《全国百强校》东北师大附中高三数学第一轮复习导学案：直线与圆-圆与圆的位置关系A.doc

1、 直线与圆-圆与圆的位置关系(教案)A一、 知识梳理（一）直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系的判断：直线与圆的位置关系有三种几何法：（1）d（2）d（3）d代数法：利用直线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断：（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交；（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为相切0；相交0；相离0。2. 过一点作圆的切线的方程：(1) 过圆外一点的切线：M()为圆外一点,设点斜式方程

2、:y-=k(),利用几何法或代数法,一般解出两个k值 ,如果解出一个k值,则另一条是没有斜率的直线x=. (2)过圆上一点的切线方程：圆(xa)2+(yb)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0a)(xa)+(y0b)(yb)= r2 特别地，过圆上一点的切线方程为.3切点弦(1)过C：外一点作C的两条切线，切点分别为，则切点弦所在直线方程为：4. 切线长：若圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，则过圆外一点P(x0,y0)的切线长为 d=（二）、圆与圆的位置关系（1）设两圆与圆， 圆心距 ； ； ； ； ； 外离 外切 相交 内切 内含（2）两圆公共弦所在直线方

3、程圆：， 圆：，则为两相交圆公共弦方程.补充说明： 若与相切，则表示其中一条公切线方程； 若与相离，则表示连心线的中垂线方程.（3）圆系问题过两圆：和：交点的圆系方程为（）补充： 上述圆系不包括； 当时，(若与相切，则表示其中一条公切线方程；若与相离，则表示连心线的中垂线方程；若与相交，表示公共弦的直线方程。) 过直线与圆交点的圆系方程为二、题型探究：探究一：直线与圆相切问题例1：将直线沿轴向左平移1个单位，所得直线与圆 相切，则实数的值为（ ）（A）3或7 （B）2或8 （C）0或10 （D）1或11【思路点拨】本题考查了平移公式、直线与圆的位置关系，只要正确理解平移公式和直线与圆相切的充要

4、条件就可解决.【正确解答】由题意可知：直线沿轴向左平移1个单位后的直线为：.已知圆的圆心为，半径为.解法1：直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，因而有，得或7.解法2：设切点为，则切点满足，即，代入圆方程整理得：， （*）由直线与圆相切可知，（*）方程只有一个解，因而有，得或7.解法3：由直线与圆相切，可知，因而斜率相乘得1，即，又因为在圆上，满足方程，解得切点为或，又在直线上，解得或7.探究二：直线与圆有关的最值问题例2：已知直线和圆； （1）时，证明与总相交。 （2）取何值时，被截得弦长最短，求此弦长。例3已知圆：与：相交于两点。（1）求公共弦所在的直线方程；（2）求圆心在直线上

5、，且经过两点的圆的方程；（3）求经过两点且面积最小的圆的方程。 探究三：直线与圆有关综合题例4：已知实数x、y满足，求的最大值与最小值。解析：表示过点A（0，1）和圆上的动点（x，y）的直线的斜率。当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值.设切线方程为，即，则，解得。因此，点评：直线知识是解析几何的基础知识，灵活运用直线知识解题具有构思巧妙、直观性强等特点，对启迪思维大有裨益。题型探究四：圆与圆位置关系例5： 讨论两圆的位置关系:已知圆C1：x2 + y2 2mx + 4y + m2 5 = 0，圆C2：x2 + y2 + 2x 2my + m2 3 = 0，m为何值时，（1）

6、圆C1与圆C2相外切； （2）圆C1与圆C2内含.【解析】对于圆C1，圆C2的方程，经配方后C1：(x m)2 + (y + 2)2 = 9，C2：(x + 1)2 + (y m)2 = 4.（1）如果C1与C2外切，则有，所以m2 + 3m 10 = 0，解得m = 2或5.（2）如果C1与C2内含，则有，所以m2 + 3m + 20，得2m1.所以当m = 5或m = 2时，C1与C2外切；当2m1时，C1与C2内含.例6：圆系方程应用:求过直线x + y + 4 = 0与圆x2 + y2 + 4x 2y 4 = 0的交点且与y = x相切的圆的方程.【解析】设所求的圆的方程为x2 + y

