《优选整合》人教A版高中数学选修1-1 专题2-1-2椭圆的简单的几何性质 素材 .doc

1、椭圆的简单几何性质 -学习要点椭圆的简单几何性质：1.范围（1）椭圆（ab0） 横坐标-axa ,纵坐标-bxb（2）椭圆（ab0） 横坐标-bxb,纵坐标-axa2.对称性椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3.顶点（1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）（2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比，即称为椭圆的离心率，记作e（），e越接近于0 （e越小），椭圆就越接

2、近于圆;e越接近于1 （e越大），椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e，（0e1）的点的轨迹为椭圆。（）焦点在x轴上：（ab0）准线方程：焦点在y轴上：（ab0）准线方程：小结一：基本元素（1）基本量：a、b、c、e、（共四个量）， 特征三角形（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）（3）基本线：对称轴（共两条线）5椭圆的的内外部（1）点在椭圆的内部.（2）点在椭圆的外部.6.几何性质 （1） 焦半径（椭圆上的点与焦点之间的线段）：（2）通径（过焦点且垂直于长轴的弦）（3）焦

3、点三角形（椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形）：其中7直线与椭圆的位置关系：(1) 判断方法:联立直线方程与椭圆方程消y(或x)得到关于x的一元二次方程，根据判别式的符号判断位置关系：联立消y得：联立消x得：(2) 弦中点问题:斜率为k的直线l与椭圆交于两点(3) 是AB的中点，则：(4) 弦长公式：第二部分：椭圆常考题型解题方法典例一、椭圆定义相关题目例1、已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围【自主解答】方程可化为因为焦点在轴上，所以因此且从而说明：(1)由椭圆的标准方程知，这是容易忽视的地方(2) 由焦点在轴上，知， (3) 求的取值范围时，应注意题目中的条件例2、 以椭圆的焦点为焦点

4、，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须用点直线对称就可解决【自主解答】如图所示，焦点为，的坐标为（9，6），直线的方程为解方程组得交点的坐标为（5，4）所求椭圆的长轴：，又，因此，所求椭圆的方程为例3、 已知椭圆及直线（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程【自主解答】（1）把直线方程代入椭圆方程得 ，即，解得（2） 设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，由（1）得，根据弦长公式得

5、：解得方程为说明：对比直线与椭圆和直线与圆的位置关系问题及有关弦长问题的解题方法？这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式例4、 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式【自主解答】如图所示，设动圆和定圆内切于点动点到两定点，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：例5、 已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程 分析：“设而不求”法【自主解答】方法一：设所求直线方程为代入椭圆方程，整理 设直线与椭圆的交点为，则、是的两根，为中点，所求直线方程为方法二：（点差法）设直线与椭圆交点，为中点，又，在椭圆上，两式相减得，即直线方程为方法三：（数形结合）设所求直线与椭圆的一个交点为，另一个交点、在椭圆上，。 从而，在方程的图形上，而过、的直线只有一条，直线方程为说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法