(x0,y0),则x0+y00,正确.二、填空题(每小题5分,共20分)5.甲、乙两工厂根据赛事组委会要求为获奖者定做某工艺品作为奖品,其中一等奖奖品3件,二等奖奖品6件;制作一等奖、二等奖所用原料完全相同.但工艺不同,故价格有所差异.甲厂收费便宜,但原料有限,最多只能制作4件奖品,乙厂原料充足,但收费较贵,它们的具体收费如表所

10、示,则组委会定做该工艺品的费用总和最低为元.工厂一等奖奖品收费/(元/件)二等奖奖品收费/(元/件)甲500400乙800600【解析】设甲厂生产一等奖奖品x件,二等奖奖品y件,x,yN,则乙厂生产一等奖奖品(3-x)件,二等奖奖品(6-y)件,则x,y满足设费用为z元,则z=500x+400y+800(3-x)+600(6-y)=-300x-200y+6 000,作出不等式组对应的平面区域,如图阴影部分(包括边界)中的整点.由图象知当直线经过点A时,直线在y轴上的截距最大,此时z最小.由解得即A(3,1),故组委会定做该工艺品的费用总和最低为zmin=-3003-2001+6 000=4 9

11、00(元).答案:4 9006.已知不等式xyax2+2y2,若对任意x(1,2),且y2,3,该不等式恒成立,则实数a的取值范围是.【解析】依题意得,当x(1,2),且y2,3时,不等式xyax2+2y2,即a=-2=-2+.在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域,注意到可视为该区域内的点(x,y)与原点连线的斜率,结合图形可知,的取值范围是(1,3),此时-15-2+0),解得z=1+.答案:1+三、解答题(每小题10分,共20分)9.2020年武汉某医院用甲、乙两种原料为新冠肺炎病人配营养餐.甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质,售价3元;乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单

12、位铁质,售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问:应如何使用甲、乙两种原料,才能既满足病人的营养需要,又使费用最省?【解析】设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g,总费用为z元,那么目标函数为z=3x+2y,作出可行域如图所示:把z=3x+2y变形为y=-x+,得到斜率为-,它是在y轴上的截距为且随z变化的一组平行直线.由图可知,当直线y=-x+经过可行域上的点A时,截距最小,即z最小.由得A,所以zmin=3+23=14.4.所以甲种原料10=28(g),乙种原料310=30(g),即当使用甲、乙两种原料分别为28 g、30 g时,才能既满足病人的营养需要,又能使

13、费用最省.10.某工厂要制造A种电子装置42台,B种电子装置55台,为了给每台装置配上一个外壳,需要从甲乙两种不同的钢板上截取.已知甲种钢板每张面积为2 m2,可作A外壳3个B外壳5个;乙种钢板每张面积为3 m2,可作A外壳和B外壳各6个.用这两种钢板各多少张,才能使总的用料面积最小?【解析】设用甲种钢板x张,乙种钢板y张,总的用料面积为z m2,由题意得:z=2x+3y且作出可行域如图:解方程组得A点坐标为,z=2x+3y=24非整数.调整,可得最优整数解是(5,5)和(8,3),此时zmin=25.所以用甲种钢板5张,乙种钢板5张或用甲种钢板8张,乙种钢板3张才能使总的用料面积最少.1.设

14、关于x,y的不等式组表示的平面区域为.记区域上的点与点A(0,-1)距离的最小值为d(k),则(1)当k=1时,d(1)=;(2)若d(k),则k的取值范围是.【解析】(1)关于x,y的不等式组表示的平面区域为,是如图的区域,区域上的点与点A(0,-1)距离的最小值为d(k),d(1)=2.(2)若d(k),可知区域上的点与点A(0,-1)距离的最小值为d(k),直线y=kx+1恒过(0,1),由图形,可知直线经过B(1,0)时,区域上的点与点A(0,-1)距离的最小值为,此时直线的斜率为:-1,所以k-1.答案:(1)2(2)-1,+)2.若实数a,b满足求的取值范围.【解析】作出不等式组对

15、应的平面区域如图(阴影部分):则=-3,的几何意义为阴影部分的动点(a,b)到定点原点连线的斜率k.由图象可知当点位于B时,直线的斜率最大,当点位于A时,直线的斜率最小,由解得B,所以BO的斜率为3,由可得A(1,1),OA的斜率为1,所以1k3,则=-3=-.【补偿训练】已知实数x,y满足若yk(x+1)-1恒成立,求k的取值范围.【解析】作出实数x,y满足对应的平面区域如图,则由图象知x0,由不等式yk(x+1)-1恒成立,得k(x+1)y+1,即k,设z=,则z的几何意义是区域内的点到定点D(-1,-1)的斜率,由图象知BD的斜率最小,由得B(1,0),此时z的最小值为=,即k,即实数k的取值范围是.