《全国百强校》河南省南阳市第一中学2019届高三第十五次考试数学（文）试题（解析版） 含解析.doc

1、南阳一中2019年春期高三第15次考试数学试题（文科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则如图所示的韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】阴影部分可以用集合表示为，故求出、，即可解决问题。【详解】解：由题意得，阴影部分为故选B【点睛】本题考查用韦恩图表示的集合的运算，解题时要能用集合的运算表示出阴影部分。2.设是等差数列.下列结论中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】先分析四个答案支，A举一反例，而，

2、A错误，B举同样反例，而，B错误，下面针对C进行研究，是等差数列，若，则设公差为，则，数列各项均为正，由于 ，则 ，故选C.考点：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重 点是对知识本质的考查.【此处有视频，请去附件查看】3.若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）A. B. C. 4D. 【答案】B【解析】【分析】两条斜率为1的平行线距离最小，则两条平行线应经过平面区域的端点，根据平面区域图形可得两条直线方程，进而可求两条平行直线的最小距离。【详解】解：作出平面区域，如图所示，因为，两条平行直线的距离最小，所以，当直线分

3、别经过时，平行线间的距离最小，即图中的位置联立方程组和解得：，所以两条平行直线分别为，所以两条平行直线间的距离为故答案选【点睛】本题考查线性规划问题，准确作出平面区域是前提，然后再通过直线平移的方法解决问题。4.在中，为的中点，则（ ）A. B. C. 3D. -3【答案】A【解析】【分析】本题中、长度已知，故可以将、作为基底，将向量用基底表示，从而解决问题。【详解】解：在中，因为为的中点，所以，故选A【点睛】向量数量积问题常见解题方法有1.基底法，2.坐标法。基底法首先要选择两个不共线向量作为基向量，然后将其余向量向基向量转化，然后根据数量积公式进行计算；坐标法则要建立直角坐标系，然后将向量

4、用坐标表示，进而运用向量坐标的运算规则进行计算。5.函数部分图象可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题选项A、B中的图像关于轴对称，选项C、D中的图像关于原点对称，故可以从函数的奇偶性角度排除C、D，然后再根据函数值在x接近于0时的符号不一样，进行筛选。【详解】解：函数定义域为R因为，函数所以，函数为偶函数，故C、D不符合当时，函数，故选A【点睛】判断函数的大致形状可以从函数的对称性、函数值、单调性角度进行筛选。6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由三视图易知该几何体为一个圆柱和半个圆锥组合而成，

5、故其体积为考点：三视图，空间几何体体积【此处有视频，请去附件查看】7.若函数的图象与直线有公共点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将函数变形为，表示的是以（1，0）为圆心，2为半径的圆的下半部分，与直线有公共点，一个临界是相切，一个临界是过点（-1，0），列式求值即可.【详解】函数 可化简为：，表示的是以（1，0）为圆心，2为半径的圆的下半部分，与直线有公共点，根据题意画出图像：一个临界是和圆相切，即圆心到直线的距离等于半径，正值舍去；另一个临界是过点（-1，0）代入得到m=1.故答案为：B.【点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题

6、很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。8.已知，若对任意,或，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先判断函数g（x）的取值范围，然后根据或成立求得m的取值范围.【详解】g（x）2，当x时,恒成立，当x时，g（x）0，又xR，f（x）0或g（x）0，f（x）m（x2m）（x+m+3）0在x时恒成立，即m（x2m）（x+m+3）0在x时恒成立，则二次函数ym（x2m）（x+m+3）图象开口只能

7、向下，且与x轴交点都在（，0）的左侧，即，解得m0，实数m的取值范围是：（，0）故选C【点睛】本题主要考查指数函数和二次函数的图象和性质，根据条件确定f（x）m（x2m）（x+m+3）0在x时恒成立是解决本题的关键，综合性较强，难度较大9.已知函数，把函数的图象向右平移个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数的图象，当时，方程有两个不同的实根，则实数的取值范围为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简函数为，由平移变换与伸缩变换得到，然后数形结合可得实数的取值范围.【详解】函数，把函数的图象向右平移个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数当时，方程有两个不同的

