广东省深圳中学高中数学必修二导学案11.立体几何中的思想方法及其应用.doc

1、11立体几何中的思想方法及其应用曾劲松学习目标1熟练运用立体几何中常见的转化的思想方法：降维的转化、位置关系的转化、割补的转化、等积的转化等2熟练运用分类讨论的思想方法解决立体几何中的问题来源:学,科,网3能利用函数与方程的思想解决立体几何中的动态问题4进一步熟练解决以下基本题型：平行与垂直的证明、结论探索性问题、求空间角、求空间距离、翻折问题一、夯实基础基础梳理1立体几何中转化思想（1）降维的转化：由三维空间向二维平面转化，把空间的基本元素转化到某一个平面中去，用平面几何知识来解决问题例如三种角（线线角、线面角、二面角）和四种距离（线线距、点面距、线面距、面面距）从定义到具体的计算都体现了空

2、间到平面的转化（2）位置关系的转化：空间平行关系之间的转化空间垂直关系之间的转化（3）割补的转化：通过“割”或“补”可化复杂图形为已熟知的简单几何体，从而较快地找到解决问题的突破口例如有些特殊的三棱锥（或四棱锥），我们其放置在一个长方体中（4）等体积的转化：求一个几何体的体积转化求另一个几何体的体积（或换一个角度求同一个几何体的体积）此法常用来求点到平面的距离，好处是回避了找垂足的具体位置例如，求斜线与平面所成角时，只需求得斜线上某点到斜足的距离及该点到平面的距离，即可得到该角的正弦2熟练运用分类讨论的思想方法解决立体几何中的问题例如【自主探究】第3题3能利用函数与方程的思想解决立体几何中的动

3、态问题动态问题是指某些点、线、面的位置是不确定的、可变的我们可以考虑设置一个关键的变量，其它量的变化均由此变量引发，构建目标函数，于是用代数的方法来解决要注意“动”与“静”是相对的，通常用一个特定的静的状态来研究运动中的几何体4翻折问题把一个平面图形按照某种要求折起，转化为空间图形，进而研究图形在空间位置关系和数量上的变化，这就是翻折问题这类题的关键是弄清翻折的变与不变，例如哪些角度、距离、位置关系发生了变化，而哪些没有基础达标1（2007年湖北）平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：；与相交与相交或重合；与平行与平行或重合其中不正确命题的个数是（ ）A1B2C3

4、D42（2010江西）过正方体的顶点作直线，使与棱所成的角都相等，这样的直线可以作（ ）A1条B2条C3条D4条3（2012年浙江）已知矩形，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，（ ）A存在某个位置，使得直线与直线垂直B存在某个位置，使得直线与直线垂直C存在某个位置，使得直线与直线垂直D对任意位置，三组直线“与”，“与”，“与”均不垂直4（2012年全国卷）已知正四棱柱中，为的中点，则直线与平面的距离为（ ）A2BCD15（2000年全国卷）如图，、分别为正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是_（把可能的图的序号都填上）二、学习指引自主探究1已知三棱锥中，底面

5、，平面平面，那么吗？2如图，在四面体中，截面经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）的球心，与，分别交于点，且将四面体分成体积相等的两部分设四棱锥与三棱锥的表面积分别是，你能比较与的大小吗？3若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值会是多少？4如图，在棱长为的正方体中，是棱上的一条线段，且，若是上的定点，在上滑动，那么四面体的体积如何变化？5如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直点在上移动，点在上移动，若（）当为何值时，的长最小？案例分析1如图，三棱柱中，点，分别为，的中点，点为的重心从，中取一点作为点，使得该棱柱恰有两条棱与平面平行，则点为（ ）A BCD【解析】

6、根据三棱柱的性质和确定平面的条件，分别作出截面，则截面有5五条棱与面平行，截面六条棱与面平行，截面有两条棱与面平行，截面有零条棱与面平行说明：本题关键是利用“中点”所蕴含的平行关系（转化为三角形的中位线）可逐个尝试，找出与平面平行的所有棱选C2四面体的三组对棱分别相等，且其长度依次为，5，求它的体积【解析】由于长方体相对的两个面的对角线的长相等，我们考虑把四面体补全为长方体，如图所示并设长方体的长、宽、高分别为，则又因为四面体的体积等于长方体的体积减去四个三棱锥的体积，所以3如图，在正四面体中，为的中点，为上异于中点和端点的任一点，则在四个面的射影可能是_【解析】在底面内的正投影为（2），在侧

7、面的正投影为（3），而在另两个侧面的正投影则未画出来选（2）（3）4如图，正方体中，在上，在上，且求证：平面【解析】证法一：连延长交于，连结，又平面，平面证法二：作交于，连吉，平面由可得，又平面，平面，平面平面，平面平面说明：（1）证法一为了证线面平行，先构造线线平行，即过作与平面相交的平面（实际就是作几何体的截面），从而找到了与平行的直线（2）实际上，、是夹在两平行平面间的两条线段，且，从而有平面，这种模型在立体几何中很常见5如图，三棱锥中，设与，都平行的截面四边形的周长为，求的取值范围【解析】由平面知，同理四边形是平行四边形因为，所以同理可知，于是由的取值范围可得的取值范围是（8，12）说

