2021届高三数学（理）一轮复习学案：第九章 第九节 第三课时　定点、定值、探索性问题 WORD版含解析.doc

1、第三课时定点、定值、探索性问题最新考纲考情分析核心素养掌握定点、定值、探索性问题.主要为解答题，考查定点、定值、探索性问题.1.逻辑推理2.数学运算定点问题常见的题型1证明直线过定点问题2探究直线或圆过定点问题，求定点坐标【例1】(2019年北京卷)已知椭圆C：1的右焦点为(1，0)，且经过点A(0，1)(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，直线l：ykxt(t1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|ON|2，求证：直线l恒过定点解(1)由题意，得b21，c1，所以a2b2c22，所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：设P(x1，y1)，Q

2、(x2，y2)，则直线AP的方程为yx1.令y0，得点M的横坐标xM.又y1kx1t，从而|OM|xM|.同理，|ON|.由得(12k2)x24ktx2t220，则x1x2，x1x2.所以|OM|ON|2.又|OM|ON|2，所以22，解得t0，所以直线l恒过定点(0，0)名师点津定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意|跟踪训练|1(2019届昆明市教学质量检测)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F1(，0)，

3、且椭圆C经过点P.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C与y轴的正半轴交于点D，直线l：ykxm与椭圆C交于A，B两点(l不经过D点)，且ADBD，证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标解：(1)由题意，设椭圆C：1(ab0)，焦距为2c，则c，设椭圆的另一个焦点为F2，则F2(，0)，由椭圆的定义得2a|PF1|PF2|4，所以a2，则b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：由已知得D(0，1)，由得(14k2)x28kmx4m240，当0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，则y1y2k(x1x2)2m，y1y2(kx1m)(kx2m)，由ADBD得，x1x2

4、(y11)(y21)0，即0，所以5m22m30，解得m1或m.当m1时，直线l经过点D，不符合题意，舍去当m时，显然有0，直线l经过定点.定值问题必然是在变化中所表示出来的不变的量，常表现为求一些直线方程、数量积、比例关系等的定值解这类问题的关键就是引入变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量【例2】(2019届昆明调研)已知椭圆C：1(ab0)的焦距为4，P是椭圆C上的点(1)求椭圆C的方程；(2)O为坐标原点，A，B是椭圆C上不关于坐标轴对称的两点，设，证明：直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值解(1)由题意知2c4，即c2，则椭圆C的

5、方程为1.因为点P在椭圆C上，所以1，解得a25或a2(舍去)，所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2且x1x20，所以直线AB的斜率kAB，由，得D(x1x2，y1y2)，所以直线OD的斜率kOD，由得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，即，所以kABkOD.故直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值.名师点津圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值(2)两大解法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；引起变量法：其解题流程为|跟踪训练|2(2019届沈阳模拟)已知椭圆C：1(a

6、b0)的焦点为F1，F2，离心率为，点P为其上一动点，且三角形PF1F2的面积最大值为，O为坐标原点(1)求椭圆C的方程；(2)若点M，N为C上的两个动点，求常数m，使m时，点O到直线MN的距离为定值，求这个定值解：(1)当点P位于短轴的顶点时，PF1F2的面积最大，即2cb，则有解得所以椭圆C的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2y1y2m，当直线MN的斜率存在时，设其方程为ykxn，则点O到直线MN的距离d，联立消去y，得(4k23)x28knx4n2120，由64k2n24(4n212)(4k23)0得4k2n230，则x1x2，x1x2，所以x1x2(kx1

7、n)(kx2n)(k21)x1x2kn(x1x2)n2m，整理得12.因为d为常数，则m0，d，此时12满足0；当MNx轴时，由m0得kO M1，联立消去y，得x2，点O到直线MN的距离d|x|也成立综上可知，当m0时，点O到直线MN的距离为定值，这个定值是.圆锥曲线中的存在性问题(1)存在性问题的解题步骤：先假设存在，引入参数，根据题目条件列出关于参数的方程(组)或不等式(组)；解此方程(组)或不等式(组)，若有解，则存在，若无解，则不存在(2)解决存在性问题要注意解题的规范性，一般先写出结论，后给出证明(理由)【例3】(2020届湖北部分重点中学联考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，以

8、上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线xy20相切(1)求椭圆C的标准方程(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同的交点M，N时，能在直线y上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由解(1)由椭圆的离心率e，得，则bc.上顶点为(0，b)，右焦点为(b，0)，以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程为，圆心为，半径为b，由题意知b，即|b2|b，解得b1，c1，a，椭圆C的标准方程为y21.(2)不存在理由如下：设直线的方程为y2xt，M(x1，y1), N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，由消去x，得9y2

9、2tyt280，所以y1y2，4t236(t28)0，故y0，3t3.由，得(x4x2，y4y2)，所以y1y4y2，即y4y1y2t，（也可由知四边形PMQN为平行四边形，又D为线段MN的中点，因此，D也为线段PQ的中点，所以y0，可得y4.）又3t3，所以y41，与椭圆上点的纵坐标的取值范围是1，1矛盾故不存在斜率为2的直线满足条件名师点津存在性问题的求解方法(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直

10、线、曲线或参数)不存在(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法|跟踪训练|3(2019届昆明市高三质检)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l.已知以F为圆心，半径为4的圆与l交于A，B两点，E是该圆与抛物线C的一个交点，EAB90.(1)求p的值；(2)已知点P的纵坐标为1且在抛物线C上，Q，R是抛物线C上异于点P的两点，且满足直线PQ和直线PR的斜率之和为1，试问直线QR是否经过一定点？若是，求出定点的坐标；否则，请说明理由解：(1)连接AF，EF，由题意及抛物线的定义，得|AF|EF|AE|4，即AEF是边长为4的正三角形，所以FAE60，设准线l与x轴交于点D，在RtADF中，FAD30，所以p|DF|AF|42.(2)直线QR经过一定点理由：由题意知直线QR的斜率不为0，设直线QR的方程为xmyt，点Q(x1，y1)，R(x2，y2)由得y24my4t0，则16m216t0，y1y24m，y1y24t.又点P，Q在抛物线C上，所以kPQ，同理可得kPR.因为kPQkPR1，所以1，则t3m.由解得m(1，)，所以直线QR的方程为xm(y3)，则直线QR过定点.