《全程复习方略》2016届高考数学（全国通用）课时提升作业：第十章 计数原理、概率、随机变量 10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理.doc

1、高考资源网（） 您身边的高考专家温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(六十一)分类加法计数原理与分步乘法计数原理(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.从集合1,2,3,10中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为()A.3B.4C.6D.8【解析】选D.以1为首项的等比数列为1,2,4;1,3,9;以2为首项的等比数列为2,4,8;以4为首项的等比数列为4,6,9.把这4个数列顺序颠倒,又得到4个数列,故所求数列有8个.【误区警示】本题极易出现选B的

2、错误,其原因是忽略公比小于1的情况.2.(2015郑州模拟)5位同学站成一排准备照相的时候,有两位老师碰巧路过,同学们强烈要求与老师合影留念,如果5位同学顺序一定,那么两位老师与同学们站成一排照相的站法总数为()A.6B.20C.30D.42【解析】选D.因为五位学生已经排好,第一位老师站进去有6种选择,当第一位老师站好后,第二位老师站进去有7种选择,所以两位老师与学生站成一排的站法共有67=42种.【加固训练】三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6,若将三张卡片并列,可得到不同的三位数(6不能作9用)的个数为()A.8B.6C.14D.48【解析】选D.先排首位6种可能,十位数从剩下

3、2张卡片中任取一数有4种可能,个位数从剩下的1张卡片中取一数有2种可能,所以一共有642=48(种).3.(2015三门峡模拟)有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学,在数学检测时要求每位教师不能在本班监考,则监考的方法有()A.8种B.9种C.10种D.11种【解析】选B.设四位监考教师分别为A,B,C,D,所教班分别为a,b,c,d,假设A监考b,则余下三人监考剩下的三个班,共有3种不同方法,同理A监考c,d时,也分别有3种不同方法,由分类加法计数原理共有3+3+3=9(种).4.用1,3,5,7,9五个数字中的三个替换直线方程Ax+By+C=0中的A,B,C,若A,B,C的值互不

4、相同,则不同的直线共有()A.25条B.60条C.80条D.181条【解题提示】A,B,C的值互不相同,用1,3,5,7,9五个数字来替换,是分步乘法计数原理.【解析】选B.用1,3,5,7,9五个数字中的三个来替换A,B,C;A,B,C的值互不相同,是分步乘法计数原理,直线条数是543=60.5.(2015青岛模拟)如图所示的五个区域中,中心区域是一幅图画,现在要求在其余四个区域中涂色,现有四种颜色可供选择,要求每一个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为()A.64B.72C.84D.96【解析】选C.分成两类:A和C同色时有433=36(种);A和C不同色时有43

5、22=48(种),所以一共有36+48=84(种).6.(2015福州模拟)设集合I=1,2,3,4,5,选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有()A.50种B.49种C.48种D.47种【解题提示】以A中最大的数为标准,进行分类讨论,A中最大的数可能为1,2,3,4共四种情况.【解析】选B.当A中最大的数为1时,B可以是2,3,4,5的非空子集,即有24-1=15(种)方法;当A中最大的数为2时,A可以是2,也可以是1,2,B可以是3,4,5的非空子集,即有2(23-1)=14(种)方法;当A中最大的数为3时,A可以是3,1,3,2,3,1,2,3

6、,B可以是4,5的非空子集,即有4(22-1)=12(种)方法;当A中最大的数为4时,A可以是4,1,4,2,4,3,4,1,2,4,1,3,4,2,3,4,1,2,3,4,B可以是5,有81=8(种)方法,故共有15+14+12+8=49(种)方法.7.(2015九江模拟)若自然数n使得作竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象,则称n为“良数”.例如:32是“良数”,因为32+33+34不产生进位现象;23不是“良数”,因为23+24+25产生进位现象.那么小于1000的“良数”的个数为()A.27B.36C.39D.48【解析】选D.一位“良数”有0,1,2,共3个;两位数的“

7、良数”十位数可以是1,2,3,两位数的“良数”有10,11,12,20,21,22,30,31,32,共9个;三位数的“良数”百位可以为1,2,3,十位数为0的,个位可以是0,1,2,共33=9个,十位不是0时,十位个位可以是两位“良数”,共有39=27个.根据分类加法计数原理,共有48个小于1000的“良数”.二、填空题(每小题5分,共15分)8.椭圆=1的焦点在y轴上,且m1,2,3,4,5,n1,2,3,4,5,6,7,则这样的椭圆有个.【解析】mn,根据m的取值分为5类:m=1时,有6个椭圆;m=2时,有5个椭圆;m=3时,有4个椭圆;m=4时,有3个椭圆;m=5时,有2个椭圆.共有6

8、+5+4+3+2=20(个).答案:20【误区警示】本题极易出现忽略mn,即焦点在y轴上的情况,其原因是对焦点在y轴上时满足的条件不清晰或粗心忽略该条件.9.某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有种(用数字作答).【解析】从题意来看6部分种4种颜色的花,又从图形看知必有2组同颜色的花,从同颜色的花入手分类求.(1)与同色,则也同色或也同色,所以共有N1=43221=48(种).(2)与同色,则或同色,所以共有N2=43221=48(种).(3)与且与同色,则共有N3=4321=24(种).

