辽宁省锦州市锦州中学高考数学复习课件：空间向量求角.ppt

1、3.2.3立体几何中的向量方法空间“角”问题空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角zxxkw学科网学.科.网范围：一、线线角：异面直线所成的锐角或直角思考：空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么关系？结论：xzy 向量法ADCBD1C1B1A1E1F1 传统法：平移例1.如图所示的正方体中，已知F1与E1为四等分点，求异面直线DF1与BE1的夹角余弦值？所以与所成角的余弦值为解：如图所示，建立空间直角坐标系,如图所示，设则：所以：例2：学科网练习：如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 求AC1和CB1的夹角，ABCA1B1C1AC1和CB1的夹角为：xyZDzxxkw直线与

2、平面所成角的范围：结论：二、线面角：直线和直线在平面内的射影所成的角角，叫做这条直线和这个平面所成的角.思考：如何用空间向量的夹角表示线面角呢？AAOOBB例3、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，求A1B与平面A1B1CD所成的角ABCDA1B1C1D1O向量法 传统法N解：如图建立坐标系A-xyz,则即在长方体中，例4：N又在长方体中，例4：zxxkw例5.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC 底面ABCD。已知AB=2，BC=，SA=SB=.(1)求证(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。SABCDOxyz二面角的平面角必须满足：3）角的边都

3、要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。10lOAB三、面面角：ll三、面面角：向量法关键：观察二面角的范围证明：以为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得例6.已知正方体的边长为2，O为AC和BD的交点，M为的中点（1）求证：直线面MAC;（2）求二面角的余弦值.B1A1 C1D1DCBAOMxyzzxxkw B1A1 C1D1DCBAOMxyz由图可知二面角为锐角设平面例7ABCDEMN练习.如图所示的几何体ABCDE中，DA平面EAB，CB/DA，EA=DA=A

4、B=2CB，EAAB，M是EC的中点，()求证：DMEB；()求二面角M-BD-A的余弦值.EDCBAMzyx 解:分别以直线AE，AB，AD为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设CB=a，则A(0，0，0)，E(2a，0，0)，B(0，2a，0)，C(0，2a，a)，D(0，0，2a)，所以M(a，a，)DMEB，即DMEB()解:设平面MBD的法向量为n=(x，y，z)DB=(0，2a，2a)由nDB，nDM得DM EB=a(2a)+a 2a+0=0()证:DM=(a，a，1.5a)，EB=(2a，2a，0)，取z=2得平面MBD的一非零法向量为n=(1，2，2)，

5、又平面BDA的法向量为 n1=(1，0，0)，cos 即二面角M-BD-A的余弦值为EDCBAMzyx练 习：如图，已知：直角梯形OABC中，OABC，AOC=90，SO面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：异面直线SA和OB所成的角的余弦值，OS与面SAB所成角的正弦值，二面角BASO的余弦值。则A（2，0，0）；于是我们有OABCS解：如图建立直角坐标系，xyz=（2，0，-1）；=（-1，1，0）；=（1，1，0）；=（0，0，1）；B（1，1，0）；S（0，0，1），C（0，1，0）；O（0，0，0）；令x=1，则y=1，z=2；从而（2）设面SAB的法向量显然有OABCSxyz.由知面SAB的法向量=（1，1，2）又OC面AOS，是面AOS的法向量，令则有由于所求二面角的大小等于OABCSxyz二面角BASO的余弦值为66所以直线SA与OB所成角余弦值为510课堂小结：1.异面直线所成角：2.直线与平面所成角：3.二面角：关键：观察二面角的范围