7、2 + 4x 2y 4 + (x + y + 4) = 0.联立方程组得：.因为圆与y = x相切，所以=0.即，故所求圆的方程为x2 + y2 + 7x + y + 8 = 0.例7： 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法求过两圆x2 + y2 + 6x 4 = 与x2 + y2 + 6y 28 = 0的交点，且圆心在直线x y 4 = 0上的圆的方程.【解析】：依题意所求的圆的圆心，在已知圆的圆心的连心线上，又两已知圆的圆心分别为(3，0)和(0，3).则连心线的方程是x + y + 3 = 0.由 解得. 所以所求圆的圆心坐标是.设所求圆的方程是x2 + y2 x + 7y

8、+ m = 0由三个圆有同一条公共弦得m = 32.故所求方程是x2 + y2 x + 7y 32 = 0.例8： 已知圆C1：x2 +y2 2x =0和圆C2：x2 +y2 +4 y=0，试判断两圆的位置关系，若相交，则设其交点为A、B，试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。三、方法提升：直线与圆的位置关系：l ：f1（x ，y）0圆C ：f2（x ，y）0消y 得F（x）0。（1）直线与圆相交：F（x）0中D 0；或圆心到直线距离d r 。直线与圆相交的相关问题：弦长|AB|x1 x2|，或|AB|2；弦中点坐标（，）；弦中点轨迹方程。（2）直线与圆相切：F（x）0中D 0，或d r 其

9、相关问题是切线方程如P（x0 ，y0）是圆x2 y2 r2 上的点，过P 的切线方程为x0x y0y r2 ，其二是圆外点P（x0 ，y0）向圆到两条切线的切线长为或；其三是P（x0 ，y0）为圆x2 y2 r2 外一点引两条切线，有两个切点A ，B ，过A ，B 的直线方程为x0x y0y r2 。（3）直线与圆相离：F（x）0中D 0；或d r ；主要是圆上的点到直线距离d 的最大值与最小值，设Q 为圆C ：(x a) 2 (y b) 2 r2 上任一点，|PQ|max |PC|r ；|PQ|min |PQ|r ，是利用图形的几何意义而不是列出距离的解析式求最值（4）圆与圆的位置关系：依平

10、面几何的圆心距|O1O2|与两半径r1 ，r2 的和差关系判定（1）设O1 圆心O1 ，半径r1 ，O2 圆心O2 ，半径r2 则：当r1 r2 |O1O2|时O1 与O2 外切；当|r1 r2|O1O2|时，两圆相切；当|r1 r2|O1O2|r1 r2 时两圆相交；当|r1 r2|O1O2|时两圆内含；当r1 r2 |O1O2|时两圆外离.（2）设O1 ：x2 y2 D1x E1y F1 0，O2 ：x2 y2 D2x E2y F2 0。两圆相交A 、B 两点，其公共弦所在直线方程为（D1 D2）x （E1 E2）y F1 F2 0；经过两圆的交点的圆系方程为x2 y2 D1x E1y F

11、1 l（x2 y2 D2x E2y F2）0（不包括O2 方程）.四、反思感悟 五、课时作业（一）一、选择题1、若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )A. B. C. D. 2、圆和圆的位置关系是（ ）A相切 B相交 C相离 D不确定3、圆2x22y21与直线xsiny10（R，k，kZ）的位置关系是（ ）A相交 B相切 C相离 D不确定4、设直线2xy0与y轴的交点为P，点P把圆（x1）2y225的直径分为两段，则其长度之比为（ ）A或 B或 C 或 D 或5、以点为顶点的三角形与圆没有公共点，则圆半径R的取值范围是（ ）A B C D 二、填空题6、直线x2y=0被曲线x2y26x

12、2y15=0所截得的弦长等于_.7、以点(1，2)为圆心，且与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是_.8、集合A（x，y）|x2y2=4，B（x，y）|（x3）2（y4）2=r2，其中r0，若AB中有且仅有一个元素，则r的值是_. 9、一束光线从点A（1，1）出发经x轴反射到圆C：（x2）2（y3）21的最短路程是_.10、已知三角形三边所在直线的方程为y0，x2，xy40，则这个三角形内切圆的方程为_.三、解答题11、求过点（3，1），且与圆相切的直线的方程。12、求经过点A（0，5），且与直线和都相切的圆的方程。13、（1）圆C：x2y2DxEyF0的外部有一点P（x0，y0），求由点

