广东省茂名市2013届高三数学第一次模拟试题 理（含解析）新人教A版.doc

1、2013年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）（2013茂名一模）设集合A=x|1x2，B=x|1x1，则（）ABABABCA=BDAB=考点：集合的包含关系判断及应用专题：计算题分析：由已知中集合A=x|1x2，B=x|1x1，分析判断xAxB和xBxA是否成立，进而根据子集的定义，得到答案解答：解：集合A=x|1x2，B=x|1x1，xA=x|1x2时，xB=x|1x1不一定成立，xB=x|1x1时，xA=x|1x2一定成立，故BA故选A点评：本题考查的知识点是

2、集合的包含关系判断及应用，熟练掌握集合子集的定义是解答的关键2（5分）（2013茂名一模）计算：i（1+i）2=（）A2B2C2iD2i考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：利用完全平方式展开（1+i）2，然后直接利用单项式乘多项式进行运算解答：解：i（1+i）2=i（1+2i+i2）=i（11+2i）=2i2=2故选A点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的乘法，符合实数运算中的单项式乘多项式法则，是基础题3（5分）（2013茂名一模）已知f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=log2x，则=（）A2B1C1D2考点：函数的值专题：计算题；函数的性质及应用分析：由已知可得f（x

3、）=f（x），结合已知有=f（），代入已知可求解答：解：f（x）是奇函数，f（x）=f（x）x0时，f（x）=log2x，则=f（）=1故选B点评：本题主要考查了奇函数的性质的简单应用，属于基础试题4（5分）（2012福建）已知向量=（x1，2），=（2，1），则的充要条件是（）Ax=Bx=1Cx=5Dx=0考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系专题：计算题分析：直接利用向量垂直的充要条件，通过坐标运算求出x的值即可解答：解：因为向量=（x1，2），=（2，1），所以2（x1）+2=0，解得x=0故选D点评：本题考查向量垂直条件的应用，充要条件的应用，考查计

4、算能力5（5分）（2009福建）如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为则该几何体的俯视图可以是（）ABCD考点：简单空间图形的三视图专题：压轴题；图表型分析：解法1：结合选项，正方体的体积否定A，推出正确选项C即可解法2：对四个选项A求出体积判断正误；B求出体积判断正误；C求出几何体的体积判断正误；同理判断D的正误即可解答：解：解法1：由题意可知当俯视图是A时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是，知其是立方体的一半，可知选C解法2：当俯视图是A时，正方体的体积是1；当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是，高为1，则体积是

5、；当俯视是C时，该几何是直三棱柱，故体积是，当俯视图是D时，该几何是圆柱切割而成，其体积是故选C点评：本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，依据数据计算能力；注意三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等6（5分）（2013东莞二模）已知函数y=sinx+cosx，则下列结论正确的是（）A此函数的图象关于直线对称B此函数的最大值为1；C此函数在区间上是增函数D此函数的最小正周期为考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性专题：三角函数的图像与性质分析：利用两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一

6、个三角函数的形式，解答：解：因为函数y=sinx+cosx=sin（x+），当时函数值为：0，函数不能取得最值，所以A不正确；函数y=sinx+cosx=sin（x+），当x=时函数取得最大值为，B不正确；因为函数x+（），即x在上函数是增函数，所以函数在区间上是增函数，正确函数的周期是2，D不正确；故选C点评：本题考查三角函数的化简求值，正弦函数的周期与最值、单调性与对称性，考查基本知识的应用7（5分）（2013淄博一模）某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值为31，则a等于（）A0B1C2D3考点：程序框图专题：图表型分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知

7、：该程序的作用是利用循环计算x值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： n x 是否继续循环第一圈 2 2a+1 是第二圈 3 4a+2+1 是第三圈 4 8a+4+2+1 否则输出的结果为8a+4+2+1=31，所以a=3故选D点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法8（5分）（2013茂名一模）已知x、y满足约束条件若0ax+by2，则的取值范围为（）A0，1B1，10C1，3D2，3考点：简单线性规划专题：计算题；不等式的解法及应用分析：作出题中不等式组对应的平面区域，得到如图的A