9、所以共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120(种).答案:120【一题多解】本题还可用以下方法求解.记不同颜色的花为A,B,C,D,先安排,有432种不同的栽法.不妨设,已分别栽种A,B,C,则,栽种方法共5种,由以下树状图清晰可见.根据分步乘法计数原理,不同栽种方法有N=4325=120.答案:12010.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2,9的9个小正方形(如图),使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同,且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有种.【解析】把区域分为三部分,第一部分1,5,9,有3种涂法.第二部分4,7,8,当5,7同色

10、时,4,8各有2种涂法,共4种涂法;当5,7异色时,7有2种涂法,4,8均只有1种涂法,故第二部分共4+2=6种涂法.第三部分2,3,6与第二部分一样,共6种涂法.由分步乘法计数原理,可得共有366=108种涂法.答案:108 (20分钟40分)1.(5分)如图所示,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通.今发现A,B之间电路不通,则焊接点脱落的不同情况有()A.9种B.11种C.13种D.15种【解析】选C.按照焊接点脱落的个数进行分类:第1类,脱落1个,有1,4,共2种;第2类,脱落2个,有(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3

11、),共6种;第3类,脱落3个,有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4),共4种;第4类,脱落4个,有(1,2,3,4),共1种.根据分类加法计数原理,共有2+6+4+1=13种焊接点脱落的情况.2.(5分)(2015福州模拟)记集合A=1,2,3,4,5,6,M= ,将M中的元素按从小到大的顺序排列,则第70个元素是()A.0.264B.0.265C.0.431D.0.432【解析】选A.根据题意,a1,a2,a3A,则a1,a2,a3都有6种情况,则m的值可有666=216,故M中有216个元素.当a1=1时,a2,a3有66=36种情况,此时m的值有36个,是M中第

12、1到36个元素.当a1=2时,a2,a3有66=36种情况,此时m的值有36个,是M中第37到72个元素.其中最大的数为0.266,即M中第72个元素,其第71个元素为0.265,第70个元素为0.264.故选A.3.(5分)将1,2,3填入33的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,下面是一种填法,则不同的填写方法共有种.【解析】由于33方格中,每行、每列均没有重复数字,因此可从中间斜对角线填起.如图中的,当全为1时,有2种(即第1行第2列为2或3,当第2列填2时,第3列只能填3,当第1行填完后,其他行的数字便可确定),当全为2或3时,分别有2种,共有6种;当分别为1,2,3时,也共有6种,

13、共12种.答案:124.(12分)给程序命名,需要用3个字符,其中首字符要求用字母AG或UZ,后两个要求用数字19.问最多可以给多少个程序命名?【解题提示】要给一个程序命名,可以分三个步骤:第1步,选首字符;第2步,选中间字符;第3步,选最后一个字符.而首字符又可以分为两类.【解析】先计算首字符的选法.由分类加法计数原理,首字符共有7+6=13种选法.再计算可能的不同程序名称.由分步乘法计数原理,最多可以有1399=1053个不同的名称,即最多可以给1053个程序命名.5.(13分)(能力挑战题)编号为A,B,C,D,E的五个小球放在如图所示的五个盒子里,要求每个盒子只能放一个小球,且A球不能

14、放在1,2号,B球必须放在与A球相邻的盒子中,则不同的放法有多少种?【解析】根据A球所在位置分三类:(1)若A球放在3号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的三个盒子放球C,D,E,则根据分步乘法计数原理得,321=6种不同的放法.(2)若A球放在5号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的三个盒子放球C,D,E,则根据分步乘法计数原理得,321=6种不同的放法.(3)若A球放在4号盒子内,则B球可以放在2号,3号,5号盒子中的任何一个,余下的三个盒子放球C,D,E有321=6种不同的放法,根据分步乘法计数原理得,36=18种不同的放法.综上所述,由分类加法计数原理得不同的放法共有6+6+18=30种.【方法技巧】分类和分步的技巧用两个计数原理解决计数问题时,最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析:(1)需要分类还是需要分步.分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数.(2)分步要做到“步骤完整”,即完成了所有步骤,恰好完成任务,当然步与步之间要相互独立.分步后再计算每一步的方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数.关闭Word文档返回原板块- 10 - 版权所有高考资源网