《优教通同步备课》高中数学（北师大版）必修五教案：1.2 拓展资料：等差数列中“和问题”的一种处理方法.doc

1、等差数列中“和问题”的一种处理方法公差为d的等差数列an的通项公式为an=a1(n1)d(nN)，若函数f(x)=dx(a1d)(xR)，则有an=f(n)本文称函数f(x)为等差数列an的伴随函数，这样便有下面的定理 定理 若f(x)为等差数列an的伴随函数，且mi(i=1，2，3，k)为自然数，则 证：f(x)为等差数列an的伴随函数，f(x)=dx(a1d)(xR)，故定理得证 证 由定理得：利用定理及推论可巧妙解答等差数列中有关的和问题 例1 在等差数列an中，若a3a4a5a6a7=450，则a2a8= A45 B75 C180 D300 例2 设等差数列an的前n项和为Sn，若S1

2、0=100，S100=10，求S110 解 设f(x)为数列an的伴随函数，由推论得f(5.5)10；由于f(x)为一次函数，故解得 f(55.5)1，从而S110110(1)110 解 设等差数列an与bn的伴随函数分别为f(x)与g(x)，由推论知 例4 设等差数列an前n项中奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶 求证：1)n为偶数2m时，S偶S奇md(d为公差)，S奇S偶amam+1； 2)n为奇数2m1时，S奇S偶am，S奇S偶m(m1) 解：设f(x)为数列an的伴随函数，由定理知， 1)n为偶数2m时有：所以，S偶S奇m(am+1am)md，S奇S偶amam+1 2)当n为奇数2m1时有：所以，S奇S偶mam(m1)amam，S奇S偶m(m1)以上数例表明，本文给出的定理是对等差数列众多性质的浓缩，因而有一定的实用价值