8、明：本题是典型的空间几何体的截面问题，解题的关键是从线面平行中得出截面四边形的特征，并借助相似三角形将周长与已知联系起来可先从特殊情形入手理解，例如当为的中点时的情形，与或重合时的极端情形等6如图，一个倒立的圆锥形容器的轴截面是正三角形，在这容器内注入水并且放入一个半径为的铁球，这时水面恰好和球面相切将圆锥内的铁球取出后，圆锥内水面的高是多少？【解析】设将圆锥内的铁球取出后，圆锥内水面的高是易知点为的中心球取出后圆锥底面半径由于球的体积加上以为底面半径的圆锥的体积等于以为底面半径的圆锥的体积，所以解得来源:Zxxk.Com三、能力提升能力闯关1（2003年全圉卷）下列5个正方体图形中，是正方体

9、的一条对角线，点、分别为其所在棱的中点，能得出面的图形的序号是_（写出所有符合要求的图形序号）2（2010年江苏）四棱锥中，平面，（1）求证：；（2）求点到平面的距离3在四面体中，且（1）设为的中点证明：在上存在一点，使，并计算的值；（2）求二面角的平面角的余弦值拓展迁移4（2009年四川）如图，六棱锥的底面是正六边形，平面，则下列结论正确的是（ ）A B平面平面C直线平面D直线与平面所成的角为5如图，已知平面平面，线段分别交，于，两点，线段分别交，于，两点，线段分别交，于，两点，且，是异面直线若，则_挑战极限6如图，已知平行六面体的底面是菱形，且，（1）证明：；（2）假定，记面为，面为，求二

10、面角的平面角的余弦值；（3）当的值为多少时，可使上面？课程小结1认真体会立体几何中常见的转化的思想方法、分类讨论的思想方法2体会用代数的方法，构建目标函数解决解决立体几何中的动态问题3翻折问题中变与不变立体几何中的思想方法及其应用一、夯实基础基础达标.都有不垂直的反例，都有异面的反例.考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、化归转化的能力第一类：通过点位于三条棱之间的之间有一条体对角线第二类：在图形外部和每条棱的外角和另条棱夹角相等，有条，合计条.在平面内作于，连接在翻折过程中，若存在，则平面，从而，这是不可能得，故错误在翻折过程中，动直线是相应圆锥的母线与动直线所成的角，即为翻折

11、前的与动直线（母线）所成的角，由于该圆锥的锥顶角为钝角，故与动直线所成的角可能为，故正确用的办法可知、错误连接交于点，易证平面平面，从而直线与平面的距离即为直线与的距离，也等于点到直线的距离因正方体是由三对平行面所组成，所以只要将四边形在三个方向上作投影即可，因而可分为三类情况讨论（）在面上作投影可得（平行四边形）；（）在面上作投影可得（线段）；（）在面上作投影可得（平行四边形）说明：截面、射影的问题是空间图形和平面问题间变换的一种重要题型，像本题一样的定性分析题一定要抓住图形的特性（平行、垂直等）进行分析二、学习指引.在平面内作于（图略）平面平面，平面，从而底面，平面，又平面，说明：本问题的

12、突破口是要由面面垂直自然联想到其性质定理达到“面面垂直线面垂直线线垂直”的转化.设内切线的半径为，则由题意可知，两边同加得，说明：本题考查棱锥体积公式，借助于等体积转化为表面积，其关键是发现内切球半径的作用而将几何体作分割这当中也包含了类似思想，即类比平面几何中利用三角形内切圆半径解决问题的思路，得出利用几何体内切球的球心到各个切面的距离相等的结论，并把这个距离看作棱锥的高.可分下列三种情形：（）若四面体五条边长为，另一边长为如图（），设，取得中点为，平面把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知面，且，所以，来源:学#科#网Z#X#X#K设是的中点，则，从而，故（）对棱相等的四面体，如图（），其体

13、积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行，可得（）有一个三角形三边长为，余下三边长均为，如图（）可求得高为，从而综合上所述，体积可以是、说明：本题表面上是考查椎体求积公式这个知识点，实际上还考查了分类讨论的能力首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的排除,，可得,，,，然后由这三类面的空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积.在中，底边是定值，且到的距离也是定值，故它的面积是定值又点到面的距离也是定值因此，四面体的体积是定值说明：此题的解决需要我们仔细分析图形的特点这个图形有很多不确定因素，线段的位置不定，点在滑动，但在这一系列的变化中可以发现其中的稳定因素

14、选取恰当的点和三角形作为三棱锥的顶点和底面来解决其体积，体现了等积的转化的思想作交于点，交于点，连接，依题意可得，且，即时平行四边形，由已知，即，来源:学#科#网当时，即，分别移动到，的中点时，的长最小，最小值为说明：对于立体几何中的动态问题，找到相应的变量，并建立函数模型，利用函数的性质加以解决，体现了立体几何中的函数与方程的思想三、能力提升.易知是合要求的，由于五个图形中的在同一位置，只要观察图中的平面哪一个和中的平面平行（转化为面面平行）即可说明：本题中选中平面作为“参照系”，可清晰解题思路，明确解题目标（）平面，又平面，由，得，又，平面，平面，平面平面，故（）连结设点到平面的距离为，从

15、而由，得得面积由平面及，得三棱柱的体积平面，平面，又，由，得的面积由，得，故点到平面的距离等于（）在平面内作交于，连接又，平面平面，取为的中点，则在等腰中，在中，在中，（）连接，由，知：平面又，又由，平面是在平面内的射影在等腰中，为的中点，于是可证为二面角的平面角在等腰中，在中，在中，如图，与在平面上的射影不垂直，不成立又平面平面，不成立平面，不成立在中，如图，由平面平面可知，由等角定理知，故于是（）证明：连结、，和交于点，连结四边形是菱形，又，是公共边，但，平面，又平面，（）解：由（）知，是二面角的平面角来源:Zxxk.Com在中，即作，垂足为，则是中点且，（）解：由（）只平面，平面，当时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可证，又，平面