辽宁省沈阳市辽中县第一私立高级中学高中数学必修一课件：2.1.4 函数的奇偶性.ppt

1、情境引入：观察下列图片中物体的特点画出下列两个函数的图像：(1);(2).思考:对于上述两个函数，f(x)与f(-x)，g(x)与g(-x)，有什么关系？（一）奇函数、偶函数的定义奇函数：设函数y=f(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个 x，都有且 f(-x)=-f(x).则这个函数叫做奇函数。偶函数：设函数y=f(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个 x，都有且 f(-x)=f(x).则这个函数叫做偶函数。zxxk问题一、奇函数、偶函数的定义中有“任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质，与单调性有何区别？强调定义域中“任意”二字，说明函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质，它不同

2、于函数的单调性。问题一、奇函数、偶函数的定义中有“任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质，与单调性有何区别？问题二、X与X在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称。问题二、X与X在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？问题三：结合函数图像回答以下问题：（1）对于任意一个奇函数f（x），图像上的点P（x，f（x）关于原点的对称点P的坐标是什么？点P是否也在函数f（x）的图像上？由此可得到什么样的结论？（2）如果一个函数的图像是以坐标原点为中心对称的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？考察奇函数y=f（x）的图像，依奇函数的定义

3、可知：点P（x，f（x）与点P（-x，-f（x）都在这个奇函数的图像上。直观上容易发现，点P绕原点O旋转1800后与点P重合.这说明这两点关于坐标原点对称，所以它的图像关于原点对称；反之亦然.(二）奇函数图像的对称性如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数为奇函数考察偶函数y=g（x）的图像，依偶函数的定义可知：点P（x，g（x）与点P（-x，g（-x）都在这个偶函数的图像上。这两点关于y轴对称，所以它的图像关于y轴对称；反之亦然.如果一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以y轴为对称轴的

4、轴对称图形；反之，如果一个函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数为偶函数zxx，kx0y1124-1-2图象关于y轴对称f(-x)=f(x)偶函数性质图象关于原点对称f(-x)=-f(x)奇函数判断函数奇偶性的方法 1、图像法：图像关于原点（Y轴）对称；2、定义法：先看定义域是否关于原点对称，对称才有奇偶性，不对称非奇非偶；判断f(x)与f(-x)的关系；据定义做出结论：f(-x)=-f(x)奇函数f(-x)=f(x)偶函数思考（1）判断函数f(x)=x3+x 的奇偶性.（2）如图，给出函数f(x)=x3+x 图像的一部分，你能根据f(x)的奇偶性画出它在y轴左边的图像吗？因为对定

5、义域内的每一个x，都有f(-x)=(-x)3+（-x）=-(x3+x)=-f(x),0 xy解:对于函数f(x)=x3+x,其定义域为（-，+）.所以，函数 f(x)=x3+x为奇函数。.例1 判断下列函数的奇偶性函数奇偶性的性质（1）偶函数的和、差、积、商（分母不为0）仍为偶函数；（2）奇函数的和、差为奇函数；积、商（分母 不为0）为偶函数；（3）一奇一偶的积为偶函数。(2)定义本身就是判断或证明函数奇偶性的方法。（1）由定义知，若 x是定义域中的一个数值，则x也必然在定义域中，因此函数是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称。例如，函数f(x)=x2在（-，+）上是偶函数，

6、但 f(x)=x2在-1，2上无奇偶性。函数奇偶性的说明：(3)偶函数一定满足f(-x)=f(x),奇函数一定满足f(-x)=-f(x);偶函数的图像关于y轴对称,奇函数的图像关于原点对称。课堂练习1.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。2.判断下列函数的奇偶性：（偶函数）（奇函数）00yxf(x)yxg(x).达标练习（1）已知f(x)=x5+bx3+cx且f(-2)=10，那么f(2)等于（）。A、-10 ;B、10 ;C、20 ;D、与b、c有关（2）下面四个命题中，正确的个数是（）奇函数的图像关于原点对称。偶函数的图像关于y轴对称。奇函数的图像一定过原点。偶函数的图像一定与y轴相交。A、4 ;B、3 ;C、2 ;D、1（3）如果定义在3-a,5上的函数f(x)为奇函数，那么，a=_ (4)判断函数的奇偶性AC81 是偶函数，2是奇函数，3、4无奇偶性。小结作业:P49 A组1，5题，P52A组9本节课学习了函数奇偶性的定义和判断函数奇偶性的方法。（先看定义域后看f(-x)和f(x)的关系，f(-x)=f(x)偶，f(-x)=-f(x)奇）