广东省深圳中学高中数学必修二导学案3.空间几何体的表面积和体积.doc

1、3空间几何体的表面积和体积曾劲松学习目标1了解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式2会求一些简单几何体的表面积和体积，体会积分思想在计算表面积和体积中的应用。一、夯实基础基础梳理1几何体的表面积（1）设直棱柱高为，底面多边形的周长为发，则_。（2）设正棱锥底面边长为，周长为，斜高为，则_（3）设正棱台下底面边长为，周长为，上底面边长为，周长为，斜高为，则_（4）设圆柱底面半么为，母线长为，则_，_（5）设圆锥底面半么为，母线长为，则_，_（6）设圆台上底面半径为，下底面半径为，母线长为，则_，_（7）设球的半径为，则_。3几何体的体积公式（1）柱体的体积_（其中为柱体的底面面积，为高）。特别

2、地，底面半径是，高是的圆柱体的体积。（2）锥体的体积_（其中为锥体的底面面积，为高）。特别地，底面半径是，高是的圆锥的体积。（3）台体的体积_（其中，分别是台体上、下底面的面积，为高）。特别地，上、下底面的半径分别是、，高是的圆台的体积。来源:学+科+网Z+X+X+K（4）球的体积_（其中为球的半径）。基础达标1侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为时，该三棱锥的全面积是（ ）ABCD2表面积为的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的全面积是（ ）A1B2C3D43下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）ABCD4某几何体的三视图如上，则它的体积是（ ）来源:

3、学科网ZXXKABCD5如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱若水平放置时，液面恰好过，的中点，则当底面水平放置时，液面的高为多少？来源:学科网二、学习指引自主探究1柱、椎、台的体积公式如下，谈谈它们之间的关系2祖暅原理：幂势既同，则积不容异意思是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果得到的两个截面的面积相等，那么这两个几何体的体积相等。现有一个棱锥和一个圆锥，它们的底面积都是，高都是，它们的体积相等吗？3下图是一个三棱柱，将它分割成三个三棱锥试分析下列每组三棱锥的底面积和高的关系：（1）与；（2）与。由此可否得出锥体体积的计算公式？4右图中圆柱的高和底面半径都

4、等于半球的半径，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与半球放在同一水平面用任一水平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面试问两个截面的面积是否相等？你能不能利用圆柱的体积来探求球的体积？5研究以下几个常用的结论：（1）正方体的棱长为，球的半径为，正方体的外接球，则_；正方体的内切球，则_；球与正方体的各棱相切，则_（2）长方体的同一顶点的三条棱长分别为，外接球的半径为，则_（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为_案例分析1圆锥的底面半径为，轴截面（过轴的截面）为正三角形，则其内切球的表面积为_。【解析】如图，球心为，圆锥底面圆心为，为球半径，为圆

5、锥底面圆半径，所以球的表面积为。2如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为_。【解析】，侧面展开后如下图所示把与侧面展开如右图所示连结，过作，则，若把与侧面展开如右图。连结，作于，作于点，则。来源:Zxxk.Com比较以上三条路径，第三条最小，间最短路径为。3在三棱锥中，三条侧棱两两垂直，则点到平面的距离为_。【解析】三条侧棱两两垂直，故三棱锥的体积为，另一方面，的面积为（是一个等腰三角形），所以，由（1），（2）得。说明：利用等体积法可以求几何体的高，即点到底面的距离三、能力提升来源:学_科_网Z_X_X_K能力闯关1正五棱锥的侧面顶角为12度，侧棱长为4

6、，从的中点沿它的侧面一周又回到中点的最短距离是_。2正三棱柱的底面边长和高都是4，分别是的中点则三棱锥的体积是_，点到面的距离是_。3正六棱锥中，为的中点，则三棱锥与三棱锥体积之比为_。拓展迁移4如图是某一几何体的三视图（单位：），试求出几何体的表面积与体积。5如图，是一个奖杯的三视图（单位：），底座是正四棱台。（1）求这个奖杯的体积（取）；（2）求这个奖杯底座的侧面积。挑战极限6（1）求棱长为的正四面体外接球和内切球的体积。（2）如图，在长方体中，分别是，的中点，分别是的中点，。求三棱锥的体积。课程小结1有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角

7、梯形求有关的几何元素对圆柱，圆锥、圆台，要特别注意应用它们的轴截面，轴截面是联系底面半径，母线，高的有效工具2注意求组合体体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法应熟练掌握。4与三视图有关的体积与表面积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性。4求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理空间几何体的表面积和体积一、夯实基础基础梳理.（）；（），；（），；（），（），（），（）（）；（）；（）；（）基础达标易得侧棱长等于，设圆锥的母线为，底面半径为，则，且解得，即直径为由三视图可知该几何体由球和圆柱体组成，如图所示，故该几何体的表面积为由三视图可知该几何体是一个边长为的正方体内部挖去一个底面半径为，高为的圆锥，所以当侧面水平放置时，液面部分是四棱柱形，底面是梯形，设底面水平放置时，设液面高为，则所以，因此当底面水平放置时，液高为