8、实根等价于函数与有两个不同交点，令t，即与有两个不同交点，结合图象可知：故选：D【点睛】函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点10.已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线与双曲线交于纵坐标为1的点，直线与抛物线的准线交于，若，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】

9、根据题意，求得M的坐标和抛物线的准线方程，进而求得N点的横坐标。根据向量共线的坐标关系，可解方程得c，再由双曲线定义得a、b，即可求得双曲线的标准方程。【详解】抛物线与双曲线交于纵坐标为1的点所以 ，所以抛物线准线方程为，即N点的横坐标为设，由 所以解得c=3所以焦点坐标为（-3，0），（3，0）由双曲线定义可得 所以 ，所以双曲线标准方程为所以选C【点睛】本题考查了双曲线与抛物线的综合应用，向量在圆锥曲线问题中的应用，双曲线标准方程的求法，属于中档题。11.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，三棱锥的体积为，则球的体积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析

10、】本道题目先判断出三棱锥P-ABC的高和底面面积，进而计算出体积，结合得出a与球半径的关系，进而计算出球表面积。【详解】连接AO,BO因为PA=AC,PB=BC,所以和为等腰三角形,又因为 为球O的直径,所以O为PC的中点,所以,又因为平面PCA平面PCB,所以BO,又因为所以平面PBC,设半径为r，则 ，所以，故选B。【点睛】本道题目考查了直线与平面垂直的判定和球表面积计算公式，关键掌握好直线与平面垂直的判定法则。12.已知为自然对数的底数，若对任意，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数和，分别求出单调性和值域，即可得到关

11、于的不等式，解出即可。【详解】等式可化为，构造函数在单调递减，最小值为，最大值为，构造函数，求导，当时，此时单调递减，当时，此时单调递增，则，的最小值为，因为对任意，总存在唯一的，使得成立，则，即.故答案为B.【点睛】本题考查了函数与方程的综合问题，考查了函数的单调性在解决综合题目的运用，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于难题。第卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数_【答案】【解析】【分析】根据复数的除法运算得到化简结果，根据纯虚数得到结果.【详解】=因为是纯虚数，故得到故答案为：-2.【点睛】跟复数有关的

12、题目，经常考察的有：zabi(a，bR)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作14.在中，角所对的边分别为，若，则角的值为 【答案】【解析】试题分析：根据题意可知，结合正弦定理可知，化角为边，得到,因为，因此可知因为角,故答案为。考点：解三角形点评：解三角形的关键是对于边角之间的转换，合理的选用定理，根据正弦定理和余弦定理来求解分析，相对比较容易些，属于基础题。15.若是函数

13、的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于_【答案】9【解析】试题分析：由可知同号，且有，假设，因为排序后可组成等差数列，可知其排序必为，可列等式，又排序后可组成等比数列，可知其排序必为，可列等式，联解上述两个等式，可得，则考点：等差数列中项以及等比数列中项公式的运用【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a，b均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列

14、方程组求解p，q【此处有视频，请去附件查看】16.不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】本道题目结合，化简原方程，然后换元，结合所学函数求最值的方法，即可得出答案。【详解】依题意得:令,则原式为, 当,则x大于的最大值，故当t=1的时候，当时，则x小于的最小值，当t=,x故x的范围为【点睛】本道题目考查了换元思想和函数求最值的方法，注意换元后结合二次函数的性质进行解答。三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.已知中，内角所对的边分别为，且.（1）若，求；（2）若的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)

15、根据正弦定理，将化为角的关系式，将中的正切函数化为正余弦函数，结合正弦和角公式即可得角B。(2)根据tanA，求得cosA及sinA，结合面积求得bc的值；根据及余弦定理，可求得a、b、c的值，即可得到周长。【详解】解：（1）由题意及正弦定理得，即.由，得，两边同加，得，即.由，得，故.由，得.（2）由，得，故的面积，整理得.又由，得，同联立，得.化简整理得，解得，.故的周长为.【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的用法，属于基础题。18.如图，四棱锥EABCD中，ADBC，且BC底面ABE，M为棱CE的中点，（）求证：直线DM平面CBE；（）当四面体DABE