8、BC及其内部，其中A（0，1），B（2，1），C（1，2）因为不等式0ax+by2对约束条件的所有x、y都成立，所以可得关于a、b的不等式组成立，在aob坐标系内作出相应的平面区域并利用P（1，2）、Q（a，b）两点连线的斜率，即可得到的取值范围解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A（0，1），B（2，1），C（1，2）不等式0ax+by2对于约束条件的所有x、y都成立记F（x，y）=ax+by，可得即，在aob坐标系中作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形MKNO及其内部，其中M（1，0），K（，），N（，），O是坐标原点 而k=表示点P（1，2）与Q（

9、a，b）连线的斜率，点Q是四边形MKNO内部或边界一点运动点Q可得：当Q与M重合时，k达到最小值，kmin=1当Q与N重合量，k达到最大值，kmax=10的取值范围为1，10故答案为：1，10点评：本题给出二元一次不等式组，在0ax+by2恒成立的情况下，求的取值范围着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域、直线的斜率和简单的线性规划等知识，属于基础题二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答9（5分）（2013茂名一模）已知等比数列an的公比q为正数，且，则q=考点：等比数列的通项公式专题：等差数列

10、与等比数列分析：设出等比数列的首项，由等比数列的通项公式写出a3，a9，a5，代入后可直接求得q的值解答：解：设等比数列的首项为a1，由，得：，即，a10，q0，q=故答案为点评：本题考查了等比数列的通项公式，解答时注意等比数列中不含有为0的项，是基础的计算题10（5分）（2013潮州二模）=e2考点：定积分专题：计算题分析：欲求定积分，先求原函数，由于（lnx）=，（ x2）=2x，故2x+的原函数是x2+lnx，从而问题解决解答：解：（lnx）=，（ x2）=2x，=x2|1e+lnx|1e=e21+lneln1=e2故答案为：e2点评：本小题主要考查定积分、定积分的应用、原函数的概念解法

11、等基础知识，考查运算求解能力属于基础题11（5分）（2013青岛一模）已知双曲线x2ky2=1的一个焦点是，则其渐近线方程为y=2x考点：双曲线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据双曲线方程，得a2=1，b2=，结合题意得c=，解出k=，从而得到双曲线方程，由此不难得出该双曲线的渐近线方程解答：解：双曲线x2ky2=1化成标准方程得x2=1，得a2=1，b2=，c=双曲线的一个焦点是（，0），=，解之得k=，双曲线方程为x2=1，得a=1，b=2该双曲线的渐近线方程为y=x，即y=2x故答案为：y=2x点评：本题给出含有参数的双曲线方程，在已知其一个焦点的情况下求双曲线的渐近线

12、方程，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题12（5分）（2013茂名一模）的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为160考点：二项式定理的应用专题：计算题分析：根据题意，的展开式的二项式系数之和为64，由二项式系数的性质，可得2n=64，解可得，n=6；进而可得二项展开式，令62r=0，可得r=3，代入二项展开式，可得答案解答：解：由二项式系数的性质，可得2n=64，解可得，n=6；（2x）6的展开式为为Tr+1=C66r（2x）6r（）r=（1）r26rC66r（x）62r，令62r=0，可得r=3，则展开式中常数项为160故答案为：160点评：本题考查二项式

13、定理的应用，注意系数与二项式系数的区别13（5分）（2013茂名一模）211=2，2213=34，23135=456，241357=5678，依此类推，第n个等式为2n13（2n1）=（n+1）（2n1）2n考点：归纳推理专题：综合题分析：由已知中211=2，2213=34，23135=456，241357=5678，式子左边是2的指数幂与连续奇数的积，式子右边是连续整数的积，分析出等式两边数的个数及起始数与n的关系，即可推断出答案解答：解：观察已知中的等式：211=2，2213=34，23135=456，241357=5678，由此推断，第n个等式为：2n13（2n1）=（n+1）（2n1）

14、2n故答案为：2n13（2n1）=（n+1）（2n1）2n点评：本题考查的知识点是归纳推理，其中分析出等式两边数的个数及起始数与n的关系，是解答本题的关键14（5分）（2013茂名一模）已知曲线C的参数方程为（为参数），则曲线上C的点到直线3x4y+4=0的距离的最大值为3考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系专题：计算题分析：由参数方程可得cos=x2，sin=y，利用同角三角函数的基本关系消去，化为普通方程，表示圆，求出圆心到直线的距离，把此距离加上半径即得曲线上C的点到直线3x4y+4=0的距离的最大值解答：解：曲线C的参数方程为（为参数），cos=x2，sin=y，平方相加可得