13、P向圆引切线的长度（2）在直线2xy30上求一点P，使由P向圆x2y24x0引得的切线长长度为最小yRxCQPO14、如图，圆C通过不同的三点P（K，O）、Q（2， 0）、R（0，1），已知圆C在点P的切线斜率为1，试求圆C的方程课时作业（一）解析1、A 2、B 3、C 4、A 5、A 6、 7、 8、3或7 9、4 10、11、解：设过点（3，1）且与圆相切的直线的方程为，即，由，解得：，即：，由于点（3，1）在圆外，切线有两条，另一条为。12、解：圆心在直线和的交角平分线或上，由于圆过点A（0，5），所以圆心C在，设C，故圆的方程为和。13、解：（1）切点、圆心及点P三点连线可构一个Rt，

14、其中切线是一条直角边，利用勾股定理可得切线长。（2）设P（x,y），由（1）结论得切线长S，当且仅当x，即P（,）时，切线长度最小，最小值是.14、解：.设圆C的方程为，由于为方程的两根 即又因为圆过点R（0，1），故1EF=0, E=2k1圆的方程圆心C坐标圆在点P的切线斜率为1 解得所求圆的方程为.课时作业（二）一、选择题1、把直线绕原点逆时针方向旋转，使它与圆相切，则直线转动的最小正角是（ ）A B C D2、如果实数满足等式，那么的最大值是（ ）A B C D3、圆x2y22x4y30上到直线xy10的距离为的点有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个4、若过定点且斜率为的直线与圆在第一

15、象限内的部分有交点，则的取值范围是( )A. B. C. D. 5、直线y=2xm和圆 交于A、B两点，以ox轴为始边，OA、OB为终边的角记为、，则sin()等于 （ ）A关于m的一次函数 B C关于m的二次函数 D二、填空题6、圆上的点到直线的距离的最小值为_.7、已知直线交圆于点，为坐标原点，且，则的值为 8、若直线按向量平移后与圆相切，则实数的值为 9、已知两圆和，则它们的公共弦长为 .10、若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是_.三、解答题11、由点发出的光线射到轴上，被轴反射，若反射光线所在直线与圆相切，求光线所在直线的方程12、已知圆上的点关于直线的对称点仍在这个圆上，且与

16、直线相交的弦长为，求圆的方程13、已知C：（x1）2(y2)2=25，直线l：（2m1）x（m1）y7m40(mR)（1） 求证：不论m取什么实数时，直线l与圆恒交于两点；（2） 求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及这时直线l的方程14、曲线x2y2x6y30上两点P、Q满足：（1） 关于直线kxy40对称，（2）OPOQ，求直线PQ的方程课时作业（二）解析：1、B 2、D 3、C 4、A 5、D 6、 7、3 8、-13或-3. 9、. 10、11、解：已知圆关于轴的对称圆方程为，设光线的方程是，由题意，该直线与对称圆相切 解得：直线的方程是或.12、解：设圆心为，由题意得：，解得或，此时

17、或所求圆的方程为或.13、解：（1）将l的方程整理为（xy4）m（2xy7）0因为对于任意实数m，方程都成立， 所以所以对于任意实数m，直线l恒过定点P（3，1），又圆心C（1，2），r5，而PC5，即PCr，所以P点在圆内，即证（2）l被圆截得弦最短时，lPC因为kpc，所以kl2，所以l的方程为2xy50为所求，此时，最短的弦长为24.14、解：由得直线kxy+40过圆心，k2kPQ，故设直线PQ的方程为yx+b，与圆方程联立消去y得x2+(4b)x+b26b+30设 P(x1 , y1), Q(x2 , y2)，由于OPOQx1x2y1 y20即x1x2（x1+b）(x2+b)0结合韦达定理可得b或b从而直线PQ的方程为yx+或yx+