16、的体积最大时，求四棱锥EABCD的体积【答案】（）见解析（）【解析】分析：（1）取的中点N,证平面详解：（2）设，当四面体的体积最大时，求出，进而求得四棱锥的体积（）因为，设为的中点，所以，又平面，平面，所以，又，所以平面，又，所以平面（），设，则四面体的体积当，即时体积最大又平面，平面，所以，因为，所以平面.点睛：本题主要考查立体几何相关知识，线面垂直的证明以及棱椎体积的求法，属于中档题。19.国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效.某生物制品硏究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：未感染病毒感染病

17、毒总计未注射疫苗40注射疫苗60总计100100200现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为.（）求列联表中的数据，的值；（）能否有把握认为注射此种疫苗有效？（）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析，然后从这五只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率.附：，.0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828【答案】（1），；（2）没有；（3）.【解析】【分析】（1）根据表中的总数可以得到，；（2）将列联表中的数据代入到，然后对照临界值得出结论；（3）此题考查

18、的是古典概型的概率，故将所有情况一一列举，从而得出结果。【详解】（1），.（2）由得，所以没有把握认为注射此种疫苗有效.（3）由于在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例为，故抽取的5只小白鼠中3只未注射疫苗，用，表示，2只已注射疫苗，用，表示，从这五只小白鼠中随机抽取3只，可能的情况共有以下10种：，.其中至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的情况有以下7种：，.所以至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率为.【点睛】本题考查列联表与独立性检验的应用问题，同时也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题。20.已知椭圆的左、右焦点分别为且椭圆上存在一点，满足.(1)求椭圆的标准方程；(2

19、)已知分别是椭圆的左、右顶点，过的直线交椭圆于两点，记直线的交点为，是否存在一条定直线，使点恒在直线上?【答案】（1）（2）存在，点在定直线上【解析】【分析】（1）对三角形应用余弦定理即可求得，结合椭圆定义求得，问题得解。（2）设，利用及列方程，整理得：，由整理得：，从而表示出，联立直线与椭圆方程，由韦达定理得：，代入上式得：，解得：，问题得解.【详解】（1）设，则内，由余弦定理得，化简得，解得，故，得，所以椭圆的标准方程为.（2）已知，设，由，两式相除得.又，故，故，设的方程为，代入整理，得，恒成立.把代入， 得，得到，故点在定直线上.【点睛】本题主要考查了余弦定理及椭圆的定义、简单性质，还

20、考查了两点斜率公式及转化思想，还考查了韦达定理及方程思想，考查计算能力，属于中档题。21.已知函数（，是自然对数的底数）() 设（其中是的导数），求的极小值；() 若对，都有成立，求实数的取值范围.【答案】() () 【解析】【分析】()求出，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，结合单调性可求得函数的极值；()由()知，在上单调递增，在(0，1)上单调递减，.讨论当时，当时两种情况，分别利用对数以及函数的单调性，求出函数最值，从而可筛选出符合题意的实数的取值范围.【详解】()，.令，在上为增函数，.当时，；当时，的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为，.()由(

21、)知，在上单调递增，在(0，1)上单调递减，.当时，在上单调递增，满足条件；当时，.又，使得，此时，；，在上单调递减，都有，不符合题意.综上所述，实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.选做题（请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）22.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同，曲线的方程是，直

22、线的参数方程为（为参数，），设，直线与曲线交于，两点.（1）当时，求的长度；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，当时，直线，代入曲线可得，解得或，从而可得；（2）将代入到得，利用韦达定理，结合直线参数方程的几何意义，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可得结果.详解：（1）曲线的方程是，化为化为，曲线的方程为当时，直线代入曲线可得，解得或.（2）将代入到得，由，得化简得（其中）， . 点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极

23、坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题23.已知函数当时，解不等式；若对任意，不等式都成立，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将代入不等式，结合x取不同范围，去掉绝对值，解不等式，即可得出答案。（2）构造新函数，计算该分段函数的最小值，建立不等式，计算a的范围。【详解】（1）当时，不等式可化为，当时，不等式即，当时，不等式即，当时，不等式即，综上所述不等式的解集为；（2）不等式可化为令 ，所以函数最小值为，根据题意可得，即，所以的取值范围为.【点睛】本道题目考查了绝对值不等式的解法，注意在进行解分段函数相关问题的时候，计算该分段函数的最值，即可得出答案。