15、 （x2）2+y2=1，表示以（2，0）为圆心，以1为半径的圆圆心到直线的距离等于=2，故曲线上C的点到直线3x4y+4=0的距离的最大值为2+r=2+1=3故答案为 3点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题15（2013茂名一模）如图，O的直径AB=6cm，P是AB延长线上的一点，过p点作O的切线，切点为C，连接AC，若CPA=30，PC=cm考点：圆的切线的性质定理的证明专题：计算题；压轴题分析：在圆中线段利用由切线定理求得OCP=Rt，进而利用直角三角形PCO中的线段，结合解直角三角形求得PC即可解答：解：连接OC，PC是

16、O的切线，OCP=90CPA=30，OC=3，tan30=，即PC=故填：点评：此题考查的是直角三角形的性质、与圆有关的比例线段以及切线定理，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）（2013菏泽二模）如图所示，角A为钝角，且，点P、Q分别在角A的两边上（1）AP=5，PQ=，求AQ的长；（2）设的值考点：解三角形专题：计算题分析：（1）由A为钝角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用余弦定理得到关于AQ的方程，求出方程的解即可得到满足题意的AQ的长；（2）由cos的值利用同角三角函数间的基本关系求出sin的值，根据

17、三角形的内角和定理及诱导公式求出sinA的值及cosA的值，然后把2+变为+（+），利用两角和的正弦函数公式化简后，分别将各自的值代入即可求出所求式子的值解答：解：（1）A是钝角，在APQ中，PQ2=AP2+AQ22APAQcosA，解得AQ=2或AQ=10（舍）即AQ=2；（2）由cos=，得sin=，又sin（+）=sinA=，cos（+）=cosA=，sin（2+）=sin+（+）=sincos（+）+cossin（+）=点评：此题要求学生灵活运用余弦定理化简求值，掌握三角形的内角和定理，灵活运用两角和的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道综合题17（12分）（2013

18、茂名一模）某连锁超市有A、B两家分店，对该超市某种商品一个月30天的销售量进行统计：A分店的销售量为200件和300件的天数各有15天；B分店的统计结果如下表：销售量（单位：件）200300400天 数10155（1）根据上面统计结果，求出B分店销售量为200件、300件、400件的频率；（2）已知每件该商品的销售利润为1元，表示超市A、B两分店某天销售该商品的利润之和，若以频率作为概率，且A、B两分店的销售量相互独立，求的分布列和数学期望考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差专题：概率与统计分析：（1）根据频率的意义即可得出；（2）利用相互独立事件的概率计算公式、互斥事件

19、的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望即可得出解答：解：（1）B分店销售量为200件、300件、400件的频率分别为，即，和（2）A分店销售量为200件、300件的频率均为，的可能值为400，500，600，700，且 P（=400）=，P（=500）=，P（=600）=，P（=700）=，的分布列为400500600700PE=400+500+600+700=（元）点评：正确理解频率的意义，熟练掌握相互独立事件的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望是解题的关键18（14分）（2013茂名一模）如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE平

20、面ABCD，BAD=ADC=90，AB=AD=CD=a，PD=a（1）若M为PA中点，求证：AC平面MDE；（2）求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定专题：计算题分析：（1）连接PC，交DE与N，连接MN，所以MNAC，再根据线面平行的判定定理可得答案（2）以D为空间坐标系的原点，分别以 DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角解答：解：（1）证明：连接PC，交DE与N，连接MN，在PAC中，M，N分别为两腰PA，PC的中点MNAC，（2分）又AC面M

21、DE，MN面MDE，所以 AC平面MDE（4分）（2）以D为空间坐标系的原点，分别以 DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，a），B（a，a，0），C（0，2a，0），所以，（6分）设平面PAD的单位法向量为，则可取 （7分）设面PBC的法向量，则有即：，取z=1，则（10分）设平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为，（11分）=60，所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为60（12分）点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，求二面角的平面角的关键是找到角，再求出角，解决此类问题也可以建立坐标系，利用空间向量求出空间角与

