辽宁省沈阳市辽中县第一私立高级中学高中数学必修五课件：1.1.2 余弦定理.ppt

1、复习回顾正弦定理：可以解决两类有关三角形的问题?（1）已知两角和任一边。AAS（2）已知两边和一边的对角。SSA变形：CBAabcAbcAcbAcb bcAAcbCBaAbcAbcCBAabcc2 a2+b2c2 a2+b2看一看想一想 直角三角形中的边a、b不变，角C进行变动勾股定理仍成立吗？c2=a2+b2是寻找解题思路的最佳途径zx。xk c=AcbCBaAB c2=AB2=AB AB AB=AC+CB AB AB=(AC+CB)(AC+CB)算一算试试！联想CBAcab探 究：若ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB 边 c.CBAcab余弦定理探 究：若ABC为任意

2、三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB 边 c.对余弦定理，还有其他证明方法吗?bAacCB证明：以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：xy解析法证明ABCabcD当角C为锐角时几何法bAacCBD当角C为钝角时CBAabc余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。证明证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,作CDAB，则CD=bsinA,BD=c-bcosAABCcba同理有：当然，对于钝角三角形来说，证明类似，课后 自己完成。zxxkD余弦定理a2=b2+c2-2bccosA b2=c2

3、+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC你能用文字说明吗？CBAabc三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。归纳变一变乐在其中CBAabca2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosCb2+c2-a22bc cosA=c2+a2-b22ca cosB=a2+b2-c22ab cosC=变形归纳想一想：余弦定理在直角三角形中是否仍然成立？cosC=a2+b2-c22abC=90a2+b2=c2cosA=b2+c2-a22bccosB=c2+a2-b22cacosA=cos B=acbc问

4、题1：勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.问题2：公式的结构特征怎样？（1）轮换对称，简洁优美;剖析 定理（2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.（方程思想）剖析思考：已知两边及一边的对角时，我们知道可用正弦定理来解三角形，想一想能不能用余弦定理来解这个三角形？如：已知b=4,c=,C=60求边a.（3）已知a、b、c（三边），可以求什么？剖析 定理剖析3.4km6km120）ABC在ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km，B=120o，求 AC解决实际问题解：由余弦定理得答：岛屿A与岛屿C的距离为8.24 km.剖析 定理（4）

5、能否把式子转化为角的关系式？分析：剖析（1）已知三边求三个角SSS问题3：余弦定理在解三角形中的作用是什么？（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.SAS剖析 定理剖析练习1.C练习2.练习3.C会用才是真的掌握了 余弦定理在解三角形中能解决哪些问题？角边角角角边边边角边角边边边边正弦定理余弦定理运用2、在ABC中,若a=4、b=5、c=6，判断ABC的形状.ADCB)300)4503、如图所示，已知BD=3，DC=5，B=300，ADC=450，求AC的长。例题讲解1、在ABC中,若a10，b12，c9，解这个三角形。练一练：1、已知ABC的三边为、2、1，求它的最大内角。解：不妨

6、设三角形的三边分别为a=,b=2,c=1则最大内角为A由余弦定理 cosA=12+22-()2221=-12 A=120变一变：若已知三边的比是:2:1,又怎么求？再练：2、已知ABC中AB=2、AC=3、A=，求BC的长。解：由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2ABACcosA =4+9-223 =7BC=3、以2、3、X为三条边，构成一个锐角三角形，求X的范围。继续练思考：（1）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,判定三角形ABC的形状分析：三角形ABC的形状是由大边b所对的大角B决定的。（2）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求三角形ABC的面积分析：三角形

7、的面积公式 S=absinC=bcsinA=acsinB,只需先求出cosC(cosA或cosB),然后求出sinC(sinA或 sinB）代入面积公式即可。2.余弦定理a=b+c-2bccosAb=c+a-2accosBc=a+b-2abcosC2222222223.由余弦定理知1.证明定理:课堂小结向量法、解析法、几何法（1）已知三边求三个角；（SSS）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.(SAS)5.余弦定理的作用（3）判断三角形的形状，求三角形的面积a=b+c-2bccosAb=c+a-2accosBc=a+b-2abcosC2222222224.余弦定理适用于任何三角形作业布置课后作业：1.在ABC中,已知b4,c10,B30o,解这个三角形。2.设x、x1、x2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围.3.在ABC中,A60o,a1,bc2,判断ABC的形状.4.三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程5x27x60的根，求这个三角形的面积.