22、空间距离19（14分）（2013茂名一模）已知数列an，bn中，a1=b1=1，且当n2时，annan1=0，记n的阶乘n（n1）（n2）321n!（1）求数列an的通项公式；（2）求证：数列为等差数列；（3）若，求cn的前n项和考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等差关系的确定专题：等差数列与等比数列分析：（1）把递推式annan1=0变形后进行循环，可以得到an=n（n1）（n2）321=n!，验证a1成立，则数列an的通项公式可求；（2）把给出的递推式两边同时除以2n，移向整理即可证得数列为等差数列；（3）把数列an的通项代入，把数列bn的通项代入，利用裂项相消和错

23、位相减法分别求出数列和的和后直接作和即可解答：（1）解：annan1=0（n2），a1=1，an=nan1=n（n1）an2=n（n1）（n2）an3=n（n1）（n2）321=n!又a1=1=1!，an=n!（2）证明：由，两边同时除以2n得：，即数列是以为首项，公差为的等差数列，则，故（3）解：因为，记An=记的前n项和为Bn则 由得：=Sn=c1+c2+c3+cn=所以数列cn的前n项和为点评：本题考查了等差关系的确定，考查了等差数列和等比数列通项公式的求法，考查了利用裂项相消和错位相减法求数列的前n项和，是中档题20（14分）（2013茂名一模）已知椭圆的离心率为，连接椭圆的四个顶点得

24、到的四边形的面积为（1）求椭圆C1的方程；（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；（3）设O为坐标原点，取C2上不同于O的点S，以OS为直径作圆与C2相交另外一点R，求该圆面积的最小值时点S的坐标考点：直线与圆锥曲线的关系；圆的一般方程；椭圆的标准方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用椭圆的离心率、参数a、b、c的关系及菱形的面积计算公式即可得出；（2）利用线段的垂直平分线、抛物线的定义即可得出；（3）利用向量的垂直与数量积的关系、基本不等式的性质、二次

25、函数的单调性即可得出解答：解：（1）由题意可知解得所以椭圆C1的方程是（2）|MP|=|MF2|，动点M到定直线l1：x=1的距离等于它到定点F2（1，0）的距离，动点M的轨迹C2是以l1为准线，F2为焦点的抛物线，所以点M的轨迹C2的方程y2=4x（3）以OS为直径的圆C2相交于点R，以ORS=90，即设S （x1，y1），R（x2，y2），=x2（x2x1）+y2（y2y1）=0，y1y2，y20，化简得，当且仅当，即，y2=4时等号成立圆的直径|OS|=，64，当=64，y1=8，所以所求圆的面积的最小时，点S的坐标为（16，8）点评：熟练掌握圆锥曲线的定义及其性质、线段的垂直平分线、菱

26、形的面积计算公式、向量的垂直与数量积的关系、基本不等式的性质、二次函数的单调性是解题的关键21（14分）（2013东莞二模）已知函数，函数f（x）是函数g（x）的导函数（1）若a=1，求g（x）的单调减区间；（2）若对任意x1，x2R且x1x2，都有，求实数a的取值范围；（3）在第（2）问求出的实数a的范围内，若存在一个与a有关的负数M，使得对任意xM，0时|f（x）|4恒成立，求M的最小值及相应的a值考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性专题：导数的综合应用分析：（1）求导数，利用导数小于0，可得函数的单调减区间（2）先用函数f（x）的表达式表示出来，再进行化简得（

27、x1x2）20，由此式即可求得实数a的取值范围；（3）本小题可以从a的范围入手，考虑0a2与a2两种情况，结合二次的象与性质，综合运用分类讨论思想与数形结合思想求解解答：解：（1）当a=1时，g（x）=x3+2x22x，g（x）=x2+4x2 （1分）由g（x）0解得2x2+ （2分）当a=1时函数g（x）的单调减区间为 （2，2+）；（3分）（2）易知f（x）=g（x）=x2+4x2依题意知 =a（）2+42=（x1x2）20 （5分）因为x1x2，所以a0，即实数a的取值范围是（0，+）；（6分）（3）易知f（x）=ax2+4x2=a（x+）22，a0显然f（0）=2，由（2）知抛物线的对称轴x=0 （7分）当24即0a2时，M（，0）且f（M）=4令ax2+4x2=4解得 x= （8分）此时M取较大的根，即M=（9分）0a2，M=1 （10分）当24即a2时，M且f（M）=4令ax2+4x2=4解得 x= （11分）此时M取较小的根，即 M=（12分）a2，M=3当且仅当a=2时取等号 （13分）由于31，所以当a=2时，M取得最小值3 （14分）点评：本小题主要考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于中档题